Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle - Institute for ...

Beispiel: Stochastische ProzesseBeispiel: Stochastische ProzesseEs wurden je ein Pfad eines weißen Rauschens, eines AR(1) und einesRandom Walks generiert. Ordnen Sie jedem Graphen das richtigeModell zu.Welche der folgenden Aussagen sind richtig?(a) Y1 ist weißes Rauschen. falsch(b) Y2 gehorcht einem AR(1). falsch(c) Y3 zeigt das Verhalten eines Random Walks. falsch(d) Y1 ist weißes Rauschen, weil die meistenAutokorrelationskoeffizienten nahe bei 0 liegen. falsch(e) Der Koeffizient β 1 des AR(1) Prozess ist positiv. richtigEs wurden je ein Pfad eines weißen Rauschens, eines AR(1) und einesRandom Walks generiert. Ordnen Sie jedem Graphen das richtigeModell zu.Welche der folgenden Aussagen sind richtig?(a) Y1 ist weißes Rauschen. falsch(b) Y2 gehorcht einem AR(1). falsch(c) Y3 zeigt das Verhalten eines Random Walks. falsch(d) Y1 ist weißes Rauschen, weil die meistenAutokorrelationskoeffizienten nahe bei 0 liegen. falsch(e) Der Koeffizient β 1 des AR(1) Prozess ist positiv. richtigDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 48 / 78Prognose eines AR(1)Gegeben sind Y 1 , Y 2 , . . . , Y n−1 , Y n . Gesucht sind die1-Schritt Prognose: Ŷ n+1Y n+1 = β 0 + β 1 · Y n + ɛ n+1Ersetzt man den unbekannten Fehler ɛ n+1 durch seinenErwartungswert E(ɛ n+1 ) = 0, erhält man2-Schritt Prognose: Ŷ n+2Ŷ n+1 = β 0 + β 1 · Y nDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 49 / 78Prognose eines AR(1)k-Schritt Progose: Ŷ n+kAnalog erhalten wir durch wiederholtes Einsetzen von Ŷ n+j ,j = 1, . . . , k − 1,Ŷ n+k = β 0 · (1 + β 1 + . . . + β k−11) + β k 1 · Y nDa hier −1 < β 1 < 1 gilt, (der Fall β 1 = 1 wird gesondertbehandelt), verschwindet der Einfluss der letzten Beobachtung Y nmit steigendem k.Y n+2 = β 0 + β 1 · Y n+1 + ɛ n+2Die unbekannten Werte werden wieder durch Erwartungen ersetzt:Ŷ n+2 = β 0 + β 1 · Ŷ n+1 + 0= β 0 + β 1 · (β 0 + β 1 · Y n )= β 0 · (1 + β 1 ) + β1 2 · Y nDepartment of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 50 / 78Department of Statistics and Mathematics – WU Wien c○ 2008 Statistik – 12 – Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle – 51 / 78