1. Klausur 12.2 - Marlene Walter

LK 12 M2 Kahl / Walter 1. Klausur 12/II 13.03.02Bitte auch Teillösungen und Lösungsansätze angeben. Achten Sie auf eine saubere undübersichtliche Darstellung.Aufgabe 1:a) Bestimmen Sie die folgenden Integrale:2 2 32 5 1 2 1+ x x + x2 2a) ∫x + x dx b) ∫ dx c) ∫ dx d) dx e)a b da4 2x∫x∫ +1 x16f) (17x−3) dx∫b) Bestimmen Sie den Flächeninhalt, den der Graph von f mit f(x) = -x ³ +4 x ² -3x mit der x-Achse einschließt.c) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, den die Graphen von f mit f(x)=-x²+5x-+9 undg mit g(x)=-2x+1 einschließen4∫3d) Bestimmen sie x dx und erklären sie das Ergebnis.−41e) Gegeben ist die Funktion f a mit fa( x) = x³− ax. Untersuchen Sie f a auf Nullstellen und2Extrema; zeichnen Sie den Graphen für a = 1 und berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die f amit der x-Achse einschließt. a>0.Aufgabe 2:Der Boden eines 2km langen Kanalshat die Form einer Parabel mit derGleichung y = 1 8 x2 . Dabei entsprichteiner Längeneinheit 1 m in derWirklichkeit.a) Berechnen Sie den Inhalt derQuerschnittsfläche des Kanals.b) Wie viel Wasser befindet sich imKanal, wenn er ganz gefüllt ist?c) Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur bis zurhalben Höhe gefüllt ist?Aufgabe 3Entwickeln sie eine Formel für den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f(x) = 2x ² undn1der x-Achse auf dem Intervall [0,b]. Verwenden Sie ohne Beweis: ∑ i² = n( n+ 1)(2n+1)6i=1

LK 12 M2 Kahl / Walter 1. Klausur 12/II 13.03.02Aufgabe 4Zeigen Sie, dass alle Parabeln der Formmit der x-Achse einschließen.2 1ft( x) = x x² (t > 0)t² − t³gleich große FlächenAufgabe 5:Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass 9 n -1 für alle n ∈N durch 8 teilbarist.Aufgabe 6:Skizzieren Sie den Graph von f mit f(x)= 1 x .Wir können bisher die Stammfunktion F(x) zu f(x)= 1 xnicht bilden, weil in unserer Formel(n+1) im Nenner steht. Andererseits ist f(x) auf R + stetig und damit in jedem Intervall [a;b]mit a,b ∈ R + integrierbar, also sollte eine Stammfunktion existieren.aBetrachten wir einen Spezialfall und definieren F durch Fa ( ) = ∫ 1x dx .Skizzieren Sie die Fläche zuF(2)21= ∫ dx im Koordinatensystem.xWarum folgt F(1) = 0 ?Warum folgt F(a) > 0 für a > 1 ?Warum folgt F(a) < 0 für 0