Klausur 73

Musterklausur 000073Fri Jun 23 10:38:54 2006

Musterklausur Mathematik ID: 000073 21. Ein Kapital soll durch Verzinsung mit Zinseszinsen in 15 Perioden auf das 2.5-fache steigen. Wie hochmuß der Zinssatz sein?(a) 9.32 % (b) 6.30 % (c) 6.87 % (d) 8.16 % (e) 4.22 %2. Ein Unternehmer kauft einen Mähdrescher zu 748000 GE. Die jährlichen Fixkosten, wozu auch die Rückzahlungsratenfür den Ankauf zählen, betragen 25 % des Anschaffungspreises. Im Ernteeinsatz müssentäglich 390 GE für Bedienungspersonal und 500 GE für Kraftstoff aufgewendet werden. Es können täglich8 ha abgeerntet werden. Pro ha beträgt der Erlös 390 GE. Nach wievielen Tagen Einsatz arbeitet dieMaschine kostendeckend? Runden Sie das Ergebnis auf eine ganze Zahl.(a) 76 (b) 78 (c) 86 (d) 84 (e) 923. Ein Fabrikant kann von einer Ware bei einem Preis von 66 GE 1564 Stück, bei einem Preis von 132 GEaber nur 1190 Stück absetzen. Dem Fabrikanten entstehen Fixkosten von 97900 GE und zusätzlich proStück Kosten von 20 GE. Berechnen Sie den Gewinn, den der Fabrikant maximal erzielen kann. RundenSie das Ergebnis auf eine ganze Zahl, falls erforderlich.(a) 56467 (b) 56264 (c) 53469 (d) 48986 (e) 419314. In einem Duopol gilt die folgende inverse Nachfragefunktion:p = 1232.6 − 1.1(q 1 + q 2 )Die beiden Anbieter operieren mit KostenfunktionenC 1 (q 1 ) = 46000 + 308.6q 1 und C 2 (q 2 ) = 43000 + 156.8q 2Welchen Gewinn kann der 1. Anbieter maximal erzielen? Runden Sie das Ergebnis auf eine ganze Zahl,falls erforderlich.(a) 10907 (b) 14232 (c) 8964 (d) 15615 (e) 146535. Leonhard Euler (1770), Vollständige Anleitung zur Algebra p. 163: Jemand kauft ein Pferd unter derBedingung, daß er für den ersten Hufnagel 6 Groschen, für den zweiten 15, für den dritten 24, und immer9 Groschen mehr für jeden folgenden zahlen soll. Es sind aber im Ganzen 32 Nägel. Wieviel muß er fürdas Pferd bezahlen?(a) 4512 (b) 4761 (c) 4589 (d) 4656 (e) 48326. Die jährlichen Betriebskosten einer Maschine betragen 32000 GE, die jährlichen Erträge, die mit ihrerwirtschaftet werden, 42000 GE. Welche Anschaffungskosten sind rentabel, wenn sie nach 20 Jahrenersetzt werden muß und man mit 3 % Zinseszinsen rechnet? Legen Sie Ihrer Berechnung eine nachschüssigeBetrachtungsweise zugrunde und runden Sie das Ergebnis auf eine ganze Zahl.(a) 177790 (b) 164629 (c) 148775 (d) 167347 (e) 1209167. Ein Vorrat verringert sich in jeder Periode um 5.5 Prozent. Er wird am Ende jeder Periode durch einenkonstanten Betrag b ergänzt. Wie groß muß der Ergänzungsbetrag sein, wenn der Vorrat auf der Höhevon 250000 Einheiten konstant sein soll?

