Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle - Institute for ...

Kapitel 12Stochastische Prozesse undZeitreihenmodelle[ Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle ]Einleitung: .com-Blase an derNASDAQDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 0 / 78.com-Blase an derModellierung und Prognose von AktienrenditenNASDAQ1000 2000 3000 40001996 1998 2000 2002 2004 2006ZeitDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 1 / 78DatenAn der New Yorker Börse NASDAQ (National Association of SecuritiesDealers Automated Quotation System) sind die Hälfte derUS-amerikanischen Aktiengesellschaften gelistet, u.a.: AdobeSystems, Amazon.com, Apple, Cisco, Dell, eBay, Google, Intel,Microsoft, Sun Microsystems, Yahoo!. Sie profitierte in der zweitenHälfte der 90er Jahre besonders vom Boom der sogenannten.com-Blase, deren Platzen im März 2000 zu einem 75%-igenWertverlust der zuletzt gekauften Aktien führte. Hier untersuchen wirdie wöchentliche Zeitreihe des NASDAQ-100 Index (1995–2006).Frage: Wie kann man die Renditen des NASDAQ-Index bis Anfang1998 (vor dem Platzen der .com-Blase) modellieren? Wie können damitzukünftige Renditen bsw. Kurse prognostiziert werden?Quelle: Yahoo! Finance, http://finance.yahoo.com/(Instrument ^NDX).Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 2 / 78Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 3 / 78

Daten: PreiseDaten: Log-PreiseNASDAQ1000 2000 3000 4000log(NASDAQ)6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.51996 1998 2000 2002 2004 2006Zeit1996 1998 2000 2002 2004 2006ZeitDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 4 / 78Daten: RenditenDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 5 / 78Daten: GesamtzeitraumNASDAQNASDAQ−Renditen−0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.21996 1998 2000 2002 2004 2006Zeit1000 30006.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5−0.3 −0.10.0 0.1 0.2log(NASDAQ)NASDAQ−Renditen1996 1998 2000 2002 2004 2006ZeitDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 6 / 78Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 7 / 78

Daten: Modellierungs- und PrognosezeitraumStandard & Poor’s 500 Index1000 3000NASDAQWeiterer Datensatz: Der Standard & Poor’s 500 (kurz: S&P 500) istein Index der 500 größten Aktiengesellschaften, die an den beiden NewYorker Börsen NYSE (New York Stock Exchange) und NASDAQgehandelt werden.6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5−0.3 −0.10.0 0.1 0.2log(NASDAQ)NASDAQ−Renditen1996 1998 2000 2002 2004 2006ZeitÜber den gewählten Zeitraum 1950(1) bis 1993(9) zeigt die S&P 500Reihe ein exponentielles Wachstum. Dieses basiert wie die Entwicklungeines Guthabens eines Sparbuches auf dem Zinseszinseffekt.Mittels Logarithmus transformiert man das multiplikative Bildungsgesetzin ein additives. Der transformierte Pfad wird dadurch ungefähr linear.Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 8 / 78S&P 500 IndexDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 9 / 78S&P 5000 100 200 300 4003 4 5 6log(S&P 500)[ Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle ]Preise und RenditenS&P−500−Renditen−0.2 −0.1 0.0 0.11950 1960 1970 1980 1990ZeitDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 10 / 78Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 11 / 78

