Datenverarbeitung für Chemiker Numerische Datenverarbeitung

Datenverarbeitung für Chemiker
Numerische Datenverarbeitung
Name: Bernd Hitzmann
Tel.: 762-2963
E-mail: Hitzmann@IFTC.Uni-Hannover.de
Adresse: Institut für Technische Chemie
Raum 260
Bernd Hitzmann

Numerische Datenverarbeitung
Zeitreihenanalyse
Zeit [min]
Messwerte
t 1
m 1
t 2
t 3
m 2
m 3
t 4
m 4
.
.
.
.
.
t n
m n
.
Information
Bernd Hitzmann

Gegeben sei eine Funktion f(x)
im Intervall [a,b]
0,4
0,35
f(x)
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
Bernd Hitzmann
0
a= 0 10 20 30 40 b= 50
x

Gesucht ist das b
Integral ∫ f ( x)
dx = ?
a
0,4
0,35
0,3
f(x)
0,25
0,2
0,15
Bernd Hitzmann
0,1
0,05
Integral = Fläche unter
der Kurve
0
a= 0 10 20 30 40 b= 50
x

Sehr grobe Näherung
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
a= 0 10 20 30 40 b= 50
Bernd Hitzmann
x

Grobe Näherung
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
a= 0 10 20 30 40 b= 50
Bernd Hitzmann
x

Näherung verfeinern!
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
Bernd Hitzmann
0,15
0,1
0,05
0
Wenn die Zahlenfolge
konvergiert, dann existiert
das Integral
0 10 20 30 40 50
x

Näherung mit Trapezen
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
a= 0 10 20 30 40 b= 50
Bernd Hitzmann
x

∫
a
f ( x)
dx ≈ [f(a )+f(a+ (b-a)/4)]/2*(b-a)/4
+[f(a+ (b-a)/4)+f(a+2(b-a)/4)]/2*(b-a)/4
+[f(a+2(b-a)/4)+f(a+3(b-a)/4)]/2*(b-a)/4
+[f(a+3(b-a)/4)+f(a+4(b-a)/4)]/2*(b-a)/4
0,4
0,35
0,3
Trapeze
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
a= 0 Bernd 10Hitzmann
20 30 40 b= 50
x
a
g
b
F=b*g+
(a-b)/2*g
=(a+b)/2*g

∫
a
f ( x)
dx ≈ [f(a )+f(a+ (b-a)/4)]/2*(b-a)/4
+[f(a+ (b-a)/4)+f(a+2(b-a)/4)]/2*(b-a)/4
+[f(a+2(b-a)/4)+f(a+3(b-a)/4)]/2*(b-a)/4
+[f(a+3(b-a)/4)+f(a+4(b-a)/4)]/2*(b-a)/4
Bernd Hitzmann
=[ f(a)/2
+f(a+(b-a)/4)
+f(a+2(b-a)/4)
+f(a+3(b-a)/4)
+f(b)/2
]*(b-a)/4

∫
a
f ( x)
dx
≈
[ f(a)/2
+f(a+(b-a)/4)
Vier Trapeze
+f(a+2(b-a)/4)
+f(a+3(b-a)/4)
+f(b)/2 ]*(b-a)/4
Für n Trapeze folgt:
Bernd Hitzmann
[ f(a)/2
+f(a+(b-a)/n)
………………..
+f(a+(n-1)(b-a)/n)
+f(b)/2 ]*(b-a)/n

∫
a
f ( x)
dx ≈ [ f(a)/2
+f(a+(b-a)/n)
………………..
+f(a+(n-1)(b-a)/n)
+f(b)/2 ]*(b-a)/n
n Trapeze
=[ f(a)/2
n-1
+Σf(a+k(b-a)/n)
k=1
+f(b)/2 ]*(b-a)/n
Bernd Hitzmann
∆x

Messwerte
(Zeitreihe)
Zeit
[min]
.
Spannung
[Volt]
t 1
m 1
t 2
t 3
m 2
m 3
t 4
m 4
.
.
.
.
t n
m n
.
Numerische Integration
t n n−
⎡
∫ mtdt () ≈ ∆t⎢
1 1
1
m1
+ mn
+ ∑ m
⎣2
2
k = 2
t
1
t n n−2
n−1
∆t
⎡
∫
mtdt () ≈ ⎢m1
+ mn
+ 2∑mk
+ 4∑m
3 ⎣
k = 3
k = 2
t
Trapez-Regel:
Simpsons-Regel:
1
ungerade
k
⎤
⎥
⎦
gerade
k
⎤
⎥
⎦
Bernd Hitzmann

