Formelsammlung

2 ABZÄHLTHEORIEN 7
2 Abzähltheorien
2.1 Elementare Zählprinzipien
2.1.1 Gleichheitsregel
|S| = |T | genau dann, wenn eine Bijektion zwischen S und T existiert.
2.1.2 Summenregel
Ist S = ˙�t
i=1 Si eine disjunkte Zerlegung, so ist
2.1.3 Produktregel
|S| =
t�
|Si|
i=1
Ist S = S1 × S2 × . . . × St ein kartesisches Produkt, d.h. S = {(a1, . . . , at) :
ai ∈ Si, 1 ≤ i ≤ t}, so gilt:
t�
|S| = |Si|
i=1
2.1.4 Bemerkung: Binomialkoeffizient
� � � � � �
n n − 1 n − 1
= +
k k k − 1
2.1.5 Regel vom zweifachen Abzählen
Es sei M = (mij) eine Matrix von Zahlen. Dann ist:
�
� �
�
= �
�
�
�
i
j
mij
j
i
mij
d.h. Summe der Zeilensummen = Summe der Spaltensummen.
2.1.6 Schubfachprinzip
Es sei f : N →� R, |N| = n > r = |R|. Dann existiert ein a ∈ R mit
+ 1.
|f −1 (a)| = � n−1
r