Aktienkurs und RenditeWir bezeichnen einen beobachteten Aktienkurs mit P t und denlogarithmierten mit p t = log(P t ). Aus der Mathematik Vorlesung istbekannt, dass die Rendite (in stetiger Zeit), r t , aus dem Logarithmusdes Quotienten berechnet wird, r t = log(P t /P t−1 ). Damit ist r t dieDifferenz der logarithmierten Kurse aufeinander folgender Zeitpunkte:r t = log(P t ) − log(P t−1 ) = p t − p t−1Umgekehrt ergibt sich für den aktuellen logarithmierten Kursp t = p t−1 + r t .Der aktuelle logarithmierte Kurs ist der logarithmierte Kurs derVorperiode plus der aktuellen Rendite. Das Modell für den Kurs P tselbst istP t = P t−1 · exp(r t ).Hypothese effizienter MärkteDie Hypothese effizienter Märkte besagt, dass Finanzmärkteinformationseffizient sind. Marktpreise von Aktien enthalten bereits diegesamte verfügbare Information über zukünftige Gewinnaussichten.Formal bedeutet das:"Die beste Prognose für den morgigen Aktienkurs ist der heutige Kursplus einer durchschnittlichen Rendite."Damit ist die 1-Schritt Prognose, ˆp t+1 , gleich dem zuletzt beobachtetenWert plus einer Konstanten, der durchschnittlichen Rendite β 0 :ˆp t+1 = p t + β 0 .Die Renditen sind nicht prognostizierbar.Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 12 / 78Hypothese effizienter MärkteDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 13 / 78Renditen des S&P 500, MonatsdatenRenditen r t sind nicht prognostizierbar, wenn die Vergangenheit derReihe r t−1 , r t−2 , . . . , r 1 , (oder weitere Erklärungsvariablen, die wir aberhier nicht weiter diskutieren) nicht zur Verbesserung der Prognoseverwendet werden können. Das einzig sinnvolle Regressionsmodell fürdie Renditen lautet dann:r t = β 0 + ɛ t .Anmerkung: Dieses Modell ist bereits aus früheren Kapiteln bekannt.β 0 wird als die durchschnittliche Rendite geschätzt (Kapitel 4) bzw.völlig äquivalent als Konstante in einem Regressionsmodell r t ∼ 1(Kapitel 10).S&P−500−Renditen−0.2 −0.1 0.0 0.11950 1960 1970 1980 1990ZeitDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 14 / 78Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 15 / 78

Renditen des S&P 500Beispiel: T -TestZusammen mit der Renditenreihe haben wir ein 95% Intervall um dasMittel eingezeichnet. Die Renditenreihe verläuft in etwa horizontal. DasMittel ist leicht positiv, umgeben von einer großen Streuung.Die Zeitreihe hat die Länge n = 524, das Mittel ¯r = 0.00628 und dieStandardabweichung s r,n−1 = 0.04104. Wir können testen, ob dieerwartete Rendite von 0 abweicht (Kapitel 4): H 0 : µ r = 0, H A : µ r ≠ 0.T = ¯r − 0 √s 2 r,n−1 /n =0.0063√ = 3.5051 > 1.960.0412 /524Die Nullhypothese wird klar zugunsten von µ r > 0 verworfen.Gegeben sind die Werte eines Aktienindex, P t , für die Periode1978-03-13 bis 1978-05-28, tägliche Schlusskurse.Daraus ergibt sich für die Renditenreihe das Mittel ¯r = 0.00057, dieStandardabweichung s r,n−1 = 0.01669 und die Länge n = 77.Prüfen Sie die Hypothese, dass die erwarteten Renditen gleich 0 sind.Für die Teststatistik ergibt sichT = ¯r − 0 √s 2 n−1 /n =0.00057√0.016692 /77 = 0.300.Die durchschnittliche Monatsrendite für die Periode 1950(1) bis 1993(9)beträgt 0.00628 (0.628%). Das ergibt eine durchschnittlicheJahresrendite von 7.54% (= 0.00628 · 100 · 12).Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 16 / 78Beispiel: T -TestDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 17 / 78Beispiel: T -TestGegeben sind die Werte eines Aktienindex, P t , für die Periode1978-03-13 bis 1978-05-28, tägliche Schlusskurse.Daraus ergibt sich für die Renditenreihe das Mittel ¯r = 0.00057, dieStandardabweichung s r,n−1 = 0.01669 und die Länge n = 77.Prüfen Sie die Hypothese, dass die erwarteten Renditen gleich 0 sind.Für die Teststatistik ergibt sichT = ¯r − 0 √s 2 n−1 /n =0.00057√0.016692 /77 = 0.300.Welche der Aussagen sind richtig? (Signifikanzniveau 5%)(a) Eine geschätzte Renditengleichung der Form r t = β 0 + ɛ t würdeeine signifikante Konstante liefern. falsch(b) Der Absolutbetrag der Teststatistik ist größer als 1.33. falsch(c) Der Test weist nach, dass die erwarteten Renditen ungleich 0 sind.falsch(d) Die Teststatistik ist größer als 0.13. richtig(e) Die Nullhypothese wird beibehalten. richtigDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 18 / 78Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 19 / 78

