Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle - Institute for ...

Beispiel: Prognose eines AR(1)Gegeben sei ein AR(1):Y t = −0.0007 − 0.10 · Y t−1 + ɛ tDer Wert des letzten Beobachtungszeitpunkts beträgt Y n = 0.125.Berechnen Sie die 2-Schritt Prognose.Die 1-Schritt Prognose:Ŷ n+1 = −0.0007 − 0.10 · 0.125 = −0.0132Die 2-Schritt Prognose:Ŷ n+2 = −0.0007 − 0.10 · Ŷ n+1 = 0.00062Beispiel: Prognose eines AR(1)Gegeben sei ein AR(1):Y t = −0.0007 − 0.10 · Y t−1 + ɛ tDer Wert des letzten Beobachtungszeitpunkts beträgt Y n = 0.125.Berechnen Sie die 2-Schritt Prognose.Die 1-Schritt Prognose:Ŷ n+1 = −0.0007 − 0.10 · 0.125 = −0.0132Die 2-Schritt Prognose:Ŷ n+2 = −0.0007 − 0.10 · Ŷ n+1 = 0.00062Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 52 / 78Prognose der PreiseDas Bildungsgesetz für die logarithmierte Reihe der Preisep t = log(P t ) lautetp t = p t−1 + r t ,t = 1, . . . , nDie 1-Schritt Prognose ausgehend vom Zeitpunkt n ist daherˆp n+1 = p n + ˆr n+1ˆr n+1 ist die 1-Schritt Prognose für die Renditen r n+1 , bspw. auseinem AR(1).Für die Prognose von p n+2 = p n+1 + r n+2 ersetzen wir alleVariablen durch ihre Prognosen.ˆp n+2 = ˆp n+1 + ˆr n+2Die Prognose ˆp n+1 ist bereits bekannt. Eingesetzt ergibt dasˆp n+2 = (p n + ˆr n+1 ) + ˆr n+2 = p n + (ˆr n+1 + ˆr n+2 )Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 53 / 78Prognose der PreiseDie k-Schritt Prognose ausgehend von n ergibt sich daher alsˆp n+k = p n + (ˆr n+1 + ˆr n+2 + . . . + ˆr n+k )Die Prognose für p n+k ist der letzte Wert p n plus der Summe allerprognostizierten Renditen, ˆr n+1 , . . . ,ˆr n+k .Die Prognose für P n+k , dem Niveau der Reihe in (n + k), ergibt sicheinfach durch exp(ˆp n+k ).ˆP n+k = exp(ˆp n+k )In prognostizierten Renditen ausgedrückt:ˆP n+k = exp(p n ) · exp(ˆr n+1 ) · . . . · exp(ˆr n+k )=k∏P n · exp(ˆr n+j ).j=1Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 54 / 78Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 55 / 78