Verpackungen - math-learning
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An <strong>Verpackungen</strong> kann man (nicht nur,<br />
aber besonders effektiv)<br />
Mathematisches Modellieren lernen<br />
Prof. Dr. Regina Bruder<br />
Technische Universität Darmstadt<br />
ISTRON Hamburg 5.11.2010<br />
www.<strong>math</strong>-<strong>learning</strong>.com
Gliederung<br />
1. Visionen für einen modernen Mathematikunterricht<br />
2. Verpackungsoptimierung: Mathematisch Modellieren<br />
in verschiedenen Stufen<br />
3. Methodische Unterstützungsinstrumente zum<br />
langfristigen Kompetenzaufbau
Vision für modernen MU:<br />
Was soll durch den Mathematikunterricht von der Mathematik<br />
verstanden,<br />
Mathematische Gegenstände ... als eine<br />
deduktiv geordnete Welt eigener Art ...<br />
begreifen.<br />
behalten und<br />
Problemlösefähigkeiten (heuristische<br />
Fähigkeiten, die über die Mathematik<br />
hinausgehen)<br />
angewendet<br />
werden können<br />
Erscheinungen der Welt um uns ... in einer<br />
spezifischen Art wahrzunehmen und zu<br />
verstehen.<br />
Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995
Langfristiger Kompetenzaufbau…<br />
… bezüglich eines <strong>math</strong>ematischen Blickes in die Welt, kann heißen:<br />
a) Die Umwelt/Lebenswelt mit <strong>math</strong>ematischem/logischem Blick kritisch<br />
prüfen: Stimmt das Kann das denn sein<br />
Warum ist das so<br />
b) Den Mehrwert von Mathematik erfahren:<br />
Wo kommt Mathematik vor – wo ist Mathematik versteckt<br />
Wie fragen Mathematiker<br />
Was wissen wir jetzt besser/genauer mit Mathematik als vorher<br />
Beispiele: - wir können Größen abschätzen<br />
- wir können Dinge, Sachverhalte, Anteile miteinander vergleichen<br />
- wir können Oberflächen, Volumina… optimieren
a) Schätze das Volumen dieser Schachtel und beschreibe, wie du dabei vorgehst!<br />
b) Wenn das Volumen des Inhalts 70% (oder weniger) des Volumens der Verpackung<br />
beträgt, spricht man von einer Mogelpackung. Handelt es sich hier um eine<br />
Mogelpackung Begründe deine Meinung rechnerisch.
Wo findet man Realität, die wirklich <strong>math</strong>ematisch betrachtet wird<br />
<strong>Verpackungen</strong><br />
kreieren und<br />
analysieren<br />
a)Wie viel Prozent des Packungsvolumens enthält essbaren Inhalt<br />
b)Sind die Kriterien für eine Mogelpackung erfüllt<br />
c)Wie könnte man die 15 Pralinen noch anders verpacken Konstruiere<br />
einen neuen Vorschlag!
Stellt Euch vor, Ihr werdet als<br />
Mathematikexperte bei einer Firma, die<br />
Schokowaffeln produziert, um Hilfe<br />
gebeten.<br />
Eure Aufgabe ist es, möglichst viele<br />
Ideen zu entwickeln, was alles an den<br />
Schokowaffeln verändert werden kann!<br />
Welche Vorschläge würdet ihr<br />
unterbreiten
Schülerreaktionen aus dem Unterricht:<br />
Die Waffeln krümeln immer so, kann man das ändern<br />
Wenn man Werbeblättchen bekommt, würden bestimmt mehr<br />
Leute die Waffeln kaufen.<br />
Ich möchte gerne wissen, wie lange ich joggen muss für so<br />
eine Waffel! Das sollte man dann drauf schreiben!<br />
Ich habe mal gelesen, dass Kakao teurer ist als Nüsse. Ob<br />
sich die Zusammensetzung der Schokowaffel in den letzten<br />
Jahren schon geändert hat<br />
Wieso sind die Waffeln eigentlich quadratisch – hat das<br />
einen besonderen Grund<br />
Kann man die Waffeln noch anders einpacken und Papier<br />
sparen ohne gleich schmutzige Finger zu bekommen
Um welche prototypischen Sachverhalte geht es<br />
Schätzen und Überschlagen von Größen (sinnhaft!!)<br />
Annahmen machen!<br />
Schaffen es die Luftballons bis<br />
über den nahe gelegenen Berg<br />
Schokowaffeln optimieren<br />