Beispiel: T -TestPrognostizierbarkeitWelche der Aussagen sind richtig? (Signifikanzniveau 5%)(a) Eine geschätzte Renditengleichung der Form r t = β 0 + ɛ t würdeeine signifikante Konstante liefern. falsch(b) Der Absolutbetrag der Teststatistik ist größer als 1.33. falsch(c) Der Test weist nach, dass die erwarteten Renditen ungleich 0 sind.falsch(d) Die Teststatistik ist größer als 0.13. richtig(e) Die Nullhypothese wird beibehalten. richtigRenditen sind r t prognostizierbar, wenn die Vergangenheit der Reihezur Verbesserung der Prognose verwendet werden kann, d.h. wennman das Mittel von r t aus verzögerten Werten (lags) r t−1 , r t−2 , . . .vorhersagen kann.Im einfachsten Fall verwendet man zur Vorhersage des Werts zumZeitpunkt t den vorigen Wert der Reihe (also Zeitpunkt t − 1):r t = β 0 + β 1 · r t−1 + ɛ t .Dieses Modell nennt man autoregressives Modell erster Ordnung,kurz AR(1).Anmerkung: Abhängigkeiten können auch komplexer sein, bspw.verzögerte Werte, die weiter in der Vergangeheit liegen (autoregressiveModelle höherer Ordnung) oder andere Variablen führen zu einerverbesserten Prognose.Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 20 / 78S&P 500: r t vs. r t−1Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 21 / 78Autokorrelationskoeffizient, Korrelogramm●Die Korrelationskoeffizientenr t−0.2 −0.1 0.0 0.1●●● ● ●● ●●●●●●● ●● ●●● ●●●●● ●●● ●●●●●●●●● ●● ●●●● ●●●● ●●●● ● ●●●●●● ●● ●●●●●●●●● ●●● ●●●● ●●●● ●●●●●● ● ●● ●●●● ●●● ●● ●●● ●●●●●● ●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●● ● ● ●●●●●●●●● ●●●●●●●ρ k = Cor(r t , r t−k ), k = 0, 1, 2, . . .heißen Autokorrelationskoeffizienten k-ter Ordnung.Der erste Wert des Korrelogramms ρ 0 ist immer 1, da Cor(r t , r t ) = 1 ist(siehe Kapitel 9).Alle empirischen Autokorrelationskoeffizienten ˆρ k zusammen nenntman Korrelogramm: ˆρ 0 , ˆρ 1 , ˆρ 2 , . . . .●−0.2 −0.1 0.0 0.1r t−1Die Korrelation zwischen r t und r t−1 beträgt 0.027.Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 22 / 78Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 23 / 78

S&P-500-Renditen: KorrelogrammS&P-500-Renditen: KorrelogrammACF0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 5 10 15 20 25Das Korrelogramm zeigt hier die empirischenAutokorrelationskoeffizienten ˆρ 0 , ˆρ 1 , . . . , ˆρ 27 . Parallel zur x-Achsebefinden sich außerdem die beiden Grenzen der punktweisen95%-Intervalle für die Nullhypothesen ρ k = 0.Auch wenn alle Nullhypothesen zutreffen, liegen im Durchschnitt 5%der empirischen Autokorrelationen ˆρ k außerhalb der Intervalle. D.h.wenn alle ˆρ k innerhalb der Intervalle liegen, sind alle Autokorrelationennahe bei 0. Wenn einige wenige die Grenzen etwas überschreiten,spricht das noch nicht unbedingt dagegen, dass die Autokorrelationen 0sind.Das Korrelogramm der S&P-500-Renditen zeigt nur geringfügigeAbweichungen von ρ k = 0 für k = 1, 2, . . . , 27. (Bei k = 0 ist der Wertper Definition eins.)LagDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 24 / 78S&P-500-Renditen: RegressionZur Modellprüfung mit Hilfe von statistischen Tests verwenden wir dieModellselektionsmethoden aus Kapitel 10:Will man überprüfen, ob man zur Erklärung der Renditen des S&P 500verzögerte (lagged) Renditen der Ordnung eins verwenden soll, kannman die T -Größe verwenden. Wir schätzen das autoregressive Modellerster Ordnung r t ∼ r t−1 :r t = β 0 + β 1 · r t−1 + ɛ tEstimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 0.00610 0.00182 3.36 0.00085lag(rsp500, -1) 0.02732 0.04380 0.62 0.53306Für den Test H 0 : β 1 = 0, H A : β 1 ≠ 0 erhalten wir einen p-Wert von0.533, so dass wir die Nullhypothese beibehalten.Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 25 / 78S&P-500-Renditen: RegressionDamit vereinfachen wir das Modell zu r t ∼ 1:r t = β 0 + ɛ t .Dies Modell ist mit der Hypothese effizienter Märkte verträglich.Schätzung des Mittelwerts ergibt (wie bereits gezeigt):r t = 0.00628 + ɛ t ,Die Regressionszusammenfassung ist:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 0.00628 0.00179 3.51 0.0005Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 26 / 78Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 27 / 78

