Musterlösungen - Institut fuer Mathematik - Humboldt-Universität zu ...

Aufgabe 7:Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale bzw. Stammfunktionen:∫∫a) e −x esin x dx; x + 1b)e x dx.+ e−x 6 PunkteLösung zu Aufgabe 7:∫a) e −x sin x dxBenutze zweimalige partielle Integration mit Integration des ersten und Differentiation des zweitenFaktors∫∫=⇒ 2=⇒∫∫e −x sin x dx = (−e −x ) sin x −∫(−e −x ) cos x dx = −e −x sin x +∫= −e −x sin x + (−e −x ) cos x − (−e −x ) (− sin x) dx∫= −e −x sin x − e −x cos x − e −x sin x dxe −x sin x dx = −e −x (sin x + cos x) + Ce −x sin x dx = − e−x(sin x + cos x) + C2e −x cos x dxAlternativ: Vermute eine Stammfunktion der Form F (x) = e −x (A cos x+B sin x)+C und gleichederen Ableitung mit dem Integranden ab:F ′ (x) = −e −x (A cos x + B sin x) + e −x (−A sin x + B cos x) = −e −x ((A − B) cos x + (A + B) sin x)=⇒ A − B = 0 ∧ A + B = −1 =⇒ A = B = − 1 2b)∫e x + 1e x dx.+ e−x Substituiere u = e x , dann ist du = e x dx oder dx = 1 udu und∫e x ∫+ 1e x + e −x dx =∫=∫u + 1 du u + 1u + u −1 u = u 2 + 1 du∫uu 2 + 1 du + 1u 2 + 1 du = 1 2 ln |u2 + 1| + arctan(u) + C= 1 2 ln(e2x + 1) + arctan(e x ) + C7