Musterklausur Mathematik ID: 000073 3(a) 13750 (b) 12900 (c) 15100 (d) 11000 (e) 143008. Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem:− x 2 + x 3 = 6x 1 − 17x 2 + 17x 3 = 100x 1 + 10x 2 − 9x 3 = −61Welcher der folgenden Ausdrücke stellt die vollständige Lösungsmenge dar?(a)(d)⎛⎝ −2−5⎛1⎝ −2−51⎝⎞ ⎛ ⎞⎠ + s −3 ⎠8⎞ ⎛1⎞⎠ + s⎝ 3 10⎠ + t⎛⎝ 8 01(b) s⎞⎠⎛⎝ 3 10⎞⎠ + t(e) ∅⎛⎝ 8 01⎞⎠(c)⎛⎝ −2−519. Eine Bank plant eine Kreditaktion im Umfang von 39 Mill. GE. Dabei gelten die folgenden Rahmenbedingungen:Art des Kredits Zinssatz RisikoPrivat 0.11 0.09Auto 0.10 0.09Wohnbau 0.08 0.02Weiters soll das Volumen der Privatkredite exakt das Doppelte der Kredite für die Anschaffung von Autosausmachen. Wenn die Bank ein totales Kreditrisiko von 7.6 % kalkuliert, wie sollen die vorgesehenenMittel auf die drei Kreditarten aufgeteilt werden? Welcher Zinsertrag (Mill. GE) ist bei dieser Aufteilungzu erwarten?(a) 4.79 (b) 4.31 (c) 3.95 (d) 5.26 (e) 2.8210. Ein Hersteller produziert zwei Produkte B 1 und B 2 . Er benötigt dazu Rohstoffe Eisen, Holz und Porzellan.Die Produktion erfolgt in zwei verschiedenen Produktionstätten S 1 und S 2 , an welchen unterschiedlicheRohstoffpreise herrschen. Der Bedarf an Rohstoffen sowie deren Preise in S 1 und S 2 sind gegeben durch:Produkt Preise inB 1 B 2 S 1 S 2Eisen 42 68 101 125Holz 24 24 190 218Porzellan 20 27 127 210Berechnen Sie die Differenz der Produktionskosten von B 1 an den beiden Standorten.(a) 3937 (b) 3649 (c) 2744 (d) 3340 (e) 349111. Finden Sie die Lösung X der Matrixgleichung AX + BX = C mit den Angaben( ) ( ) ( )3 −18 8−90 −114A =, B =, C =−1 −8−3 1010 −4Welchen Wert hat x 11 ?⎞⎠

Musterklausur Mathematik ID: 000073 4(a) −15 (b) 0 (c) −3 (d) −5 (e) −1212. Ein Konzern besteht aus den drei Gesellschaften A, B und C. Die Lieferungen und Leistungen innerhalb desKonzerns sowie die Umsätze (in Mill. GE) der Gesellschaften ausserhalb des Konzern sind der folgendenTabelle zu entnehmen:Lieferung Lieferung an UmsatzA B C externA – 27 17 33B 62 – 60 54C 81 74 – 41Wenn die Umsätze der drei Gesellschaften um 9%, 15% und 7% steigen sollen, welchen Output muß dannGesellschaft C erzielen?(a) 291.01 (b) 215.66 (c) 309.04 (d) 277.00 (e) 262.6313. Ein Küchenhersteller erzeugt zwei Modelle von Einbauküchen. Die folgenden Fertigungsdaten stehen zurVerfügung:Arbeitsstunden in Abteilung GewinnProdukt Tischlerei Lackiererei Montage pro StückModell 1 7 8 3 1863Modell 2 9 4 3 1057Kapazität (Stunden) 243 172 84Welchen Gewinn kann das Unternehmen unter diesen Bedingungen maximal erzielen?(a) 41686 (b) 61212 (c) 26088 (d) 56731 (e) 5035514. Im Rahmen eines Produktionsprozesses ist es erforderlich, drei Rohstoffe A 1 , A 2 und A 3 zu einer Mischungzu verarbeiten. Diese Rohstoffe enthalten in unterschiedlichem Ausmaß Substanzen S 1 , S 2 und S 3 , die fürdie Weiterverarbeitung von Bedeutung sind. Der Gehalt an S 1 , S 2 und S 3 ist der folgenden Tabelle zuentnehmen (Angaben in kg/Tonne):A 1 A 2 A 3S 1 4 5 0S 2 4 4 4S 3 5 0 4In der fertigen Mischung sollen mindestens 596 kg von S 1 , 720 kg von S 2 und 470 kg von S 3 enthalten sein.Dabei ist zu berücksichtigen, daß die Kosten von A 1 , A 2 und A 3 260, 220 und 150 GE/Tonne betragen.Wieviele Tonnen der Mischung müssen hergestellt werden, sodaß bei minimalen Kosten die technologischenVorgaben erfüllt sind?(a) 165 (b) 266 (c) 180 (d) 114 (e) 20715. Welcher nominelle Zinssatz ver-5-facht bei kontinuierlicher Verzinsung ein Kapital im Laufe von 12 Jahren?

