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Mathematisch Argumentieren,Modellieren und Probleme lösenlernen - aber wie? -- - - -- - - -(-) – (-)Prof. Dr. Regina BruderFB MathematikTechnische Universität Darmstadtwww.math-learning.com06.11.2013, Schwandorf

Vision für modernen MU:Was soll durch den Mathematikunterricht von der Mathematikverstanden,Mathematische Gegenstände ... als einededuktiv geordnete Welt eigener Art ...begreifen.behalten undProblemlösefähigkeiten (heuristischeFähigkeiten, die über die Mathematikhinausgehen)angewendetwerden können?Erscheinungen der Welt um uns ... in einerspezifischen Art wahrzunehmen und zuverstehen.Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995

Zielkategorien zusammengefasst imKompetenzbegriff (nach Weinert 2001):• „Kompetenzen sind die bei Individuen verfügbaren oderdurch sie erlernbaren kognitiven Fähigkeiten undFertigkeiten, um bestimmte Probleme zu lösen, sowie diedamit verbundenen motivationalen, volitionalen und sozialenBereitschaften und Fähigkeiten um die Problemlösungen invariablen Situationen erfolgreich und verantwortungsvollnutzen zu können“• Neu: Betonung der aktuellen Verfügbarkeit intendierterLeistungsdispositionen (in Form von Wissen und Können)Was heisst es, mathematisch kompetent zu sein?

Kompetenzbegriff – als Chance?Den Kompetenzbegriff ernst nehmen, das heisst dann auch die bisherigesequenzierte Beurteilungs-und Bewertungskultur grundlegend ändern:• Verfügbarkeit von mathematischem Basiskönnen fördern und auchregelmäßig prüfen• Feedback geben anhand der drei Bezugsnormen- individuelle Bezugsnorm (wie hast Du Dich in den verschiedenenKompetenzbereichen entwickelt? Wo liegt Dein Entwicklungspotenzial?Blick auf die individuellen Lernprozesse, weniger auf das Ergebnis)- soziale Bezugsnorm (Deine Entwicklung in der Lerngruppe, verbale „Kopfnoten“)- sachliche Bezugsnorm (wie ist Dein aktueller Entwicklungsstand gemessen anden fachbezogenen Standards? Verbal differenziert und als Fachnote)

Unterscheidung von Zielkategorien(nach Weinert):• Intelligentes WissenBegriffe, Zusammenhänge und Verfahren identifizierenund realisieren können; typische Anwendungen undBearbeitungsstrategien kennen• HandlungskompetenzMathematisches Wissen vernetzen und in komplexen/variablenSituationen inner- und außermathematisch anwenden können• MetakompetenzReflexionsfähigkeit über den eigenen Lernstand undLernprozess und Methodenbewusstheit in Verbindung miteinem angemessenen Bild von Mathematik

1. Was Lernziele ist wesentlich? – drei Grunderfahrungen bzgl. MathematikWeinert(1999)7

Gliederung1. Problemsicht: Entwicklungspotenziale im aktuellen MU(Grundwissen und Grundkönnen wachhalten)2. Exkurs: Lernstile3. Vorstellungen zu einem langfristigen Kompetenzaufbau4. Was heisst „nachhaltig Mathematik lernen“?5. Wann hat man Mathematik (elementar) verstanden?

Problemsicht• Klagen über fehlendesmathematisches Grundkönnen(IHK, Hochschulen)»Bewerber scheitern vielfachan der Aufgabe, die Flächeeines Rechtecks mit denKantenlängen 50 mal 70Zentimetern zu berechnen.«Die Taschenrechner sind schuld!Projekt „Notstand in Mathematik“der IHK Braunschweig( April 2010)extrem hohe Zahl vonAbbrechern in den MINT-Studienfächern

Phänomene„Teaching to the test“So kann man nicht wirklich „Mathe“ lernen und verstehen:Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren erarbeiten –üben –Test schreiben - vergessen –neues Thema...Vernetzte Begriffswelten? Nein, Inselwelten...Schüler: „Ach, die Atome im Physikunterricht sinddieselben wie in Chemie?“S. aus Kl.9: „Eine Tabelleaufstellen? Sowas haben wirvielleicht mal in Kl.6 gemacht, daskann ich doch jetzt nicht mehr!“Schulleiter an L. in NS: Wieso fragen Sie im Test in Kl.10 diebinomischen Formeln ab, das wurde doch schon viel früherbehandelt.Sie wollen doch auch, dass unsere SuS das Abitur bestehen?