Alternative <strong>Verpackungen</strong><br />
finden<br />
Erfüllt die Konfektschachtel die<br />
Kriterien einer Mogelpackung<br />
Wie viel Liter Wasser passen in<br />
diesen Fasswagen
Was ist wesentlich Orientierung an der<br />
Curriculumspirale<br />
Abstände<br />
Figuren<br />
erkennen<br />
untersuchen<br />
erzeugen<br />
variieren<br />
berechnen<br />
Datensätze<br />
beschreiben<br />
darstellen<br />
strukturieren<br />
Algebraische<br />
Aspekte: Zahl<br />
Geometrische Aspekte:<br />
Raum<br />
Objekte (und Prozesse)<br />
optimieren<br />
- bei <strong>Verpackungen</strong>
Was soll man beim Modellieren und für<br />
<strong>math</strong>ematisches Modellieren lernen<br />
Mathematisches<br />
Modell<br />
3<br />
Mathematische<br />
Ergebnisse<br />
Kompetenzaspekte:<br />
1 Typische, mit<br />
Mehrwert<br />
<strong>math</strong>ematisch<br />
bearbeitbare Kontexte<br />
kennen lernen<br />
Mathematik<br />
2 4<br />
2 Lernen, begründete<br />
Annahmen zu<br />
machen<br />
Realität<br />
Realmodell<br />
1<br />
Realsituation<br />
5<br />
Reale<br />
Ergebnisse<br />
3 Mathematische<br />
Werkzeuge und<br />
Darstellungsformen<br />
kennen und<br />
verwenden können<br />
4 Interpretieren/Deuten<br />
<strong>math</strong>ematischer<br />
Ergebnisse im<br />
Kontext
Ziele des langfristigen Kompetenzaufbaus sind, dass die Lernenden<br />
-<br />
-- <strong>math</strong>ematische Fragestellungen erkennen, auch in<br />
Alltagssituationen, und solche Fragestellungen<br />
formulieren und erläutern können.<br />
-<br />
in Verbindung<br />
mit<br />
<strong>Verpackungen</strong><br />
- Mathematisierungsmuster und verschiedene<br />
heuristische Vorgehensweisen sowie Darstellungsarten<br />
zur <strong>math</strong>ematischen Bearbeitung realitätsbezogener Fragestellungen<br />
kennen und diese situations- und sachgerecht anwenden,<br />
interpretieren und begründen können.<br />
- entwickeln Anstrengungsbereitschaft und<br />
Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln.
Gliederung<br />
1. Visionen für einen modernen Mathematikunterricht<br />
2. Verpackungsoptimierung: Mathematisch Modellieren<br />
in verschiedenen Stufen<br />
3. Methodische Unterstützungsinstrumente zum<br />
langfristigen Kompetenzaufbau
2. Verpackungsoptimierung: Mathematisch<br />
Modellieren in verschiedenen Stufen<br />
-<br />
Die Lernenden erkennen <strong>math</strong>ematische Fragestellungen, auch in<br />
Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren.<br />
• Rundgang mit der „Mathematikbrille“...<br />
Frage: Wo ist Mathematik in <strong>Verpackungen</strong> versteckt
2. Verpackungsoptimierung:<br />
Mathematisch Modellieren in<br />
verschiedenen Stufen<br />
Was ist an <strong>Verpackungen</strong> von<br />
Bedeutung<br />
(relevante Fragen stellen lernen)<br />
Schutzfunktion<br />
Schutz des Füllguts über die gesamte Lieferund<br />
Gebrauchskette<br />
Transportierbarkeit<br />
Schutz vor Veränderung der<br />
Produktqualität<br />
Schutz vor Füllgutverlusten<br />
Informationsträger<br />
Verpackung als System: Verkaufs-,<br />
Um- und Transportverpackung<br />
Art des Materials<br />
Form<br />
Handhabbarkeit<br />
Herstellungsverfahren
Die öffentliche Diskussion hat sich in den vergangenen Jahren<br />
von der Nachhaltigkeit (Rio) über die Klimadiskussion auf eine<br />
Kohlenstoff-Fußabdrucks-Diskussion in der Öffentlichkeit<br />
zugespitzt<br />
Verschiedene Hersteller auf europäischer Ebene wollen auf Produkten<br />
Verschiedene Hersteller auf europäischer Ebene wollen auf Produkten<br />
bzw. <strong>Verpackungen</strong> zukünftig freiwillig über die erzeugten CO2 -<br />
Emissionen informieren.
