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http://homepages.fh-regensburg.de/~wah39067/crnm/Rechner/1623-schickard.jpg he Bild 8). Die Kepler zugedachte Maschine fiel einem Brand in Tübingen zum Opfer, und Wilhelm Schickards Maschine ist wohl in den Wirren des Dreißigjährigen Krieges untergegangen. In den späten 1950er-Jahren gelang es jedoch Professor Bruno Baron von Freytag Löringhoff (1912–1996), die Maschine zu rekonstruieren, die schließlich im Januar 1960 im Auditorium Maximum der Universität Tübingen vorgestellt wurde (siehe Bild 9). Weitere Arbeiten Napiers Neben der Erfindung der Logarithmen, Logarithmentafeln und der Rechenstäbchen gilt John Napier auch als derjenige, der den Dezimalpunkt eingeführt hat. (Im deutschsprachigen Raum und in anderen Teilen Europas wird dagegen das Dezimalkomma als übliches Dezimaltrennzeichen benutzt.) Auch beschäftigte er sich mit schiefwinkligen sphärischen Dreiecken. Die nach ihm benannten Napierschen Regeln, die in englisch sprechenden Ländern als Nepers’s pentagon bzw. Neper’s circle bekannt sind, sollen eine mnemonische Hilfe sein, alle Beziehungen zwischen den Winkeln in einem solchen Dreieck aufzufinden. Allerdings wurden diese Regeln von ihm nur unvollkommen in seinem 1619 LOG IN Heft Nr. 133 (2005) C O M P U T E R & A N W E N D U N G E N posthum erschienenen Buch ,,Mirifici – Logarithmorum Canonis constructio“ aufgeführt. Ehrungen Bild 8: Skizze Wilhelm Schickards mit Anmerkungen zu der von ihm entwickelten Rechenmaschine in seinem Brief an Johannes Kepler aus dem Jahr 1623. Zu Ehren John Napiers wurde eine Maßeinheit der Dämpfung bei elektrischen und akustischen Schwingungen Neper (Einheitszeichen: Np; Formelzeichen: N) genannt. Sie ist eine dimensionslose Hilfsmaßeinheit, die als natürlicher Logarithmus des Verhältnisses Bild 9: Rechenmaschine (1623) von Wilhelm Schickard, gebaut für seinen Freund Johannes Kepler, auf einer Briefmarke der Bundesrepublik Deutschland aus dem Jahr 1973 – ,,350 Jahre Rechenmaschine“. zweier Amplituden A1 und A2 gemessen wird: n = ln A1 A 2 Mittlerweile ist die Einheit Neper weitgehend durch Bel bzw. Dezibel (dB) ersetzt worden. Darüber hinaus wurde mit Nit (Abkürzung von: Naperian Digit) bzw. nepit eine dimensionslose Einheit von Datenmengen geschaffen. Im Gegensatz zum Bit hat das Nit den natürlichen und nicht den dualen Logarithmus als Grundlage, d. h. es hat die Basis e und nicht die Basis 2. Es gilt dabei: ln(p) nit = log2(p) bit Das bedeutet, dass 1 nit ungefähr 1,44 bit entspricht: p nit = log2(p) ln(p) p bit = bit ≈ 1,44 ⋅ p bit ln 2 Aber auch die Einheit Nit ist mittlerweile nicht mehr gebräuchlich. Dagegen ist das Andenken an John Napier in Edinburgh noch lebendig: Die Napier University (http:// www.napier.ac.uk/), eine technischnaturwissenschaftlich orientierte Universität mit vier Fakultäten, besitzt unter anderem einen Campus bei Merchiston Castle, dem Geburtsund Sterbeort John Napiers. Das Grab John Napiers existiert immer noch und kann in der St. Cuthbert’s Church in Edinburgh besucht werden. Bernhard Koerber Literatur und Internetquellen Hempel, T.: John Napier – Rechnen mit den Rechenstäbchen. http://www.tinohempel.de/info/mathe/napier/ napier.htm [Stand: April 2005] History of Napier University: http://www.news.napier.ac.uk/background/ bkInfo6.htm [Stand: April 2005] O’Connor, J. J.; Robertson, E. F.: John Napier. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/ Mathematicians/Napier.html [Stand: April 2005] Topolewski, P.: Mathematische Zahlen und Rechenhilfen – Mein Beitrag zu Jugend forscht / Schüler experimentieren 2003. http://www.topolewski.de/pascal/ jufo2003/index.htm [Stand: April 2005 – dies ist die Arbeit eines damals 9-jährigen Schülers!] Vorndran, E. P.: Entwicklungsgeschichte des Computers. Berlin; Offenbach: VDE-Verlag, 21986, S. 23–25. 75
Rezension Wagenknecht, Christian: Algorithmen und Komplexität. Reihe ,,Informatik Interaktiv“. München u. a.: Fachbuchverlag Leipzig im Carl-Hanser-Verlag, 2003. ISBN 3- 446-22314-2. 