Musterlösungen - Institut fuer Mathematik - Humboldt-Universität zu ...

Aufgabe 6:Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:4 Punktex sin xa) lim x→π 1 + cos x1b) limx→0 x − 1e x − 1Lösung zu Aufgabe 6:x sin xa) lim x→π 1 + cos x .Man kann mit (1 − cos x) erweitern zux sin x x sin x (1 − cos(x)) x (1 − cos(x))=1 + cos x 1 − cos 2 =xsin xund erhält einen Zähler, der gegen 2π konvergiert, während der Nenner in x = π eine einfacheNullstelle hat, einen Wechsel von positiven zu negativen Werten. Im einseitigen Grenzwert x →π ± 0 ergibt sich also bestimmte Divergenz zu ∓∞.1b) limx→0 x − 1e x − 1 = lim e x − 1 − xx→0 x(e x − 1) .Einsetzen des quadratischen Taylorpolynoms e x = 1 + x + 1 2 x2 + x 3 R(x) (mit R stetig) ergibtworaus sich der Grenzwert 1 21x − 11e x − 1 = 2 x2 + x 3 R(x)x(x + 1 2 x2 + x 3 R(x)) = 1 2ablesen läßt.11 + frac12x + x 2 R(x))Alternativ: Zweimaliges Anwenden der Formel von l’Hôpital führt zue x − 1 − xlimx→0 x(e x − 1) = limx→0e x − 1e x − 1 + xe x = limx→0e x2e x + xe x = 1 26