Mengenlehre

1 Grundbegriffe
Mengenlehre
Jörg Witte
25.10.2007
Die Menegenlehre ist heute für die Mathematik grundlegend. Sie spielt aber
auch in der Informatik eine entscheidende Rolle. Insbesondere fußt die Theorie
der relationalen Datenbanken auf der Mengenlehre.
Die Mengenlehre wurde von G. Cantor (1845 – 1918) begündet. Er legte
den Begriff der Menge folgendermaßen fest:
Definition 1.1 (Menge) Unter einer Menge M verstehen wir eine Zusammenfassung
von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten der Anschauung
oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem
Ganzen.
Für ein ELement x von M schreiben wir: x ∈ M. Endliche Mengen lassen
sich aufzählen:
{x1, x2, . . . , xn}
Häufig werden Mengen durch Aussageformen p(x) definiert. Eine Aussageform
ist eine logische Aussage, die entweder wahr oder falsch ist, und die von
einem Parameter x abhängt. Schreibweise:
{x|p(x)}
Mit Hilfe einer Aussageform knnen Elemente zu einer Menge zusammengefasst
werden, die alle eine Eigenschaft gemeinsam haben. Beispiel:
{x|x ist eine Primzahl}.
Wichtig ist die Unterscheidbarkeit der Elemente. Ein Element kann in
einer Menge höchstens einmal auftreten. Das spiegelt sich in der Theorie der
relationalen Datenbanken darin wieder, dass ein Datensatz in einer Tabelle
höchstens einmal vorhanden sein kann.Beispiel:
{I, N, F, O, R, M, A, T, K}.
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Das I tauch hier nur einmal auf, da die beiden I’s, die in dem Wort Informatik
auftauchen, nicht wohl unterschieden sind. Auch spielt die Reihenfolge, in der
die Elemente aufgelistet werden, keine Rolle.
Da Mengen auf unterschiedliche Weisen dargstellt werden können, stellt sich
die Frage wann zwei Mengen gleich sind.
Definition 1.2 (Gleichheit) Zwei Mengen A und B sind genau dann gleich,
wenn
x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B.
Beispiel: die Menge der natürlichen Zahlen, die durch drei teilbar sind, und
die Menge der natürlichen Zahlen, deren Quersummen durch drei teilbar sind,
sind gleich.
Die Menge, die keine elemente enthält, wird leere Menge genannt und mit
dem Symbol ∅ bezeichnet. Auf Grund der Gleichheitsdefinition kann es nur eine
leere Menge geben.
Definition 1.3 (Teilmenge) Eine Menge A ist genau dann eine Teilmenge
von B, wenn
x ∈ A =⇒ x ∈ B.
Folgerung 1.1 Zwei Mengen A und B sind genau dann gleich, wenn A ⊂ B
und B ⊂ A.
2 Mengenoperationen
Auf Mengen können Operationen ausgeführt werden. Diese sind für das Verständnis
relationaler Datenbanken wichtig, da alle Datenbankoperationen Mengenoperationen
sind.
Definition 2.1 (Durchschnitt) Der Durchschnitt A ∩ B zweier Mengen A
und B ist wie folgt definiert:
A ∩ B = {x|x ∈ A und x ∈ B}
Definition 2.2 (Vereinigung) Die Vereinigung A ∪ B zweier Mengen A und
B ist wie folgt definiert:
A ∪ B = {x|x ∈ A und x ∈ B}
Die Vereinigung un der Durchschnitt sind Assoziativ und Kommutataiv.
Weiterjhin gibt es zwei Distributvgesetze:
und
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
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Definition 2.3 (Differenz von Mengen) Die Differenz A\B zweier Mengen
A und B ist wie folgt definiert:
A \ B = {x|x ∈ A und x �∈ B}
Ein besonderer Fall der Mengendifferenz liegt, dann vor, wenn eine Menge
eine Teilmenge der anderen ist.
Definition 2.4 (Komplement von Mengen) Das Komplement A von A bezüglich
einer Universalmenge Ω ist die Differenzmenge Omenga \ A, wenn A ⊂ Ω.
Häufig ist die Universalmenge aus dem Zusammenhang her klar, so dass sie
nicht noch explizit erwähnt wird.
Satz 2.1 (Regeln von Morgan)
und
A ∩ B = A ∪ B
A ∪ B = A ∩ B
3 Cartesisches Produkt
Bei einem Schachspiel werden die Felder durch eine Kombination von 8 Buchstaben
und 8 Zahlen identifiziert. Betrachten wir die Mengen
und
{A, B, C, D, E, F, G, H}
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}!
Ein Feld eine Schachspiels ist dann eindeutig duch ein Paar von je einem
Element aus der ersten Menge und einem Element aus der zweiten Menge bestimmt.
Bei einem Tabellenkalkulationsprogramm finden wir ähnliches vor.
Definition 3.1 (binäres Cartesisches Produkt) Seien A und B zwei Mengen,
dann heit
A × B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}
das Cartesische Produkt der Mengen A und B.
Das Cartesische Produkt ist also eine Menge von geordneten Paaren. Die
Mengen A und B müssen nicht notwendigerweise verschieden sein.
Für die leere Menge und eine Beliebige menge A erhaltren wir:
A × ∅ = ∅ × A = ∅
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In der Theorie der relationalen Datenbanken werden uns Cartesische Produkte
als Relationen bzw. bei Datenbankabfragen begegnen.
