Formelsammlung

3 REKURSIONEN 30
3.11.10 variable Koeffizienten
Für Rekursionen der Form:
benutzt man den Ansatz:
Es ergibt sich folgende Formel:
a(n) · f(n) = b(n) · f(n − 1) + c(n), f(0) = d
F (n) =
� n−1
i=1 a(i)
� n
i=1 b(i)
F (i) · c(i)
,
b(n + 1) · F (n + 1)
f(n) = f(0) + � n
i=1
in die man die einzelnen Elemente einzusetzen hat.
Beispiel: 2n · f(n) = 2n · f(n − 1) + � �
2 n, 1 f(0) = − 3
2
Für den Ansatz folgt:
i=1
F (j) =
b(n + 1) = 2 n+1
� �n+1 1
F (n + 1) =
2
n�
n�
� �i 1
F (i) · c(i) =
·
2
i=1
n�
� �i 1
=
3
�j−1 i=1 a(i)
�j i=1 b(i) = 21 · 22 . . . · 2j−1 21 · 22 . . . · 2
i=0
Einsetzen in die Formel ergibt:
f(n) = − 1
2 ·
j =
� �i n�
� �i 2 1
=
3 3
i=1
− 1 = − 1
2 ·
� �n 1
+
3
1
2
� �n 1
3
� �j 1
2