Lösungsvorschlag zum Wachhalten von(verstandenem) Grundwissen undGrundkönnen• Regelmäßige Kopfübungen• Nachlernmaterialien: Matheflyer, www.bettermarks.de o.ä.• Wissensspeicher anlegen:Was war wichtig in der Stunde zum Behalten?• Mind Maps (oder semantische Netze, Lernlandkarten) für dieStruktur und den „roten Faden“

Was ist wesentlich?Orientierung an der CurriculumspiraleBlick nach innen:Struktur der Ma.FigurenerkennenuntersuchenAbständeberechnenDatensätzebeschreibenBlick nach außen:AnwendungenerzeugendarstellenvariierenstrukturierenObjekte (und Prozesse)optimierenAlgebraischeAspekte: ZahlGeometrische Aspekte:Raum- z.B. bei Verpackungen

Was ist wesentlich?Horizontale Vernetzung mit semantischen Netzen im MU:Einstiege, VoraussetzungenGeometrischeAspekteAlgebraischeAspekteAnwendungenAnwendungenWas kommt dann? Weiterungen

Lösungsvorschlag zum Wachhalten von(verstandenem) Grundwissen undGrundkönnen• Regelmäßige vermischte Kopfübungen• Nachlernmaterialien: Matheflyer, www.bettermarks.de• Wissensspeicher anlegen:Was war wichtig in der Stunde zum Behalten?• Mind Maps (oder semantische Netze, Lernlandkarten) für dieStruktur und den „roten Faden“

Kopfrechenführerschein ?

Vermischte Kopfübung mitDiagnoseanteil (Jahrgangsstufe 7)1.Berechne 29 · 72.Ordne der Größe nach: 1/7, 1/3, 1/23.Notiere 4,3 cm in der nächst größeren und der nächst kleineren Einheit4.Berechne 5,4 – 10,65.Wie viele Flächen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleichgroß?6.Berechne: - 3 · (- 11) · 37.Es ist genau 8.00 Uhr. Welchen Winkel schließen Minuten- undStundenzeiger ein?8.In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schüler/innen; 2/3 kommen mit demBus zur Schule. Wie viele Schüler/innen sind das?9.Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft. Für wie viele Tagereicht eine 1-Liter-Flasche?10.Berechne 20% von 45 €.

"Kopfübungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument„1 Berechne: 29 × 72 Ordne der Größe nach: 1/7, 1/3, 1/23 Notiere 4,3 cm in der nächst größeren und der nächst kleineren Einheit4 5,4 – 10,65 Wie viele Flächen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groß?6 Berechne: - 3 × (- 11) × 37 Es ist genau 8.00 Uhr. Welchen Winkel schließen Minuten- und Stundenzeiger ein?8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schüler; 2/3 kommen mit dem Bus zur Schule. Wieviele sind das?9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft. Für wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche?10 Berechne. 20% von 45 €.1 Woche später:1 59 × 92 Ordne der Größe nach: 3/7, 3/4, 3/103 Gib als dm an: 1,82 m4 - 5,4 + 10, 65 Aus welchen Flächen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen?6 Schreibe drei Multiplikationen auf, deren Ergebnis –6 ist.7 Richtig oder falsch: In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groß.8 Gib 2/5 als Dezimalzahl an.9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an, die auf der y-Achseliegen.10 Von 32 Schülern kommen 24 mit dem Bus. Wie viel Prozent sind das?