In der Literatur zu den relationalen Datenbanken findet man häufig noch
eine andere Definition des Cartesischen Produktes. Auch wird dort häufig von
der Reihenfolge der Elemente abgesehen. Wenn das Cartesiche Produkt aber als
geordnetes Paar definiert wird, dann spielt die Reihenfolge durchaus eine Rolle.
Ihre Rolle reduziert sich allerdings darauf, die Elemente zu identifizieren. In der
Theorie der relationalen Datenbanken werden dafür Bezeichner verwendet.
Eine Definition, die nicht von einer Reihenfolge gebraucht macht, aber auch
nicht von Bezeichnern, sieht wie folgt aus:
A × B = {{a, {a, b}}|a ∈ A, b ∈ B}.
Jedem geordneten Paar lät sich eindeutig ein Element dieser Menge zuordnen
und umgekehrt. Daher kann man die zweite Definition nur als eine andere
Schreibweise für das Cartesische Produkt auffassen. Wir sprechen hier der Einfachheit
wegen weiter von geordneten Paaren.
Wir wollen uns herlegen, wie diese eindeutige Zuordnung aussieht. Offensichtlich
wird dem Paar (a, b) die Menge {a, {a, b}} zugeordnet. Umgekehrt
kann man dieser Menge auch eindeutig ein Paar (a, b) zuordnen. Warum geht
das mit der Menge {a, b} nicht notwendigerweise? Mehrdeutigkeiten gibt es,
wenn die Mengen A und B einen nichtleeren Durchschnitt haben, a, b ∈ A ∩ B
und a �= b. Ist a = b, dann hat (a, b) nur ein Element und ist eindeutig dem
Paar A, A zugeordnet.
Rekursiv lät sich die Definition des geordneten Paares verallgemeinernt:
{(m1, . . . , mn) = ((m1, . . . , mn−1), mn).
Definition 3.2 (Cartesische Produkt) Seien M1, ..., Mn n Mengen, dann
ist das Produkt aus M1, ..., Mn wie folgt definiert:
M1 × · · · × Mn = {(m1, . . . , mn)|m1 ∈ M1, . . . , mn ∈ Mn}
In der Theorie der relationalen Datenbanken ist es wichtig, eine Relation zu
identifizieren und von anderen Relationen abzugrenzen. Daherist die folgende
Definition sinnvoll.
Definition 3.3 Zwei n-Tupel (r1, . . . , rn) und (s1, . . . , sn) sind genau dann gleich,
wenn fr alle i ∈ {1, . . . , n} gilt: ri = si.
Für das Cartesische Produkt gelten zwei Distributivgesetze:
und
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
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4 Relationen und Funktionen
Definition 4.1 (binäre Relation) Seien A und B zwei Mengen, dann ist
eine (binäre ) Relation R eine Teilmenge des Cartesischen Produktes A × B:
Beispiel: Gleicheitsrelation:
R ⊂ A × B.
R = {(x, x)|x ∈ A}.
Ordnungsrelation: Sei A eine angeordnete Menge, dann ist
R = {(a, b)|a, b ∈ A, a < b}
eine Relation, nämlich die Ordnungsrelation.
Definition 4.2 (n-stellige Relation) Seiebn M1, M2,..., Mn n Mengen, dann
ist
R ⊂ M1 × · · · × Mn
eine (nn-stellige) Relation.
Von sehr wichtiger Besdeutung für des Entwurf relationaler Datenbanken ist
die folgende Definition.
Definition 4.3 (Funktionen) Sei R ⊂ A × B eine Relation zwischen A und
B.
• F heit linksvollständig, wennn es zu jedem a ∈ A ein b ∈ B gibt, so dass
(a, b) ∈ R
• R heit rechtseindeutig, wenn für alle Paare (a, b), (a, c) ∈ R stets gilt:
b = c.
• eine Relation, die sowohl linksvollständig als auch rechteindeutig ist, heit
eine Funktion oder Abbildung. A heit der Definitionsbereich, B der Wertebereich.
Man schreibt auch:
R : A → B
bzw b = R(a). Man sagt dann: b hngt funktional von a ab.
Beispiel
R = {(ISBN, Buchtitel)| ISBN-Nummer, passender Buchtitel}
Da die ISBN-Nummer eindeutig ein Buchbeschreibt, hängt der Titel funktional
von der ISBN-Nummer ab. Beim relationalen Datenbankentwurf werden systematisch
solchhe funktionalen Abhängigkeiten aufgedeckt.
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Neben der Bildung von Cartesischen Produkten spielen bie Datenbankabfragen
gewisse Einschrnkungen eine Rolle. Zum einen wird die Anzahl der Faktoren
eines Cartesischen Produktes eingeschrnkt. Abbildungen, die solche Einschränkungen
bewirken, heißen Projektionen. Zum anderen kann durch die
Formulierung von Bedinungen die Anzahl der Tupel eingeschränkt werden. Abbildungen,die
derartige Einschränkungen bewirken, heißen Selektionen. Bedinungen
werden i. A. durch Vergleichsoperatoren uund logische Operatoren
formuliert.
Eine Hintereinanderausfhrung von Cartesischem Produkt und Selektion heißt
join und spielt bei Datenbakabfragen eine wichtige Rolle.
Eine minimale Menge von Operationen, die mindestens notwendig ist, um
alle Ausdrü cke bilden zu knnen, die für Datanbankabfragen notwendig sind,
umfasst
• Projektion
• Selektion
• Cartesisches Produkt
• Vereinigung
• Differenz
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