2. Klausur 13.1 - Marlene Walter

LK 13 M Kahl / Walter 2. Klausur 13/I 22.11.02
Aufgabe 1
Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme und machen Sie begründete Aussagen zur
jeweiligen Lösungsmenge:
a) 3x 1 + x 2 + 2 x 3 = 0 b) 1 1 1 1
– x 1 + x 2 + x 3 = 5 2 1 3 0
x 1 + x 2 + x 3 = 2 2 2 2 3
Aufgabe 2
Eine lineare Abbildung ist durch ihre Abbildungsmatrix M gegeben. Bestimmen Sie die
Koordinaten der Bildpunkte des Dreiecks ABC. Zeichnen Sie Ausgangsdreieck und Bilddreieck
in ein Koordinatensystem ein. Welche Abbildung wird durch die Matrix M beschrieben
a) A(2|3), B(3|4), C(-1|4)
b) A(1|0), B(-2|3), C(0|4)
→
´ ⎛0,5 0⎞→ ⎛−2⎞
x = ⎜ ⎟x+
⎜ ⎟
⎝0 0,5⎠ ⎝3
⎠
→
´ ⎛−1 2⎞→
x = ⎜ ⎟ x
⎝2 −1⎠
Aufgabe 3:
Gegeben sind die Punkte O(0/0), E 1 (1/0), E 2 (0/1), P(4/1), Q(2/5).
a) Geben Sie eine Matrixdarstellung für die affine Abbildung α an, die folgende
Abbildung erzeugt: O´=O, E 1´=P und E 2´=Q.
b) Geben Sie eine Matrixdarstellung β an mit O´=O, P´=E 1 und Q´=E 2 .
c) Berechnen Sie das Produkt der Abbildungsmatrizen und interpretieren Sie das
Ergebnis.
Aufgabe 4:
Die Telefongesellschaften A-tel, B-tel, und C-tel
haben den Telefonmarkt erobert und schließen
Jahresverträge mit ihren Kunden ab. Die
nebenstehende Figur zeigt, wie viele Kunden
anteilmäßig von Jahr zu Jahr die Gesellschaft
wechseln.
a) Bestimmen Sie die Kundenverteilung nach 1, 2 und 3 Jahren.
b) Wie lässt sich die Kundenverteilung nach n Jahren bestimmen
Aufgabe 5:
Ein Klebstoffhersteller mischt aus zwei Grundstoffen vier Zwischenprodukte und stellt
daraus drei Klebersorten K 1 , K 2 und K 3 her.
Die nebenstehende Figur zeigt den jeweiligen
Materialverbrauch in kg an Vorprodukten für ein kg
jedes Folgeproduktes.

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a) Bestimmen Sie die Bedarfmatrizen für die beiden Produktstufen und daraus die
Bedarfmatrix für den Gesamtprozess.
b) Wie viel kg der verschiedenen Klebersorten kann man aus 100 kg G 1 und 200 Kg
G 2 produzieren
Aufgabe 6:
Prüfe, ob die folgenden Rechengesetze der Multiplikation auch für Matrizen gilt:
a) Kommutativgesetz A . B = B . A
b) Assoziativgesetz (A . B) . C =A . (B . C)
c) Distributivgesetz A . (B+C) = A . B+A . C
mit
⎛a11 a12 ⎞ ⎛b11 b12 ⎞ ⎛c11 c12
⎞
A= ⎜ ⎟ B= ⎜ ⎟ C = ⎜ ⎟
a a b b c c
⎝ 21 22 ⎠ ⎝ 21 22 ⎠ ⎝ 21 22 ⎠
Aufgabe 7:
Bei einer tropischen Fliegenart entwickeln sich ein Teil
der Eier in einer Woche zu Larven und diese in einer
weiteren Woche zu Fliegen. Durch Feinde kommt ein
Teil der Eier und Larven um. Jede Fliege legt nach
einer Woche t Eier und stirbt.
a) Bestimmen Sie jeweils die Übergangsmatrix
nach 1, 2, 3 Wochen.
b) Wie entwickeln sich die Anzahl der Fliegen über längere Zeiträume in Abhängigkeit
von t
Aufgabe 8: (Bitte als letzte bearbeiten)
In der Anlage sehen Sie einen DERIVE-Druck. A ist die gleiche Matrix, die Sie von der
Aufgabe mit den drei Werken und der monatlichen Käuferwanderung aus dem Unterricht
kennen. Ins gesamt sind jetzt 150000 Käufer vorhanden, die sich zu Beginn der Betrachtung -
wie in #2 angegeben – auf die Werke verteilen. Beschreiben, erklären und interpretieren Sie
die durchgeführte Rechung schrittweise und skizzieren Sie dann die Grundidee der Rechnung.