Kopfübung als DiagnoseinstrumentTypischer Aufbau einer Kopfübung

Intelligente regelmäßige Kopfübungenfür die Grundlagensicherung• Löse die Gleichung im Kopf: 3x - 5 = 1• Gib Maße für zwei verschiedene Dreiecke an mit 20cm 2 Flächeninhalt.• Gib einen Überschlag an für den Umfang eines Kreises mit 15cmDurchmesser.• Auf einer Karte im Maßstab 1: 200000 werden 4cm zwischen zweiOrten gemessen. Wie groß ist die reale Entfernung?• Gib zwei Beispiele an, die in der Form a · b = c beschrieben werdenkönnen und eins, bei dem das nicht sinnvoll ist!• Notiere alle Primzahlen bis 20.• Unter welchen Voraussetzungen kann man den Satz des Pythagorasanwenden?• Was ist 80cm lang?• Schreibe drei Achtel als Kommazahl• 11² = ?• …

Inhalte von Kopfübungen SI –systematische Begleitung im MU-Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen-Umrechnen von Einheiten, Zahl- und Größenvorstellungen-Dreisatz (z.B. Maßstab)- Zahlen/Anteile/Verhältnisse in verschiedenen Darstellungsformen angeben-Punkte im Koordinatensystem-Übersetzungsbausteine (Termstrukturen, funktionale Zusammenhänge)-Basiswissen Geometrie (Winkel, Flächenberechnung...)-Ebenes und Raumvorstellungsvermögen (Skizzieren, Identifizieren)-Logisch-kombinatorisches Denken

Gliederung1. Problemsicht: Entwicklungspotenziale im aktuellen MU – Teil 22. Exkurs: Lernstile3. Vorstellungen zu einem langfristigen Kompetenzaufbau4. Was heisst „nachhaltig Mathematik lernen“?5. Wann hat man Mathematik (elementar) verstanden?6. Elemente eines Unterrichtskonzeptes für einen langfristigenKompetenzaufbau im Mathematikunterricht in heterogenenLerngruppen

Beispiel:Die Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlenbeträgt 434.Wie lauten diese drei Quadratzahlen?Erwartungshorizont: (n-1)² + n² + (n+1)² = 4343n² +2 = 434n² = 144Alternative Schülerlösung – mit EXCEL!Als Testaufgabe: Was wird hier eigentlich gemessen?

Projekt: PALMA (vom Hofe et al)

Warum gibt es Bedarf nach Weiterentwicklungder Aufgabenkultur?Leistungsstarke Lernende werden im deutschen MU zu wenig gefördert!• PISA 2003: Im Problemlösetest bessere Leistungen als in Mathematik• Projekt PALMA: Leistungen sind mitunter besser „vor“ einermathematischen Behandlung(z.B. Anteilsbestimmungen - Lottoaufgabe)TIMS-Videostudie: In der BRD werden nur seltenkomplexe Aufgaben im Unterricht gestelltEine Hochbegabte: Warum soll ich mich engagieren fürandere, wenn für mich ja auch niemand da ist?

Problemsicht• Klagen über fehlendesmathematisches Grundkönnen(IHK, Hochschulen)• Umgang mit verschiedenenLösungswegen• Fehlende Vernetzung• Gesunder Menschenverstand bleibtauf der Strecke• Leistungsstarke Lernende zu weniggefördert• Überzogene Erwartungen anIndividualisierungunterschiedlicheLeistungspotenziale,Lernstile,Grund- und Fehlvorstellungen»Bewerber scheitern vielfach an derAufgabe, die Fläche eines Rechtecks mitden Kantenlängen 50 mal 70 Zentimeternzu berechnen.«(n-1)² + n² + (n+1)² = 434„Teaching to the test“ statt:Eine Hochbegabte: Warum soll ich michengagieren für andere, wenn für mich ja auchniemand da ist?Eltern: „Sie müssen unser Kind nurrichtig motivieren, dann kann es dasschon!“-immer Gruppenarbeit und offeneAufgaben für alle?Helmke-Interview in der „Zeit“ 15.12.2011

Gliederung1. Problemsicht: Entwicklungspotenziale im aktuellen MU2. Exkurs: Lernstile3. Vorstellungen zu einem langfristigen Kompetenzaufbau4. Was heisst „nachhaltig Mathematik lernen“?5. Wann hat man Mathematik elementar verstanden?