In Deutschland sind Politik und Wirtschaft von der Wirkung<br />
einer quantitativen CO 2 -Kennzeichnung nicht überzeugt.<br />
(Ergebnisbericht PCF-Projekt, Januar 2009)
-<br />
Die Lernenden erkennen <strong>math</strong>ematische Fragestellungen, auch in<br />
Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren.<br />
• Rundgang mit der „Mathematikbrille“...<br />
Frage: Wo ist Mathematik in <strong>Verpackungen</strong> versteckt <br />
• Vergleichen verschiedener <strong>Verpackungen</strong> miteinander<br />
Frage: Welche Mathematik wird wofür benötigt<br />
Art des Materials<br />
Form<br />
Handhabbarkeit<br />
Herstellungsverfahren<br />
Ökologische Aspekte
Vergleichen verschiedener <strong>Verpackungen</strong><br />
miteinander…<br />
… nach Art des Materials<br />
mit Optimierungsideen<br />
– allerdings<br />
in Abhängigkeit von der<br />
Art der Herstellung
Vergleichen verschiedener <strong>Verpackungen</strong><br />
miteinander…<br />
… nach der Form der Verpackung – in Verbindung mit<br />
dem Herstellungsverfahren und der Optimierung des<br />
Materialverbrauchs
Mathematisch Optimieren am Beispiel von <strong>Verpackungen</strong><br />
Ein Volumen von 1 Liter/1 dm³ soll<br />
verpackt werden!<br />
Es sind Bedingungen für eine minimale Oberfläche bei<br />
verschiedenen gegebenen Körperformen zu finden!<br />
Mögliche Körperformen:<br />
Mögliche Kugel, Zylinder, Körperformen: Würfel, Kreiskegel,<br />
Kugel, Prisma Zylinder, mit gleichseitigem Würfel, Kreiskegel, Dreieck als<br />
Prisma Grundfläche, mit gleichseitigem Dreieck als<br />
Grundfläche,<br />
Pyramide mit quadratischer<br />
Pyramide Grundfläche, mit quadratischer<br />
Grundfläche,<br />
Tetraeder<br />
Tetraeder
Ein Volumen von 1 Liter/1dm³ soll verpackt werden!<br />
Körper<br />
Optimale Verpackung<br />
Kugel<br />
A<br />
=<br />
4 ⋅πr<br />
2<br />
r<br />
=<br />
3⋅V<br />
3<br />
4 ⋅π<br />
A = 483,60<br />
cm<br />
2<br />
Zylinder<br />
A<br />
=<br />
2<br />
⋅<br />
π<br />
r<br />
2<br />
+<br />
2<br />
⋅<br />
V<br />
r<br />
r<br />
= 3<br />
V<br />
3<br />
2 ⋅π<br />
A = 553 ,58<br />
cm<br />
2<br />
Würfel<br />
A<br />
=<br />
6 ⋅ a<br />
2<br />
a = 3 V<br />
2<br />
A = 600cm<br />
Kreiskegel<br />
A<br />
2<br />
2<br />
2 9 ⋅V<br />
2 4<br />
6<br />
πr<br />
+ + ⋅ r r =<br />
2<br />
2<br />
2 A = 609,30cm<br />
= π<br />
r<br />
9 ⋅V<br />
8 ⋅π
Prisma mit gleichseitigem<br />
Dreieck als<br />
Grundfläche<br />
A<br />
=<br />
a<br />
2<br />
2<br />
⋅<br />
3<br />
+<br />
12⋅V<br />
a ⋅ 3<br />
a = 3<br />
4 ⋅V<br />
A = 654,57cm<br />
2<br />
Pyramide mit<br />
quadratischer<br />
A<br />
=<br />
a<br />
2<br />
+<br />
a<br />
4<br />
+<br />
36 V<br />
⋅ a<br />
2<br />
2<br />
A = 660 ,39<br />
cm<br />
2<br />
Grundfläche<br />
Tetraeder<br />
A = a 2 ⋅<br />
3<br />
a<br />
12 ⋅V<br />
= 3<br />
2<br />
2<br />
A = 720,56cm
-<br />
Die Lernenden erkennen <strong>math</strong>ematische Fragestellungen, auch in<br />
Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren.<br />
• Rundgang mit der „Mathematikbrille“...<br />
Frage: Wo ist Mathematik in <strong>Verpackungen</strong> versteckt <br />
• Vergleichen verschiedener <strong>Verpackungen</strong> miteinander<br />
Frage: Welche Mathematik wird wofür benötigt<br />
Art des Materials<br />
Form<br />
Handhabbarkeit<br />
Herstellungsverfahren<br />
Ökologische Aspekte
Fallbeispiel: Bier in<br />
Glasflasche oder Alu-Dose<br />
Die ökologischen Stellschrauben innerhalb eines Produktlebenswegs sind je nach<br />
Umweltproblemfeld an unterschiedlichen Stellen zu finden.<br />
Entsorgung + Recycling<br />
Distribution<br />
g PO4-Äquivalente pro 1000 l Füllgut<br />
Abfüllung<br />
UBC-Recycling<br />
1<br />
Sekundäre- 5 und tertiäre Verpackung<br />
0<br />
2<br />
Kunststoff-Herstellung<br />
.<br />
Etikettherstellung<br />
Verschlussherstellung<br />
Getränkebehälterherstellung<br />
kg CO2-Äquivalente pro 1000 l Bier<br />
180<br />
160<br />
140<br />
120<br />
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
Fallbeispiel 1:<br />
Regionaler Vertrieb<br />
Treibhauseffekt<br />
Distribution<br />
k g C O 2-Ä quiv alente pro 1000 l B ier<br />
200<br />
180<br />
160<br />
140<br />
120<br />
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
Treibhauseffekt<br />
Fallbeispiel 2:<br />
Deutschland weiter<br />
Vertrieb<br />
Prozessschrottaufbereitung<br />
20<br />
20<br />
Dosenbandherstellung<br />
Primär-Aluminium-Herstellung,<br />
Blechherstellung für Kronkorken<br />
0<br />
2. Glas T100<br />
UZ25<br />
4. Alu T100<br />
Glas MW Alu-Dos<br />
0<br />
5. Glas T680 6. Alu T680<br />
UZ11<br />
MW EW<br />
Quelle: IntJLCA<br />
(Basis: IFEU-Studie<br />
im Auftrag der GDA)
-<br />
Die Lernenden erkennen <strong>math</strong>ematische Fragestellungen, auch in<br />
Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren.<br />
• Rundgang mit der „Mathematikbrille“...<br />
Frage: Wo ist Mathematik in <strong>Verpackungen</strong> versteckt <br />
• Vergleichen verschiedener <strong>Verpackungen</strong> miteinander<br />
• <strong>Verpackungen</strong> analysieren<br />
• Kreation einer neuen Leckerei mit Verpackung<br />
Frage: Welche Mathematik wird wofür benötigt
Beispiele für Analysen von <strong>Verpackungen</strong><br />
Ist die Tetrapak-Milchtüte materialoptimal <br />
Ansatz 1<br />
Der erste Ansatz berücksichtigt ausschließlich<br />
die Materialminimalität der 1-Liter-Milchtüte mit<br />
quadratischer Grundfläche. Aspekte wie<br />
Stabilität, Handlichkeit und Öffne- und<br />
Wiederverschließmöglichkeit, die in der realen<br />
Herstellung beachtet werden müssen, spielen<br />
keine Rolle. http://www.archiabi03.de/unterricht/facharbeiten/facharbeit_vincent_m_extremwertbestimmung1.pdf<br />
„Wollen Sie Ihre CDs in der Hülle<br />
verschicken, empfehlen wir Ihnen den<br />
Jewelcase Versandbrief. Auch er ist<br />
selbstklebend und portooptimiert.“<br />
Prüfe das nach!