Musterklausur Mathematik ID: 000073 5(a) 12.89 % (b) 14.33 % (c) 13.66 % (d) 13.41 % (e) 14.45 %16. Bestimmen Sie die 1. Ableitung von y = f(x) an der Stelle x = 1:y = (x + 1.14) 2 e −x2 /3(a) 10.142 (b) 0.879 (c) −8.191 (d) −7.066 (e) 7.58017. Ein Unternehmen produziert mit Grenzkosten gegeben durchC ′ (x) = 2.76x 2 − 71.76x + 506.44Die Fixkosten der Produktion betragen 1000 GE. Wie hoch sind die Gesamtkosten bei einer Produktionsmengevon 6 Einheiten? Runden Sie das Ergebnis auf eine ganze Zahl.(a) 2093 (b) 2946 (c) 4621 (d) 5330 (e) 400318. Das Bruttoinlandsprodukt eines Landes stieg zwischen 1990 und 1997 von 637 Mrd. GE auf 867 Mrd. GE.Es wird vorausgesetzt, daß die relative Wachstumsrate des BIP konstant ist. Wann erreicht das BIP eineHöhe von 2167.5 Mrd. GE? Runden Sie das Ergebnis auf eine ganze Zahl.(a) 2018 (b) 2009 (c) 2011 (d) 2015 (e) 200719. Es sei D(p) = 92e −0.138p eine Nachfragefunktion. Bei welchem Preis ist der Erlös am größten?(a) 18.28 (b) 14.64 (c) 11.10 (d) 7.25 (e) 22.4820. Die Wartung einer Werkzeugmaschine kostet 19500 GE pro Jahr, die Betriebskosten hängen von derMaschinenzeit t (in Stunden) folgendermaßen ab:K v (t) = 2.4t + 0.002t 2Bei welcher jährlichen Betriebszeit sind die Kosten/Maschinenstunde am niedrigsten? Runden Sie dasErgebnis auf eine ganze Zahl, falls erforderlich.(a) 3122 (b) 3707 (c) 3397 (d) 3979 (e) 3110

Musterklausur Mathematik ID: 000073 6Formelsammlung Mathematik 1z = K n · rK n = K 0 (1 + nr)( 1K n = K 0 (1 + r) n K 0 = K n v n = K n1 + r(1 + r = 1 + c ) [ k (K n = K 0 1 + c ) ] k nkk) nK t = K 0 e ctR(x) = p.xS(p) = bp − βC(x) = kx + dπ(x) = R(x) − C(x)D(p) = −ap + αR(p) = p · D(p)k = yi−yi−1x i−x i−1s n = n 2 · (a1 + a n)E = aq · qn − 1q − 1B = av · 1 − vn1 − vπ(p) = R(p) − C(D(p))p max = − b2aE = a · qn − 1q − 1B = a · 1 − vn1 − ve c = q = 1 + rK n+1 = (1 + r)K n − b K n = K ∗ + a n (K 0 − K ∗ )D(p n+1 ) = S(p n )f(t) = A · (1 + r) t = A · a t = A · e ctf(x 0 + h) − f(x 0 )hc = ln af(b) − f(a)b − aε(p) = D′ (p)D(p) · p∫x n dx = xn+1n+1 , n ≠ −1 (f · g)′ = f ′ · g + f · g ′f(g(x)) ′ = f ′ (g(x))g ′ (x)

Musterklausur Mathematik ID: 000073 7LösungenDie Nummern bei den Aufgaben bezeichnen die IDs, unter denen diese Aufgaben auf dem Learn Server abgelegtsind. In der letzten Spalte finden Sie die aus den Server-Statistiken ermittelte Wahrscheinlichkeit, dass dieseAufgabe richtig gerechnet wird. Grundlage für die Schätzung dieser Wahrscheinlichkeiten sind die Zugriffsdatenvon 250000 vom Learn Server abgerufenen Kontrollfragen.1. (b) Aufgabe 10 75.01 %2. (d) Aufgabe 66 75.17 %3. (d) Aufgabe 88 53.55 %4. (b) Aufgabe 109 49.95 %5. (d) Aufgabe 118 72.84 %6. (c) Aufgabe 134 64.06 %7. (a) Aufgabe 175 75.80 %8. (c) Aufgabe 167 67.78 %9. (c) Aufgabe 174 56.83 %10. (d) Aufgabe 212 76.60 %11. (d) Aufgabe 208 56.15 %12. (b) Aufgabe 225 44.79 %13. (a) Aufgabe 300 17.50 %14. (c) Aufgabe 307 27.22 %15. (d) Aufgabe 236 84.06 %16. (b) Aufgabe 246 45.26 %17. (b) Aufgabe 296 73.30 %18. (a) Aufgabe 254 66.10 %19. (d) Aufgabe 278 66.83 %20. (a) Aufgabe 290 44.60 %