Kognitive StileEs ist eine offensichtliche Tatsache, dass• … Schüler individuelle Präferenzen beim Lernen aufweisen• … jede Unterrichtssituation auf jeden Schüler – jeweils anders –vonmotivierend bis hemmend wirkt• …auch Lehrer individuelle Präferenzen aufweisen – und sich daher fastautomatisch gewisse Einseitigkeiten des Lehrens und Lernens einstellen• Korrelationen bestehen zwischen dem Stil der Lehrer und ihren Schülern (Sternberg1994)• Diejenigen Schüler weisen bessere Noten auf, deren Stil demjenigen der Lehrerentspricht (Sternberg 1994)Neu: Unterscheidung von vier verschiedenen Lernstilen als Ergebnis einerMetaanalyse(Gregory, Gayle H.: Differentiating Instruction With Style. Aligning Teacher and Learner Intelligences forMaximum Achievement. Thousand Oaks 2005)

Lernstil der Beach BallsSelf-Expressive Learners (Intuitive/Feeling)Gestalte eine Veranschaulichung für einenSchlüsselbegriff der UnterrichtseinheitExperimentier- &EntdeckungsfreudeSpontanität & KreativitätGleichschrittanweisungen zufolgen,immer die gleichenSchreibarbeiten zu machen

Lernstil der PuppiesInterpersonal Learners (Sensing/Feeling)•Intuitiv, affektiv•Benötigen Begründung für das Lernen•Haben Bedürfnis nach Zusammenarbeit•Detailorientiert und gründlich zu sein•Korrigiert zu werden oder ein negativesFeedback zu erhalten

Lernstil der MicroscopesUnderstanding (Intuitive/Thinking)Beurteile folgende Aussagen, ob sie jeweilsstets, manchmal oder niemals wahr sind.Begründe deine Beurteilung schriftlich.Denken analytisch, kritischLernen gründlich,Arbeiten alleineNeue Dinge ausprobierenoffene Probleme lösenPerfektionisten1. Ein Trapez ist ein Rechteck.Begründung___________________________2. Ein Viereck ist ein reguläres Polygon.3. Ein Parallelogramm ist ein Viereck.4. Ein Trapez hat parallele Schenkel.5. Diagonale eines Parallelogramms halbieren einander.6. Ein Rechteck ist ein Quadrat.7. Ein Quadrat ist ein Rechteck.8. Eine Raute ist ein Rechteck.9. Ein Parallelogramm hat exakt drei rechte Winkel.10. Vier Seiten einer Raute und eines Parallelogrammssind gleich lang und vier Ecken einer Raute undeines Parallelogramms sind gleich groß.

Lernstil der ClipboardsMastery (Sensing/Thinking)Routinen, vorhersagbareSituationenSinn für Details & GenauigkeitOhne Anweisungen arbeiten,das „große Bild“sehen

Lernstile• Unterscheidung von vier verschiedenen Lernstilen (Gregory, Gayle H.:Differentiating Instruction With Style. Aligning Teacher and Learner Intelligences for MaximumAchievement. Thousand Oaks 2005)• Keine Diagnostik und Zuordnung der Lernenden nach Lernstilen• Dennoch: Zuordnung Lernstil =>Unterrichtsmethode (math tools)• Idee: Durch Variation in den Aufgaben und Darstellungen finden alleLernstile stärkere Berücksichtigung im Unterricht• Annahme: Die Unterschiedlichkeit des Zuganges zumUnterrichtsgegenstand nutzt allen Lernenden mehr, als wenn sie nurihrem eigenen Lernstil entsprechend unterrichtet würden.

