Von den Zufallszahlen und ihrem Gebrauch - Institut für Mathematik ...

3.5 Uabhängigkeit bei Zufallsvariablen
Fläche 1, das die Figur umgibt. Mit geeigneter Skalierung kann man dies immer erreichen.
Danach startet man den ” Zufallsregen“, indem man etwa 1 000 000 Zufallszahlen
auswürfelt, notgedrungen mit einem Zufallgenerator. Man bezeichnet dieses Geschehen
als ” Zufallsregen“, da alle Punkte zeitnah auf die Figur im Einheitsquadrat treffen.
Damit das Vorhaben gelingt, müssen die Punkte im Einheitsquadrat liegen und dort
gleichmäßig verteilt sein. Nach dem Abschluss des Zufallsregens ermittelt man die Anzahl
T der Treffer, d.h. der Zufallspunkte, die in der Figur liegen. Besteht der Zufallsregen aus
N Punkten, dann ist in
F := T
N
nun eine Näherung für den gesuchten Flächeninhalt gegeben.
Demonstrieren wir das Vorgehen für den Kreis mit Radius r = 1 . Wir umschließen
den Viertelkreis - die Fläche des Vollkreises lässt sich leicht daraus ableiten - mit dem
Einheitswürfel. Dann ist es einfach (mit dem Satz von Pythagoras) zu entscheiden, ob ein
Zufallspunkt (x, y) im Kreis oder außerhalb liegt:
x 2 + y 2 ≤ 1 : innerhalb x 2 + y 2 > 1 : außerhalb
Hier brauchen wir dann eine Folge von Zufallspunkten, die im Einheitswürfel liegen; wir
bezeichnen sie mit (xn, yn), n = 1, 2, . . . , N . Wir zählen nun die Anzahl der Punkte, die
innerhalb des Kreises liegen; wir nehmen an, es seien mN Stück. Dann approximieren wir
die Fläche des Viertelkreises durch den Bruch
b(N) := m N /N .
Für größer werdendes N nähert b(N) die Kreiszahl π/4 immer besser an. In der Abbildung
9 sehen wir den ” Zufallsregen“. Ein typisches Ergebnis ist etwa b(1000) = 3.1442 .
3.5 Uabhängigkeit bei Zufallsvariablen
Definition 3.1 Sei (Ω, POT(Ω), P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum. Zwei Ereignisse
A, B ⊂ Ω heißen unabhängig, wenn P (A ∩ B) = P (A)P (B) gilt, anderenfalls
abhängig. �
Zahlreiche Fehlvorstellungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung beruhen auf der Nichtberücksichtigung
der Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit von Ereignissen. Machen wir uns
die Fehlerquellen z.B. beim Skatspiel“ klar. Ein Skatspieler berechnet die Wahrschein-
”
lichkeit, in seinem Blatt von 10 Karten 4 Asse zu haben als
�28 6 �32 10
�
� =
10 · 9 · 8 · 7
32 · 31 · 30 · 29
≈ 0.00584 .
Die Wahrscheinlichkeit, alle 4 Buben zu bekommen, ist ebenso groß. Daraus schließt er,
dass die Wahrscheinlichkeit, alle 4 Asse und alle 4 Buben zu bekommen etwa
0.00584 2 ≈ 0.000034
beträgt. Die Überlegung ist natürlich falsch, da sie die Abhängigkeit der Ereignisse
A : 4 Asse , B : 4 Buben
Stand: 21. November 2011 25 ○c J. Baumeister, T.G. Macedo