Beispiel: RegressionBeispiel: RegressionGegeben sind die Werte für einen Aktienindex, P t , für die Periode1998-11-08 bis 1999-01-17, tägliche Schlusskurse. Es werden dieRenditen, r t , berechnet.Wir passen an die Renditen ein AR(1) Modell an:r t = β 0 + β 1 · r t−1 + ɛ t .Die Regressionszusammenfassung ist:Model: r ~ lag(r, -1)Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 0.003 0.002 1.931 0.058lag(r, -1) -0.012 0.122 -0.099 0.921Welche der Aussagen sind richtig? (Signifikanzniveau 5%)(a) Es kann nachgewiesen werden, dass β 1 ungleich 0 ist. falsch(b) Die Konstante ist nicht signifikant von 0 verschieden. richtig(c) Vergangene Renditewerte tragen nicht signifikant zurVerbesserung der Prognose von r t bei. richtig(d) Das Vorzeichen des ersten Autokorrelationskoeffizienten und dasvon β 1 ist immer gleich. richtig(e) Die Hypothese, dass der Prozess ein AR(0) ist, kann verworfenwerden. falsch AR(0) meint r t = β 0 + ɛ t (siehe folgenderAbschnitt).Beurteilen Sie das geschätzte Modell.Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 28 / 78Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 29 / 78Beispiel: RegressionWelche der Aussagen sind richtig? (Signifikanzniveau 5%)(a) Es kann nachgewiesen werden, dass β 1 ungleich 0 ist. falsch(b) Die Konstante ist nicht signifikant von 0 verschieden. richtig(c) Vergangene Renditewerte tragen nicht signifikant zurVerbesserung der Prognose von r t bei. richtig(d) Das Vorzeichen des ersten Autokorrelationskoeffizienten und dasvon β 1 ist immer gleich. richtig(e) Die Hypothese, dass der Prozess ein AR(0) ist, kann verworfenwerden. falschAR(0) meint r t = β 0 + ɛ t (siehe folgender Abschnitt).[ Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle ]Stochastische ProzesseDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 30 / 78Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 31 / 78

Stochastische Prozesse: Autoregressive ModelleWeißes RauschenEin stochastischer Prozess Y t ist eine Sequenz von Zufallsvariablenund damit gleichsam das theoretische Gegenstück zu einerempirischen Zeitreihe. Somit können stochastische Prozesse alsModelle für Zeitreihen verwendet werden.Eine besonders wichtige Klasse solcher Modelle sind autoregressiveModelle. Sie erklären einen Prozess durch die eigene Vergangenheit:Y t = β 0 + β 1 · Y t−1 + . . . + β p · Y t−p + ɛ tDie Störgröße ɛ t in diesen Modellen sollte ein stochastischer Prozesssein mitMittel 0: E(ɛ t ) = 0,konstante Varianz: V(ɛ t ) = σ 2 ɛ ,keine Autokorrelation: ρ k = 0 für k = 1, 2, . . . .Einen solchen Prozess nennt man weißes Rauschen (white noise).Dies ist ein autoregressives Modell der Ordnung p, kurz AR(p).Beispiele: Für Y t = r t haben wir solche Modelle bereits verwendet.AR(0): Y t = β 0 + ɛ tAR(1):AR(2):Y t = β 0 + β 1 · Y t−1 + ɛ tY t = β 0 + β 1 · Y t−1 + β 2 · Y t−2 + ɛ tDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 32 / 78Weißes RauschenDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 33 / 78Stationäre ProzesseY−1 0 1 2 3Weißes Rauschen ist ein Spezialfall eines allgemeineren Typsstochastischer Prozesse, nämlich stationärer Prozesse. Diese sindcharakterisiert durchkonstantes Mittel,konstante Varianz,0 50 100 150ZeitAutokorrelationen, die über die Zeit stabil bleiben, d.h. nur von derzeitlichen Distanz k der Beobachtungen abhängen.ACF−0.2 0.2 0.6 1.00 5 10 15LagDaher sind auch AR(0) Prozesse stationär:Y t = β 0 + ɛ t ,denn sie sind ein Mittelwert β 0 plus ein weißes Rauschen ɛ t . Sie habenalso gleiche Varianz und gleiche Autokorrelationen wie weißesRauschen, nur einen anderen (aber konstanten) Mittelwert.Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 34 / 78Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 35 / 78