SchlussfolgerungenDidaktischeAnalyseBerücksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei derAufgabenwahl (vor allem für Einstiege, Übungen und Langfristige HA)1. Welche Fähigkeiten, Verfahren und Schlüsselbegriffe müssen dieLernenden beherrschen?Lernprotokoll, Checkliste, mind-map2. Welche Kernbegriffe, Muster oder Prinzipien müssen die Lernendenvertieft verstehen?Aufgabenset, Wdhlg. mit Kopfübung3. Wie werden die Lernenden persönlichen Bezug zur Mathematikherstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematikentdecken?Lerntagebuch, eigene Beispiele finden,Mathegeschichten erfinden...4. Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalteerkunden, visualisieren, anwenden oder mit ihnen experimentieren?

Gliederung1. Problemsicht: Entwicklungspotenziale im aktuellen MU2. Exkurs: Lernstile3. Vorstellungen zu einem langfristigen Kompetenzaufbau4. Was heisst „nachhaltig Mathematik lernen“?5. Wann hat man Mathematik elementar verstanden?

Vision für modernen MU:Was soll durch den Mathematikunterricht von der Mathematikverstanden,Mathematische Gegenstände ... als einededuktiv geordnete Welt eigener Art ...begreifen.behalten undProblemlösefähigkeiten (heuristischeFähigkeiten, die über die Mathematikhinausgehen)angewendetwerden können?Erscheinungen der Welt um uns ... in einerspezifischen Art wahrzunehmen und zuverstehen.Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995

Bauer Alfred benötigt einen neuen Fasswagen:Er hat in einer Internetauktion folgenden Fasswagengefunden:In der Beschreibung steht:Robuster Fasswagen mit Selbsttränke auf 15Zoll-Felgen.Aufgabe:Bauer Alfred möchte in erster Linie wissen, welchesVolumen der Wagen fasst. Du kannst ihm sicher helfen!Schätze das Fassungsvermögen des Wagens möglichstgenau ab.

a) Schätze das Volumen dieser Schachtel und beschreibe, wie du dabei vorgehst!b) Wenn das Volumen des Inhalts 70% (oder weniger) des Volumens der Verpackungbeträgt, spricht man von einer Mogelpackung. Handelt es sich hier um eineMogelpackung? Begründe deine Meinung rechnerisch.

Intelligentes Wissen – Handlungskompetenz-Metakompetenz

Langfristiger Kompetenzaufbau…… bezüglich eines mathematischen Blickes in die Welt, kann heißen:a) Die Umwelt/Lebenswelt mit mathematischem/logischem Blick kritischprüfen: Stimmt das? Kann das denn sein?Warum ist das so? Wie geht das?b) Den Mehrwert von Mathematik erfahren:Wo kommt Mathematik vor – wo ist Mathematik versteckt?Wie fragen Mathematiker?Was wissen wir jetzt besser/genauer mit Mathematik als vorher?Beispiele: - wir können Größen abschätzen- wir können Dinge, Sachverhalte, Anteile miteinander vergleichenund darstellen und kennen typische Darstellungsfehler...

Breite eines Flusses bestimmen – mit Maßband und Winkelmessgerät

Wie kann man die Breite eines Flusses (Höhe eines Baumes o.ä.nicht zugängliche Entfernungen) bestimmen?Maßband und Winkelmessgerät stehen zur Verfügung.6.11.2008 R. Bruder TUD4242

Beispiel: Laternenhöhea) Schätze zunächst die Höhe der Laterne anhand des Fotos. Entwickledann eine rechnerische Methode, um vor Ort die Höhe der Laterne miteiner angemessenen Genauigkeit zu ermitteln, wenn ein Maßband undein Winkelmessgerät zur Verfügung stehen.Aus: Bildungsstandards konkret

) Eine weitere mathematische Vorgehensweise zurHöhenbestimmung, die sogenannte „Holzfäller-Methode“, ist hierbeschrieben (zitiert nachhttp://www.wdrmaus.de/sachgeschichten/baumhoehe_messen/:.....Erkläre, wie diese Methode mathematisch begründet werden kann undführe diese mit deinen Mitschülern an Objekten auf dem Schulhofdurch. Präsentiert Eure Gruppenergebnisse auf einem Poster!- Überlege dir zwei verschiedene reale Situationen, in denen es notwendigoder interessant sein kann, die Entfernung zwischen zwei Punkten zubestimmen, von denen mindestens einer nicht zugänglich ist.

