Formelsammlung

5 ALGEBRAISCHE STRUKTUREN 45
5.8 Definition: Hauptideal
Es sei R ein kommutativer Ring, dann heißt R · d = {r · d : r ∈ R} das von
d in R erzeugte Hauptideal.
Ein kommutativer Ring heißt Hauptidealring, falls jedes Ideal ein Hauptideal
ist.
5.9 Defintion: Integritätsbereich
Es sei R ein kommutativer Ring mit 1. R heißt Integritätsbereich, falls für
a, b ∈ R aus a · b = 0 stets a = 0 oder b = 0 folgt.
5.10 Definition: Euklidischer Ring
Ein Integritätsbereich R zusammen mit einer Funktion:
δ : R\{0} → N0 = {0, 1, 2, . . .}
heißt Euklidischer Ring ⇔ gilt:
Falls a, b ∈ R und b �= 0, so existieren q, r ∈ R mit:
5.11 Definition: Einheit
a = q · b + r und r = 0 oder δ(r) < δ(b).
R sei ein kommutativer Ring (mit 1).
u ∈ R heißt Einheit, falls u ein Inverses u −1 besitzt (u · u −1 = u −1 · u = 1).