Stationäre ProzesseAR(1) Prozess mit β 1 = 0.8AR(1) Prozesse sind für |β 1 | < 1 stationär.Y t = β 0 + β 1 · Y t−1 + ɛ tMan kann zeigen, dass der Erwartungswert und die Varianz konstantsind. Die zugehörigen Korrelogramme klingen geometrisch wie β k 1 ab.Y−4 −2 0 2 40 50 100 150Ist β 1 positiv, sind alle Autokorrelationskoeffizienten positiv.ZeitIst β 1 negativ, so haben die Autokorrelationskoeffizientenalternierende Vorzeichen.ACF−0.2 0.2 0.6 1.00 5 10 15LagDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 36 / 78AR(1) Prozess mit β 1 = 0.6Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 37 / 78AR(1) Prozess mit β 1 = 0.4Y−3 −1 1 2 30 50 100 150ZeitACF−0.2 0.2 0.6 1.0Y0 50 100 150ZeitACF−0.2 0.2 0.6 1.0−2 0 1 2 30 5 10 15Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 38 / 78Lag0 5 10 15Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 39 / 78Lag

AR(1) Prozess mit β 1 = 0 (= AR(0))AR(1) Prozess mit β 1 = −0.4Y−2 0 1 20 50 100 150ZeitACF−0.2 0.2 0.6 1.0Y0 50 100 150ZeitACF−0.4 0.0 0.4 0.8−3 −1 1 2 30 5 10 150 5 10 15LagLagDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 40 / 78AR(1) Prozess mit β 1 = −0.8Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 41 / 78Random WalkYACF−6 −2 0 2 4−0.5 0.0 0.5 1.00 50 100 150ZeitAR(1) Prozesse sind nur für |β 1 | < 1 stationär. Für β 1 = 1 hingegenerhält man einen nicht-stationären Prozess, eine sogenannteZufallsbewegung oder Random Walk:Y t = β 0 + Y t−1 + ɛ t .Ist β 0 = 0 ist es ein Random Walk ohne Drift, für β 0 ≠ 0 mit Drift.Dieses Modell haben wir bereits für die logarithmierten AktienpreiseY t = p t = log(P t ) unter der Effizienzhypothese kennengelernt.Ein Random Walk ist nicht stationär, weil die Varianz mit der Zeit steigt.Das 95%-Intervall, in dem sich der Pfad bewegt, liegt ausgehend vomStartwert symmetrisch um den Drift und verbreitert sich mit √ t. Beieinem Random Walk mit Drift steigt zusätzlich das Mittel mit der Zeit, istalso auch nicht konstant.0 5 10 15LagDas Korrelogramm eines Random Walk geht mit steigendem k nurlangsam (linear) gegen 0.Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 42 / 78Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 43 / 78

Random Walk ohne Drift β 0 = 0Random Walk ohne Drift β 0 = 0Y0 5 10 150 50 100 150ZeitZeitACF−0.2 0.2 0.6 1.0Y0 5 100 50 100 150ACF−0.2 0.2 0.6 1.00 5 10 150 5 10 15LagLagDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 44 / 78Random Walk mit Drift β 0 = 0.2Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 45 / 78Beispiel: Stochastische ProzesseY0 5 15 250 50 100 150Y10 5 10 15 20 25 30Y2−3 −2 −1 0 1 2Y3−1 0 1 2 3 4ZeitSeries coredata(series[[i]])1970 1975 1980 1985Series coredata(series[[i]])1970 1975 1980 1985Series coredata(series[[i]])1970 1975 1980 1985ACF−0.2 0.2 0.6 1.00 5 10 15ACF−Y10.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 5 10 15 20ACF−Y20.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 5 10 15 20ACF−Y3−0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 5 10 15 20LagDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 46 / 78Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 47 / 78