180 S.; EUR 14,90. Um es vorweg zu nehmen: Das Buch ist für Informatiklehrerinnen und -lehrer gut geeignet, die sich über Problemlösungsstrategien,Algorithmen und deren Zeitund Speicherkomplexität informieren möchten – unabhängig davon, welche Programmiersprachen sie im eigenen Unterricht einsetzen. Von besonderem Gewinn dürfte das Buch für diejenigen Informatik-Lehrkräfte sein, die funktionale Modellierung – eine der grundlegenden Modellierungstechniken nach den Einheitlichen Prüfungsanforderungen in der Abiturprüfung Informatik der KMK – in ihrem Unterricht thematisieren, da die Programmbeispiele in SCHEME formuliert sind. Zahlreiche Anregungen – auch zum didaktisch-methodischen Herangehen – können dem Buch und der Website des Autors zum Buch entnommen werden und den eigenen Unterricht bereichern. Im ersten Abschnitt geht es um Grundbegriffe und -verfahren im Zusammenhang mit dem Zeit- und Speicheraufwand von Algorithmen. Dabei wird herausgearbeitet, dass der funktionale Zusammenhang zwischen der Problemgröße und dem Aufwand zu ermitteln ist und nicht einzelne Rechenzeiten. Im zweiten Abschnitt wird erläutert, was ein effizienter Algorithmus ist. Polynomialer und exponentieller Aufwand werden verglichen, konkrete Algorithmen werden analysiert sowie die Groß-O-Notation und andere asymptotische Aufwandsordnungen definiert. Hier und an vielen anderen Stellen empfiehlt der Autor, Sachverhalte aus- 76 F O R U M zuprobieren und zu experimentieren (z. B. unter Verwendung eines Tabellenkalkulationssystems oder eines Computeralgebrasystems). Das Bild 2.1 ,,Vergleich von Aufwänden“ (S. 31) dürfte bei einer Nachauflage verzichtbar sein, da mehrere Funktionen nur für sehr kleine x verglichen werden, was bei Aufwandsbetrachtungen eine eher uninteressante Angelegenheit ist. Im dritten Abschnitt werden mathematische Hilfsmittel zur Approximation von Funktionen und zum Lösen von Rekursionsgleichungen bereitgestellt, die in den nachfolgenden Abschnitten genutzt werden. Im vierten Abschnitt geht es um das Teile-und-herrsche-Verfahren (Divide-and-conquer-Verfahren), eine der fundamentalen Ideen der Informatik. Der Autor arbeitet heraus, dass das Befolgen von Entwurfsmethoden für Algorithmen das Ableiten von Aufwandsaussagen unterstützt. Quicksort, Mergesort, binäres Suchen, Multiplikation großer ganzer Zahlen und schnelle Matrixmultiplikation werden genauer untersucht. Der Zusammenhang zwischen dem Teile-und-herrsche-Verfahren und der Rekursion wird dargestellt. Im fünften und sechsten Abschnitt wird das Suchen anhand des Rucksack- und des Rundreiseproblems, für die es sehr praktische Anwendungen gibt, thematisiert. Vor- und Nachteile der einzelnen Ansätze werden dargestellt und begründet. Eine nichtdeterministische Lösung wird skizziert und damit der zehnte Abschnitt vorbereitet. Dabei zeigt sich, dass der Vorteil der Integration des Nichtdeterminismus in der Verbesserung der kognitiven Effizienz und nicht in einer verbesserten Zeiteffizienz der Lösungsalgorithmen liegt. Zur kognitiven Effizienz hätte sich der Rezensent weitergehende Ausführungen gewünscht. Im siebten und achten Abschnitt werden mit dem dynamischen Programmieren und den Greedy-Algorithmen interessante und wichtige Problemlösungsmethoden vorgestellt, untersucht und angewandt. Viele Ideen, z. B. memoizing, können im Informatikunterricht an Schulen aufgegriffen werden. (Beim Memoizing wird, bevor eine bestimmte Berechnung durchge- führt wird, überprüft, ob der zu ermittelnde Wert schon vorhanden ist. Ist dies der Fall, wird er genommen, andernfalls wird er berechnet und für eventuellen späteren Bedarf gespeichert. Dieses Verfahren ist – wie im Buch gezeigt – sowohl für einfache Berechnungen als auch bei komplexen Problemlösungen anwendbar.) Im neunten Abschnitt wird das Anwenden von Zufall zum Problemlösen dargestellt. Ein Zufallsgenerator wird beschrieben, und damit werden zugleich die in vielen Programmiersprachen vorhandenen Funktionen für Pseudozufallszahlen transparent gemacht. Die dann bearbeiteten Beispiele sind p-Berechnung durch ,,Zufallsregen“, probabilistischer Quicksort (wobei die dort gemachte Aussage zum schlechtesten Fall unvollständig ist), Äquivalenz zweier Multimengen und Primzahltests. Im zehnten Abschnitt wird das P- NP-Problem beleuchtet. Denjenigen, die sich dazu sachkundig machen möchten, kann die anschauliche Darstellung entlang eines ,,roten Fadens“ sehr empfohlen werden. Falls die Gleichung P = NP wider Erwarten doch bewiesen werden kann, so hätte die Welt der Wissenschaft eine Sensation und die Schule ein Thema, das sie nicht ignorieren dürfte. Im elften Abschnitt werden als Ausblick effiziente Näherungsalgorithmen vorgestellt. Diese Algorithmen können dann eingesetzt werden, wenn es zur exakten Lösung eines bestimmten Problems nur hinsichtlich ihres Aufwands schlechte Algorithmen gibt. Zu den Näherungsalgorithmen gehören das Nutzen von Heuristiken, der Sintflut-Algorithmus, das so genannte DNA computing, evolutionäre Algorithmen und neuronale Netze. Das lesenswerte Buch gibt einen guten Überblick über ein theoretisches Thema mit Praxisrelevanz. Es regt zum Nachdenken und zur Arbeit am Computer an. Die Kombination von Buch und Website zum Buch (http://www.inf.hs-zigr.de/ ~wagenkn/AuK-Buch/) hat dabei ihren besonderen Reiz. Michael Fothe LOG IN Heft Nr. 133 (2005)
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