-<br />
Die Lernenden erkennen <strong>math</strong>ematische Fragestellungen, auch in<br />
Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren.<br />
• Rundgang mit der „Mathematikbrille“...<br />
Frage: Wo ist Mathematik in <strong>Verpackungen</strong> versteckt <br />
• Vergleichen und Analysieren von <strong>Verpackungen</strong><br />
Frage: Welche Mathematik wird wofür benötigt<br />
• Realsituationen <strong>math</strong>ematisch beschreiben:<br />
Material- und Kostenoptimierung<br />
bei der Herstellung von <strong>Verpackungen</strong><br />
unter Berücksichtigung von<br />
Nutzerfreundlichkeit<br />
Schutz und Haltbarkeit des Verpackungsinhalts<br />
ökologischer Aspekte<br />
Frage: Wie kann man solche Situationen/Zusammenhänge<br />
<strong>math</strong>ematisch beschreiben<br />
Welche Vorteile, welchen Mehrwert kann eine <strong>math</strong>ematische<br />
Beschreibung bieten
Realsituationen <strong>math</strong>ematisch beschreiben:<br />
1.) Optimierung der Verpackung auf der Palette unter<br />
Berücksichtigung von Schachtelbauarten,<br />
Schachtelabmessungen, Materialverbrauch, der<br />
Qualitätsbestimmung einzusetzender Wellpappe für die<br />
Versandverpackung und der Geometrie der<br />
Produktverpackung;<br />
2.) Optimierung des Verpackungsspektrums, d.h. Reduzierung<br />
der Verpackungsvielfalt durch optimales Packen der Artikel in<br />
der Verpackung und optimale Stapelung der Packungen auf der<br />
Palette, sowie durch Verpackungsauswahl und statistische<br />
Auswertung der Packergebnisse<br />
Quelle: http://publica.fraunhofer.de/dokumente/PX-27489.html
Realsituationen <strong>math</strong>ematisch beschreiben:<br />
Wie gelingt hier eine<br />
materialsparende<br />
Herstellung
Realsituationen <strong>math</strong>ematisch beschreiben:<br />
Dosenoptimierung unter dem<br />
Gesichtspunkt der<br />
Nutzerfreundlichkeit
„Innehalten und Orientieren“: Mathematikbrille<br />
aufsetzen zur Reflexion<br />
Welches sind typische Fragen, die Mathematiker stellen und<br />
auch zu beantworten versuchen<br />
-etwas optimieren<br />
-etwas schrittweise verfeinern, annähern<br />
-einen Algorithmus finden (eine „Formel“) für einen Zusammenhang<br />
-Mathematische Modelle für Realsituationen finden, Simulationen<br />
Wenn man eine Lösung für ein Problem gefunden hat:<br />
- Ist das die einzige Lösung Kann man das<br />
beweisen<br />
- Kann man diese spezielle Lösung auch<br />
verallgemeinern
Reflexion und Hintergrund<br />
Jedes Ziel umfasst: -<br />
Intelligentes Wissen<br />
Handlungskompetenz<br />
Die Lernenden<br />
- - erkennen <strong>math</strong>ematische Fragestellungen,<br />
- auch in Alltagssituationen, und können solche<br />
Fragestellungen formulieren und erläutern.<br />
In welche Richtungen kann man fragen<br />
(Wo ist Mathematik versteckt, wo hilfreich…)<br />
„Typische“ Mathematikerfragen kennen<br />
Konkrete Fragen in<br />
einem Kontext finden<br />
– auf verschiedenen<br />
„Orientierungsleveln“<br />
1. Probierorientierung<br />
2. Orientierung am Bsp.<br />
3. Feldorientierung<br />
Metakompetenz<br />
Beurteilungskriterien für <strong>math</strong>ematikhaltige<br />
Fragestellungen…
<strong>Verpackungen</strong> machen in Deutschland<br />
ca. 1% in der CO2-Gesamtemission aus.<br />
Durchschnittbilanz<br />
Tonnen CO 2 pro Jahr<br />
Durchschnittliche CO 2 - Emission pro Kopf in Privathaushalten<br />
Heizen und Warmwasser 1,97<br />
Elektrogeräte 0,75<br />
Energieverbrauch gesamt 2,72<br />
Verbrauch der<br />
Allgemeinheit<br />
11%<br />
Heizen und<br />
Warmwasser<br />
18%<br />
Privatfahrzeuge 1,56<br />
Offentliche Verkehrsmittel 0,11<br />
Flugreisen 0,85<br />
Mobilität gesamt 2,52<br />
Ernährung 1,65<br />
Persönlicher Konsum 2,75<br />
Verbrauch der Allgemeinheit 1,24<br />
Konsum gesamt 5,64<br />
Gesamt 10,88<br />
Persönlicher Konsum<br />
26%<br />
Ernährung<br />
15%<br />
Elektrogeräte<br />
7%<br />
Offentliche<br />
Verkehrsmittel<br />
1%<br />
Flugreisen<br />
8%<br />
Privatfahrzeuge<br />
14%<br />
Quelle: Umweltbundesamt
Gliederung<br />
1. Visionen für einen modernen Mathematikunterricht<br />
2. Verpackungsoptimierung: Mathematisch Modellieren<br />
in verschiedenen Stufen<br />
3. Methodische Unterstützungsinstrumente zum<br />
langfristigen Kompetenzaufbau
Unterrichtskonzept von „MABIKOM“<br />
Unterrichtseinstieg<br />
KÜ<br />
Lernprotokoll<br />
Wahlaufgaben, Aufgabenset<br />
KÜ<br />
KÜ<br />
Checkliste<br />
LHA<br />
Blütenaufgaben<br />
Lernkontrolle
Kontakt:<br />
www.<strong>math</strong>-<strong>learning</strong>.com<br />
bruder@<strong>math</strong>ematik.tu-darmstadt.de<br />
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