Beispiel: Stochastische ProzesseBeispiel: Stochastische ProzesseEs wurden je ein Pfad eines weißen Rauschens, eines AR(1) und einesRandom Walks generiert. Ordnen Sie jedem Graphen das richtigeModell zu.Welche der folgenden Aussagen sind richtig?(a) Y1 ist weißes Rauschen. falsch(b) Y2 gehorcht einem AR(1). falsch(c) Y3 zeigt das Verhalten eines Random Walks. falsch(d) Y1 ist weißes Rauschen, weil die meistenAutokorrelationskoeffizienten nahe bei 0 liegen. falsch(e) Der Koeffizient β 1 des AR(1) Prozess ist positiv. richtigEs wurden je ein Pfad eines weißen Rauschens, eines AR(1) und einesRandom Walks generiert. Ordnen Sie jedem Graphen das richtigeModell zu.Welche der folgenden Aussagen sind richtig?(a) Y1 ist weißes Rauschen. falsch(b) Y2 gehorcht einem AR(1). falsch(c) Y3 zeigt das Verhalten eines Random Walks. falsch(d) Y1 ist weißes Rauschen, weil die meistenAutokorrelationskoeffizienten nahe bei 0 liegen. falsch(e) Der Koeffizient β 1 des AR(1) Prozess ist positiv. richtigDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 48 / 78Prognose eines AR(1)Gegeben sind Y 1 , Y 2 , . . . , Y n−1 , Y n . Gesucht sind die1-Schritt Prognose: Ŷ n+1Y n+1 = β 0 + β 1 · Y n + ɛ n+1Ersetzt man den unbekannten Fehler ɛ n+1 durch seinenErwartungswert E(ɛ n+1 ) = 0, erhält man2-Schritt Prognose: Ŷ n+2Ŷ n+1 = β 0 + β 1 · Y nDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 49 / 78Prognose eines AR(1)k-Schritt Progose: Ŷ n+kAnalog erhalten wir durch wiederholtes Einsetzen von Ŷ n+j ,j = 1, . . . , k − 1,Ŷ n+k = β 0 · (1 + β 1 + . . . + β k−11) + β k 1 · Y nDa hier −1 < β 1 < 1 gilt, (der Fall β 1 = 1 wird gesondertbehandelt), verschwindet der Einfluss der letzten Beobachtung Y nmit steigendem k.Y n+2 = β 0 + β 1 · Y n+1 + ɛ n+2Die unbekannten Werte werden wieder durch Erwartungen ersetzt:Ŷ n+2 = β 0 + β 1 · Ŷ n+1 + 0= β 0 + β 1 · (β 0 + β 1 · Y n )= β 0 · (1 + β 1 ) + β1 2 · Y nDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 50 / 78Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 51 / 78

