Formelsammlung

2 ABZÄHLTHEORIEN 10
• Sn,0 = 0 für n > 0
Rekursion:
Sn,k = Sn−1,k−1 + k · Sn−1,k für n, k > 0
(mittels Zerlegung in zwei Fälle für N\{a} mit a Block aus k-Mengenzerlegung
zu zeigen)
Iterative Darstellung:
Sn,k = 1
k! ·
k�
(−1) k−j
� �
k
j
j
n
j=0
Es handelt sich hierbei um ungeordnete Partitionen.
Die Anzahl der geordneten k-Mengenpartitionen wird durch k! · Sn,k abgezählt.
Es gilt:
x n =
n�
Sn,k · x k
k=0
2.2.4 Bemerkung: surjektive Abbildungen
Die Anzahl der surjektiven Abbildungen von N in {1, . . . , k} (k ≤ n) ist k! ·
Sn,k (geordnet).
2.2.5 Bemerkung: geordnete k-Mengenpartitionen
n k = n(n − 1)(n − 2) · . . . · (n − k + 1)
Anzahl der k-Permutationen von N.
Man erhält diese andererseits, wenn man zuerst eine k-Untermenge aus N
auswählt und deren Elemente dann beliebig anordnet.
Also:
⇔
� �
n
=
k
nk
k!
n k =
� �
n
k
· k!
= n(n − 1)(n − 2) · . . . · (n − k + 1)
k!