1, + 2, −3, + 4

461016 LösungFür die Primzahl p mit der geforderten Eigenschaft sei 1p= 0,ab die Dezimaldarstellungmit einem r-stelligen Ziffernblock a als Vorperiode und einem fünfstelligen Ziffernblock b alsPeriode. Dann gilt 10 r · 1p = a,b und 105 · 10 r · = ab,b, wobei ab die Zahl ist, die durch1pHintereinanderschreiben der Ziffern der Blöcke a und b entsteht. Bildet man die Differenz derbeiden Zahlen, so ergibt sich die ganze Zahl(10 5 − 1) · 10 r · 1p= ab − a.Folglich muss p ein Teiler von 10 oder 10 5 − 1 = 3 2 · 41 · 271 sein, also eine der Primzahlenp ∈ {2, 3, 5, 41, 271}.Damit ist gezeigt, dass es nur endlich viele Primzahlen mit der geforderten Eigenschaft gebenkann und die Aufgabe ist gelöst.Eine genauere Analyse zeigt, dass für p = 2 und p = 5 die entsprechende Dezimaldarstellungendlich (und damit formal auch periodisch mit der Periode 00000) ist.Für p = 3 gilt 1/3 = 0,3 = 0,33333, die kleinste Periodenlänge ist also 1. Für die anderenbeiden Primzahlen ist 5 sogar die kleinstmögliche Periodenlänge, wobei in beiden Fällen keineVorperiode auftritt:p = 41 1p= 0,02439,p = 271 1p= 0,00369.23