Beispiel: Prognose eines AR(1)Gegeben sei ein AR(1):Y t = −0.0007 − 0.10 · Y t−1 + ɛ tDer Wert des letzten Beobachtungszeitpunkts beträgt Y n = 0.125.Berechnen Sie die 2-Schritt Prognose.Die 1-Schritt Prognose:Ŷ n+1 = −0.0007 − 0.10 · 0.125 = −0.0132Die 2-Schritt Prognose:Ŷ n+2 = −0.0007 − 0.10 · Ŷ n+1 = 0.00062Beispiel: Prognose eines AR(1)Gegeben sei ein AR(1):Y t = −0.0007 − 0.10 · Y t−1 + ɛ tDer Wert des letzten Beobachtungszeitpunkts beträgt Y n = 0.125.Berechnen Sie die 2-Schritt Prognose.Die 1-Schritt Prognose:Ŷ n+1 = −0.0007 − 0.10 · 0.125 = −0.0132Die 2-Schritt Prognose:Ŷ n+2 = −0.0007 − 0.10 · Ŷ n+1 = 0.00062Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 52 / 78Prognose der PreiseDas Bildungsgesetz für die logarithmierte Reihe der Preisep t = log(P t ) lautetp t = p t−1 + r t ,t = 1, . . . , nDie 1-Schritt Prognose ausgehend vom Zeitpunkt n ist daherˆp n+1 = p n + ˆr n+1ˆr n+1 ist die 1-Schritt Prognose für die Renditen r n+1 , bspw. auseinem AR(1).Für die Prognose von p n+2 = p n+1 + r n+2 ersetzen wir alleVariablen durch ihre Prognosen.ˆp n+2 = ˆp n+1 + ˆr n+2Die Prognose ˆp n+1 ist bereits bekannt. Eingesetzt ergibt dasˆp n+2 = (p n + ˆr n+1 ) + ˆr n+2 = p n + (ˆr n+1 + ˆr n+2 )Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 53 / 78Prognose der PreiseDie k-Schritt Prognose ausgehend von n ergibt sich daher alsˆp n+k = p n + (ˆr n+1 + ˆr n+2 + . . . + ˆr n+k )Die Prognose für p n+k ist der letzte Wert p n plus der Summe allerprognostizierten Renditen, ˆr n+1 , . . . ,ˆr n+k .Die Prognose für P n+k , dem Niveau der Reihe in (n + k), ergibt sicheinfach durch exp(ˆp n+k ).ˆP n+k = exp(ˆp n+k )In prognostizierten Renditen ausgedrückt:ˆP n+k = exp(p n ) · exp(ˆr n+1 ) · . . . · exp(ˆr n+k )=k∏P n · exp(ˆr n+j ).j=1Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 54 / 78Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 55 / 78

Beispiel: PreisprognoseBeispiel: PreisprognoseGegeben sind wöchentliche Daten der Reihe des Dow-Jones-IndustrialIndex, P t , und dessen Renditen, r t , für die Periode 11 Jan 1999 bis 28Jun 1999. Es wurden bereits die 1-, 2- und 3-Schritt Prognosen derRenditen berechnet.BeobachtungsperiodeDatum . . . 21 Jun 28 JunPreise . . . 10552.6 11139.2Renditen . . . -0.028 0.054. Prognoseperiode. 06 Jul 12 Jul 19 Jul.. -0.010 0.015 0.005Berechnen Sie die Prognose des Dow-Jones-Industrial Index für 19 Jul,ˆP n+3 .Die Summe der Prognosen der Renditen istDamit ist3∑ˆr n+j = ˆr n+1 + ˆr n+2 + ˆr n+3 =j=1= −0.010 + 0.015 + 0.005 = 0.010.⎛ ⎞3∑ˆP n+3 = P n · exp ⎝ ˆr n+j⎠j=1= 11139.2 · exp(0.010) = 11251.200.Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 56 / 78NASDAQ-100Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 57 / 78NASDAQ-100Angenommen wir befinden uns im Januar 1998 und fragen uns, welcheEntwicklung des NASDAQ-100 in den nächsten Monaten zu erwartenist. Wir verwenden dafür die beobachtete Zeitreihe (Januar 1995 bisJanuar 1998) und gehen folgendermaßen vor:Visualisierung der Zeitreihe (Preise, und zugehörige log-Preiseund Renditen),Berechnung und Visualisierung des Korrelogramms (derRenditen),Schätzung und Vergleich eines AR(1)- und AR(0)-Modells (für dieRenditen),Prognose mit Hilfe des gewählten Modells für Februar 1998 bisDezember 2001.1000 30006.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5−0.3 −0.10.0 0.1 0.2NASDAQlog(NASDAQ)NASDAQ−Renditen1996 1998 2000 2002 2004 2006ZeitDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 58 / 78Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 59 / 78