Zeit t
Numerische Ableitung
Bernd Hitzmann
Messwert m
t 1
m 1
t 2
m 2
.
.
t n
m n
dm
dt
Vorwärts Differenz
Zentrale Differenz
Zweite Ableitung
m
'
= m =
′′ ≈
k
mt+ t − mt
lim ( ∆ ) ( )
t → 0 ∆t
∆
m
m
'
k
'
k
≈
≈
m
m
k+1
− m
∆t
− m
2∆t
k
k+ 1 k−1
m − 2 m + m
2
∆ t
k + 1 k k − 1

Wo liegen die beiden Maxima der Messdaten?
Meßwerte [Volt]
Intensität [Units]
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
0 2 4 6 8 10
Frequenz [Hz]
Bernd Hitzmann

Um verrauschte Daten zu glätten werden
Filter verwendet!
Meßwerte [Volt]
Intensität [Units]
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
0 2 4 6 8 10
Frequenz [Hz]
Bernd Hitzmann

y
Mittelwertsfilter (moving window averaging)
1
2m
+ 1
m
*
k
= ∑ yk+
j
j=−m
=
mit Fensterbreite 2m+1
Beispiel
1
2m
+ 1
( y + y + ..... + y + y )
k−m k− m+ 1 k+ m− 1 k+
m
600,0
500,0
Fensterbreite 5
Y-Werte
400,0
300,0
200,0
Bernd Hitzmann
100,0
0,0
0 5 10 15 20
X-Werte

Median-Filter
Messwerte eines Intervalls (Fensters) der Größe
nach sortiert. Der Median ist als Punkt in der
Mitte definiert:
50 % der Werte liegen darüber und 50 % darunter.
600,0
500,0
Fensterbreite 5
Y-Werte
400,0
300,0
200,0
Bernd Hitzmann
100,0
0,0
0 5 10 15 20
X-Werte

Savitzky-Golay-Filter
Basierend auf quadratischem Modell
mit 5 Werten Fensterbreite
1
y * = − 3y + 12y + 17y + 12y − 3y
35
( )
k k−2 k− 1 k k+ 1 k+
2
Auch Kombinationen von unterschiedlichen
Filter werden eingesetzt!
Bernd Hitzmann
z.B. erst Median-Filter,
dann Savitzky-Golay-Filter

Zeit [min]
t 1
m 1
t 2
m 2
t 3
m 3
.
.
.
.
t k
m k
.
.
.
.
.
t n
m n
Bernd Hitzmann
Messwert
[Volt]
.
t k+1
.
.
t n
m
'
k
m
k +1
≈
m k+1
.
.
m n
− m
∆t
Zeit [min] Messwert Ableitung m’
[Volt] [Volt/min]
t 1
(m 2 -m 1 )/∆t
t 2
t 3
m 1
m 2
m 3
.
.
.
t k
(m k+1
-m k
)/∆t
m k
k
(m 3 -m 2 )/∆t
.
.
.
(m n -m n-1 )/∆t
geht nicht!

Numerische Datenverarbeitung mit
MS-Excel
Bernd Hitzmann
Eine Excel-Tabelle ist ein
„elektronisches“ Arbeitsblatt,
das aus Zellen aufgebaut ist.
Mit ihm können Berechnungen
mit Formeln einfach durchgeführt
werden!

Titelleiste
Menüleiste
Spaltenbezeichnung
Symbolleisten
Aktuelles Tabellenblatt
Zeilenbezeichnung
Tabellenblattauswahl
Statusleiste
Bernd Hitzmann

Aktive Zelle
Funktion einfügen
Diagrammassistent
Adresse der aktiven Zelle
Bernd Hitzmann

Formel der aktiven Zelle
In Formel verwendete Zellen
Relative Adresse (ändert sich
beim Kopieren; ohne $ )
Bernd Hitzmann
Aktive Zelle
Absolute Adresse (ändert sich
nicht beim Kopieren; mit $)

Chemie 1930
Bernd Hitzmann

Steigung berechnen: Vorwärts Differenz
0,4
m k
m k+1
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
∆t
Steigung
0
0 10 20 30 40 50
t k-1
t k
t k+1
x
t-Achse
Steigung(t k
) =
Bernd Hitzmann
m k+1 -m k
∆t

Steigung berechnen: Zentrale Differenz
0,4
0,35
0,3
Steigung
m k- 1
2∆t
0,25
m k+1
0,15
0,2
0,1
0,05
0
0 10 20 30 40 50
t k-1
t k
t k+1
x
t-Achse
Steigung(t k
) =
Bernd Hitzmann
m k+1 –m k- 1
2∆t