Zero-Knowledge-Beweise - Sapientia

4.2 Was bedeutet Isomorphie
Da der erste Teil der Kapitelüberschrift nun geklärt ist, können wir uns im Folgenden
dem zweiten Teil, nämlich der sogenannten Isomorphie zwischen zwei Graphen,
zuwenden.
Wir sagen, zwei Graphen sind isomorph, wenn man den einen durch Umzeichnen
”
des anderen erhalten kann. Will man also aus einem Graphen einen dazu isomorphen
Graphen herstellen, so darf man die Ecken beliebig verschieben, nur nicht so, dass sie
aufeinander fallen. Und die Kanten dürfen verbogen, gedehnt oder zusammengezogen
werden. Mit anderen Worten: Alle elastischen Verformungen sind erlaubt! Was wir
nicht tun dürfen, ist, Kanten durchschneiden ... oder verknoten.” 4
Oder formaler ausgedrückt: ”
Seien G 1 und G 2 zwei Graphen. Entspricht jeder Ecke
von G 1 eine Ecke von G 2 und sind zwei Ecken von G 2 genau dann verbunden, wenn
die entsprechenden Ecken von G 1 verbunden sind, wobei auch die Anzahl der Kanten
übereinstimmen muss, so heißen die Graphen isomorph.” 5
Abbildung 4.2: Zwei zueinander isomorphe Graphen
Die in Abbildung 4.2 dargestellten Graphen G 1 = (E 1 , K 1 ) und G 2 = (E 2 , K 2 ) sind
also isomorph, da man G 2 ganz einfach durch geschicktes Umzeichnen von G 1 erhält.
Wir können sogar jeder Ecke in G 2 die entsprechende Ecke in G 1 sowie jeder Kante
in G 2 die entsprechende Kante in G 1 zuordnen. Es gilt nämlich: Die Ecke a in G 2
entspricht der Ecke A in G 1 , Ecke b entspricht B usw. Außerdem entspricht die
Kante zwischen a und b in G 2 genau der Kante zwischen A und B in G 1 .
Für diese Zuordnung lässt sich auch eine eindeutige Zuordnungsvorschrift, also eine
Funktion, φ : E 1 → E 2 angeben, sodass
4 Nitzsche, Graphen für Einsteiger, 2009, S. 5
5 Nitzsche, Graphen für Einsteiger, 2009, S. 9
(u, v) ∈ K 1 ⇔ (φ(u), φ(v)) ∈ K 2 (4.1)
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