1, + 2, −3, + 4

46. Mathematik-Olympiade1. Stufe (Schulstufe)Klasse 8Lösungenc○ 2006 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.V.www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten.460811 LösungFasst der Wasserbehälter x Liter Wasser, so sind, wenn in jeder Minute 4 Liter Wasser hineinfließen,nach einer gewissen Zeit (x − 60) Liter im Wasserbehälter, wozu eine (in Minutengemessene) Zeit t nötig ist. Folglich gilt t = x − 460 .Fließen aber in jeder Minute 6 Liter Wasser hinein, so sind nach einer gewissen Zeit 10 Literübergelaufen. Es sind also insgesamt (x + 10) Liter geflossen, wozu die gleiche Zeit t nötig ist.Es gilt daher auch t = x + 610 .Folglich gilt die Gleichung x − 460 = x + 610 mit der Lösung x = 200. Der Wasserbehälter fasst200 Liter Wasser.Lösungsvariante: Es fließt t Minuten lang Wasser in den Wasserbehälter. Im zweiten Fallfließen 2 Liter pro Minute mehr. Nach t Minuten sind dies 70 Liter, denn im zweiten Fallfließen 70 Liter mehr als im ersten Fall. Also gilt 2t = 60 + 10 und damit t = 35.Folglich fließt 35 Minuten lang Wasser in den Wasserbehälter, und der Wasserbehälter fasst(4 · 35 + 60 =) 200 Liter.460812 LösungTeil a) Der kleinere Würfel habe die Kantenlänge x cm. Dann beträgt die Kantenlänge desanderen Würfels (x + 22) cm. Hieraus folgt, dass die (Maßzahlen der) Oberflächeninhalte 6x 2bzw. 6(x + 22) 2 betragen.Nach Voraussetzung gilt daher 6(x+22) 2 −6x 2 = 19 272. Durch Umformen ergibt sich x = 62.Folglich haben die Würfel die Kantenlängen 62 cm und 84 cm.Teil b) Der kleinere Würfel habe die Kantenlänge x cm und der größere Würfel habe dieKantenlänge y cm. Wenn ein Paar (x; y) die Bedingung erfüllt, dass sich die Oberflächeninhalteder Würfel um 19 272 cm 2 voneinander unterscheiden, dann gilt 6y 2 − 6x 2 = 19 272. Wennman diese Gleichung durch 6 dividiert und die linke Seite in ein Produkt umformt, erhält man(y − x)(y + x) = 3212.Wegen 3212 = 2 · 2 · 11 · 73 und da (y − x) kleiner ist als (y + x), ergeben sich folgendeZerlegungsmöglichkeiten:3212 = (y − x)(y + x) = 1 · 3212 = 2 · 1606 = 4 · 803 = 11 · 292 = 22 · 146 = 44 · 73.Wegen (y − x) + (y + x) = 2y lässt sich für jeden dieser Fälle y und daraus auch x ermitteln.Nun muss noch nachgewiesen werden, dass die ermittelten fünf Zahlenpaare (x; y) die Bedingung6y 2 − 6x 2 = 19 272 tatsächlich erfüllen. Die Herleitung der möglichen Lösungen sowie17