Formelsammlung

3 REKURSIONEN 19
3 Rekursionen
3.1 nützliche Potenzreihenentwicklungen
• eαz = �∞ (α·z)
n=0
n
n!
• log(1 + z) = �∞ z
n=1
n
· (−1)n−1
n
1 •
beschränkt:
1−z = 1 + z + z2 + . . . = �∞ �n n=0 zn = zn+1−1 z−1
• �n n·(n+1)
i=0 i = 2
• (1 + z) α = � ∞
n=0
genauer:
(a + b) n = � ∞
k=0
�α n
�n k
n=0 zn für z < 1 (geometrische Reihe)
(arithmetische Reihe)
�
n · z für |z| < 1 (binomischer Lehrsatz)
� · a k · b n−k
3.2 Erzeugende Funktionen
Suche eine Folge a0, a1, . . ..
Fasse sie auf als Koeffizienten einer Potenzreihe F (z) = � ∞
n=0 fn · z n .
3.3 geschlossene Form
A sei eine Aussage.
[A] :=
� 1, falls A wahr
0, falls A falsch
Bemerkung: Man kann auch c · [A] mit c konstant benutzen.
Beispiel: (Fibonacci-Rekursion)
fn = fn−1 + fn−2, fn = 0 für n ≤ 0, f1 = 1
⇒ fn = fn−1 + fn−2 + [n = 1]
3.4 reflektiertes Polynom
Sei q(z) ein Polynom.
q(z) = 1 + q1 · z 1 + . . . + qd · z d mit qd �= 0 und qi ∈ C