Gliederung1. Problemsicht: Entwicklungspotenziale im aktuellen MU2. Exkurs: Lernstile3. Vorstellungen zu einem langfristigen Kompetenzaufbau4. Was heisst „nachhaltig Mathematik lernen“?5. Wann hat man Mathematik elementar verstanden?

Beispiele für sich durchsetzendelerntheoretische Konstrukte:Theorie der Erkenntnisebenen – Wege zur Erkenntnisgewinnung ?(Bruner)(Galperin)Enaktive Ebene - materielle Ebene(Muskelerinnerung)ikonische Ebene - Ebene der unmittelbarenAnschauung- Ebene der mittelbarenAnschauung (Computerbilder)- sprachliche EbeneSymbolische Ebene - geistige Ebene

Beispiel: Innenwinkelsummensatz• Motivation: Herausarbeiten, dass die Summe der Innenwinkel konstantbleibt – aber wie groß ist sie?• Vermutung durch Messen – das ist aber kein zulässiges mathematischesWerkzeugEnaktiv: Winkel durch Körperdrehung ablaufenEcken abreißenIkonisch: Winkel messenSkizze mit parallel verschobener Dreiecksgrundseitedurch gegenüberliegenden EckpunktSymbolisch: Beschriftung von Seiten und Winkeln undAufstellen von Gleichungen mit Winkelgrößen

Nachhaltig Mathematik lernen bedeutet:• Beim Wissenserwerb anknüpfen an bisheriges Wissen und Können• Beim Wissenserwerb verschiedene Erkenntnisebenen durchlaufen• Methoden und Argumentationen liefern, die mathematischer Natur sind• Erweitern und Vernetzen: Innenwinkelsumme im Viereck?• Kritisch weiter denken: Stimmt das immer?

Lernfortschritt erfordert:- Eine selbst gestellte Lernaufgabe- Erarbeitung einer Orientierungsgrundlage für die notw. TätigkeitenVerortung von Lernfortschritten nach VYGOTSKI:Zone dernächstenEntwicklung-------------------Zone deraktuellenLeistungModell der Lerntätigkeit nach Lompscher(1972, 1984)ZieleHandlungInhalt VerlaufProdukteZone dernächstenEntwicklung-------------------Zone deraktuellenLeistung1. ProbierorientierungMotiveLernaufgabeErgebnisseOrientierungsgrundlage2. Orientierung am Bsp.3. Feldorientierung

Präzisierung einer Ziel-Vision für einen nachhaltigen,allgemeinbildenden MU für alle:Die Lernenden- - erkennen mathematische Fragestellungen, auch inAlltagssituationen, und können solcheFragestellungen formulieren und erläutern.- - kennen Mathematisierungsmuster und verschiedeneheuristische Vorgehensweisen sowie Darstellungsartenzur Bearbeitung mathematischer Fragestellungen undkönnen diese situations- und sachgerecht anwenden,interpretieren und begründen.- - entwickeln Anstrengungsbereitschaft und- Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln.

Reflexion: Wir setzen die Mathebrille auf:Welches sind typische Fragen, die Mathematiker stellen und auch zubeantworten versuchen?-etwas optimieren-etwas schrittweise verfeinern, annähern-einen Algorithmus finden (eine „Formel“) für einen Zusammenhang-Mathematische Modelle für Realsituationen finden, SimulationenWenn man eine Lösung für ein Problem gefunden hat:- Ist das die einzige Lösung? Kann man dasbeweisen?- Kann man die spezielle Lösung auchverallgemeinern?

-Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen, auch inAlltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren.• Rundgang mit der „Mathematikbrille“...Frage: Wo ist Mathematik in Verpackungen versteckt ?• Vergleichen verschiedener Verpackungen miteinanderFrage: Welche Mathematik wird wofür benötigt?• Art des Materials• Form• Handhabbarkeit• Herstellungsverfahren• Ökologische Aspekte

-Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen, auch inAlltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren.• Rundgang mit der „Mathematikbrille“...Frage: Wo ist Mathematik in Verpackungen versteckt ?• Vergleichen und Analysieren von Verpackungen• Kreation einer neuen Leckerei mit VerpackungFrage: Welche Mathematik wird wofür benötigt?• Realsituationen mathematisch beschreiben:unter Berücksichtigung vonMaterial- und Kostenoptimierungbei der Herstellung von VerpackungenFrage: Wie kann man solche Situationen/Zusammenhängemathematisch beschreiben?• Nutzerfreundlichkeit• Schutz und Haltbarkeit des Verpackungsinhalts• ökologischer AspekteWelche Vorteile, welchen Mehrwert kann eine mathematischeBeschreibung bieten?

Reflexion und HintergrundJedes Ziel umfasst: -Intelligentes WissenHandlungskompetenzDie Lernenden- - erkennen mathematische Fragestellungen,- auch in Alltagssituationen, und können solcheFragestellungen formulieren und erläutern.In welche Richtungen kann man fragen?(Wo ist Mathematik versteckt, wo hilfreich…)„Typische“ Mathematikerfragen kennenKonkrete Fragen ineinem Kontext finden– auf verschiedenen„Orientierungsleveln“1. Probierorientierung2. Orientierung am Bsp.3. FeldorientierungMetakompetenzBeurteilungskriterien für mathematikhaltigeFragestellungen…

Gliederung1. Problemsicht: Entwicklungspotenziale im aktuellen MU2. Exkurs: Lernstile3. Vorstellungen zu einem langfristigen Kompetenzaufbau4. Was heisst „nachhaltig Mathematik lernen“?5. Wann hat man Mathematik elementar verstanden?

Wann hat man Mathematik verstanden?• Ein elementares Verständnis isterreicht, wenn IdentifizierungsundRealisierungshandlungenzum jeweiligen Begriff,Zusammenhang oder Verfahrenausgeführt werden können.• Ein lokaler Verständnisfortschrittwird erreicht, wenn ein Beispiel„dafür“ und eins „dagegen“angegeben werden kann.Identifizieren:• Ist eine Konfektschachtel ein Modell für einPrisma?• Kann der Satz des Pythagoras angewendetwerden?• Ist die Gleichung/das GS mit … lösbar? …Formel anwendbar?Realisieren:• Ein Prisma skizzieren• Einen Satz auf eine Situation anwenden• Ein Verfahren ausführen• Globales Verständnis wird erreicht, wenn die mathematischenBegriffe, Zusammenhänge und Verfahren zuMathematisierungsmustern werden

Idee: KompetenztrainingslagerHintergrund: Übungskonzept (ml• Erste Übungmit Identifizierungs- undRealisierungsaufgaben für die neuenStoffelemente (in unmittelbarerVerbindung mit der Einführung)• Vielfältige Übung (auch vertiefendeÜbung genannt)• Aufgabenset1.2.3.45.________________6.7.8.________________9.10.((-)-(-))(-x-)Vertiefend, binnendifferenzierend und alsproduktive bzw. „intelligente“ Übunggestaltet• Blütenaufgaben(xx-)(x--), (x-x)(-xx)• Komplexe Übungen und AnwendungenVernetzungen der aktuellen Stoffelemente mitbereits bekannten herstellen;Komplexität erhöhen und Transfer ermöglichenProjektartiges „Trainingslager“ mit SchwerpunktArgumentieren oder Modellieren oderProblemlösenlernen auch an „neuen“ Inhalten

Wir schaffen uns die Rahmenbedingungen fürerfolgreiches Problemlösenlernen:- Elementares Verständnis neuer Lerninhalte sichernund mögliche Fehlvorstellungen frühzeitig erkennen –durch Lernprotokolle