NASDAQ-100NASDAQ-100ACF−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 5 10 15 20LagAR(1)-Modell: r t ∼ r t−1Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 0.00667 0.00235 2.85 0.005lag(rndx, -1) -0.10895 0.07971 -1.37 0.174Der Autokorrelationskoeffizient (der Ordnung 1) beträgt −0.109 und istnicht signifikant von 0 verschieden.Die verzögerten Beobachtungen r t−1 tragen also nicht signifikant zurVerbesserung der Prognose bei. Wir passen daher das einfachereAR(0)-Modell an.Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 60 / 78NASDAQ-100Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 61 / 78NASDAQ-100AR(0)-Modell: r t ∼ 1Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 0.00603 0.00230 2.62 0.0097Die mittlere Wochenrendite ist also 0.006 = 0.6% und signifikantgrößer als 0.Die zugehörige mittlere Jahresrendite ist entsprechend52 · 0.00603 = 31.4%.Erinnerung: Da sich die beiden Modelle nur in einem Koeffizienten(nämlich der Autokorrelation der Ordnung 1) unterscheiden, genügtehier der T -Test dieses Koeffizienten zum Vergleich der beiden Modelle.Völlig äquivalent hätte man den Modellvergleich auch über diezugehörige ANOVA durchführen können.Analysis of Variance TableModel 1: rndx ~ 1Model 2: rndx ~ lag(rndx, -1)Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)1 158 0.1333942 157 0.131825 1 0.001569 1.8683 0.1736Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 62 / 78Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 63 / 78

NASDAQ-100NASDAQ-100NASDAQ−Renditen−0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2NASDAQ−Renditen−0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.21996 1998 2000 2002Index1996 1998 2000 2002IndexDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 64 / 78NASDAQ-100Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 65 / 78NASDAQ-100NASDAQ−Renditen−0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2NASDAQ−Renditen−0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.21996 1998 2000 2002Index1996 1998 2000 2002IndexDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 66 / 78Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 67 / 78

NASDAQ-100NASDAQ-100NASDAQ−Renditen−0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2log(NASDAQ)6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.51996 1998 2000 2002Index1996 1998 2000 2002IndexDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 68 / 78NASDAQ-100Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 69 / 78NASDAQ-100NASDAQ1000 2000 3000 4000Die Prognose der mittleren Rendite aus dem AR(0)-Modell bildet dieEntwicklung der Rendite im Jahr 1998 zunächst noch gut ab. Ab Ende1999 wird die Rendite dann systematisch unterschätzt und ab März2000 systematisch überschätzt. Dies ist noch deutlicher auf der Skalader Preise bzw. log-Preise zu sehen.Der offensichtliche Grund ist, dass die Entwicklung des NASDAQ-100nicht durch ein stabiles Modell erklärt werden kann. Sowohl dieBoom-Phase der .com-Blase als auch ihr Zerplatzen konnte nicht ausden vergangenen Renditen erwartet werden.1996 1998 2000 2002IndexDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 70 / 78Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 71 / 78

NASDAQ-100NASDAQ-100Rückblickend, d.h. hier unter Verwendung der Daten bis Ende 2006,können solche Strukturveränderungen modelliert werden, indem manunterschiedliche AR(0)-Modelle für unterschiedliche Zeitperiodenanpasst.Die Bruchpunkte können mit Hilfe von KQ-Verfahren (die weit über denInhalt der LV hinausgehen würden) datengetrieben bestimmt werden.log(NASDAQ)6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.51996 1998 2000 2002 2004 2006ZeitDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 72 / 78NASDAQ-100Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 73 / 78NASDAQ-100log(NASDAQ)6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5NASDAQ−Renditen−0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.21996 1998 2000 2002 2004 2006Zeit1996 1998 2000 2002 2004 2006ZeitDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 74 / 78Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 75 / 78

NASDAQ-100NASDAQ-100NASDAQ−Renditen−0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2Die mittlere Jahresrendite und ihre zugehörgige Standardabweichungsind (in Prozent):Anfang Ende ¯r s r,n−11995-01-09 1998-10-05 29.0 161.41998-10-12 2000-03-20 93.4 210.42000-03-27 2001-04-02 −113.2 397.32001-04-09 2002-09-30 −38.8 309.32002-10-07 2004-01-12 50.0 171.92004-01-20 2006-12-26 4.2 114.21996 1998 2000 2002 2004 2006ZeitDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 76 / 78Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 77 / 78InhaltNotationZusammenhang zwischen Aktienkursen und RenditenEffiziente MarkthypotheseAutoregressive Modelle der Ordnung p, AR(p)Autokorrelationskoeffizient, KorrelogrammStationäre Prozesse, white noise, AR(p)Nicht-stationäre Prozesse, random walkModellierung und Prognose nicht-stationärer ProzesseDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 78 / 78