Formelsammlung

3 REKURSIONEN 25
Die erzeugende Funktion erhält man dann mit dem Ansatz:
A(z) = �
an · z n
Beispiel: Es sei 1, 2, 2, 2, . . . eine Folge.
n∈Z
geschlossene Form: an = an−1 + [n = 1] + [n = 0]
Ansatz:
A(z) = �
an · z n A(z) = �
an−1 · z n + �
[n = 1] · z n + �
[n = 0] · z n
n≥0
n∈Z
A(z) = z · �
n∈Z
n∈Z
an−1 · z n−1 + z 1 + z 0
A(z) = z · �
an · z n + z + 1
n∈Z
A(z) · (1 − z) = z + 1
A(z) =
z + 1
1 − z
3.11.2 zusammengesetzte erzeugende Funktion aus Folge
ähnlich wie oben, jedoch werden hier 2 Funktionen benötigt, um die Folge
zu beschreiben.
Beispiel: Es sei 1, 2, 1, 2 2 , 1, 2 3 , . . . eine Folge.
geschlossene Form: an = bn+cn mit bn = 0, 1, 0, 1, 0, . . . und cn = 0, 2, 0, 2 2 , . . .
Jetzt muss man für beide Teilfolgen einzeln die erzeugenden Funktionen
Ab(z) + Ac(z) bestimmen.
Nun gilt: A(z) = Ab(z) + Ac(z)
3.11.3 Bemerkung: geschlossene Form
Kommt in der geschlossenen Form [n ≥ 0] oder ein Vielfaches als Summand
vor, so handelt es sich hier beim Ansatz A(z) = �
n∈Z [n ≥ 0] · zn um die
geometrische Reihe.
Es gilt also:
�
[n ≥ 0] · z n = �
z n = 1
1 − z
n∈Z
n∈Z
n∈Z