Beispiel für ein Lernprotokoll• Welche Möglichkeiten kennst Du, umZuordnungen darzustellen?• Gib ein Beispiel für eine proportionaleZuordnung an und nenne ein Beispiel, daskeine proportionale Zuordnung ist.• Welchen Vorteil kann eine mathematischeBeschreibung von Zuordnungen haben?Beispiel „dafür“Beispiel „dagegen“Mehrwert??Löse die beiden Aufgaben!Um sein Budget aufzubessern arbeitet ein Student als Hilfskraft pro Woche vier Stundenund verdient 32€. Wie viel € hat er in einer halben Stunde verdient?Bei einer Gartenarbeit habt Ihr zu dritt mit angepackt und vier Stunden benötigt. Wie vieleHelfer hättet Ihr gebraucht, um in einer halben Stunde die Arbeit abzuschließen?Wie realistisch ist das?

Lernziel gestellt –Lernziel und -inhalt „angekommen“?Grundverständnis sichern mit einem LernprotokollAufgabenformate für Lernprotokolle• Worum ging es im Einführungsbeispiel in der letzten Stunde?(Erläuterung)• Grundaufgabe und ihre Umkehrung (Grundverständnis undVerankerung durch erste Vernetzung)• Wir haben ein neues Verfahren (Begriff, Satz) kennen gelernt: Gib einBeispiel an, wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins, wodas nicht möglich ist!(Beispiel – Gegenbeispiel, Sinneinsicht)• Welche Fehler können passieren, wenn man das Verfahren...anwendet?

MABIKOM 7/8Lernprotokoll zum Thema Flächeninhalte1. Beschreibe das Eingangsbeispiel zum Thema Flächeninhalte mit deineneigenen Worten.2. Zeichne vier verschiedene Figuren mit einem Flächeninhalt von 10 cm².3. Bestimme die Flächeninhalte der dargestellten Figuren.4. Bei welchen Fragestellungen kannst du das neu gelernte Verfahrenanwenden und bei welchen ist es nicht hilfreich?5. Welche typischen Fehler tauchen bei der Berechnung von Flächeninhalten auf?

Beispiel für ein Lernprotokoll(Potenzfunktionen)• Auf der folgenden Abbildung siehst du dieGraphen verschiedener Funktionen.Entscheide, bei welchen der Funktionen es sichum Potenzfunktionen handelt.• Bestimme die Gleichung einer Potenzfunktion f(x)= ax^b, die durch folgende Punkte läuft:P(-1,5/ -22,78) und Q(2,5/ 292,97).• Entscheide (begründet!) welche der folgenden Zusammenhänge durch eine Potenzfunktionmodelliert werden können.a) Das Volumen eines Würfels in Abhängigkeit von seiner Kantenlänge a.b) Pauls Ersparnisse vermehren sich jährlich um 4%.c) Der Flächeninhalt einer zentrisch gestreckten Figur in Abhängigkeit vom Streckfaktor.• Lisa hat die Funktion f(x)=x 1/3 in ihren Taschenrechner eingegeben und wundert sich, dassder Graph eine Gerade ist.

Wir schaffen uns die Rahmenbedingungen fürerfolgreiches Weiterlernen, also einen langfristigenKompetenzaufbau:- Elementares Verständnis neuer Lerninhalte sichernund mögliche Fehlvorstellungen frühzeitig erkennen –durch Lernprotokolle- Verfügbares Grundkönnen sichern – durchregelmäßige vermischte Kopfübungen

Aufgabentypen nach ZielstrukturGege- Transfor- Gesuchbenesmationen tes-----------------------------------------------------------------------X X X gelöste Aufgabe ( stimmt das?)X X - einfache Bestimmungsaufgabe- X X einfache UmkehraufgabeX - X Beweisaufgabe, SpielstrategieX - - schwere Bestimmungsaufgabe,- - X schwierige Umkehraufgabe- X - Aufforderung, eine Aufgabe zu erfinden(-) - (-) offene Problemsituation(Trichtermodell)64

Kontakt:www.math-learning.com (Vorträge zum download)bruder@mathematik.tu-darmstadt.dewww.proLehre.deOnline - Fortbildungskursewww.madaba.de -- - - -- - - -(-) – (-)