alte Klausuren - Oliver Kirchkamp

c○ Oliver KirchkampBW24.2 — 10 APRIL 2004 14g) Gibt es für den Fall x= 0 im unendlich oft wiederholtenSpiel ein teilspielperfektes Gleichgewicht,in dem beide Spieler eine Auszahlungvon 2 bekommen? Falls ja geben Sie ein Beispielfür ein solches teilspielperfektes Gleichgewicht.h) Gibt es für den Fall x= 0 im unendlich oft wiederholtenSpiel ein Nash Gleichgewicht, in dembeide Spieler eine Auszahlung von 2 bekommenund das nicht teilspielperfekt ist? Falls ja gebenSie ein Beispiel für ein solches Nash Gleichgewicht.2. Eva und Maria verhandeln über einen Kuchen,der nur in n gleichgroße Stücke zerschnitten werdenkann. Das Ergebnis der Aufteilung kann alsodurch eine ganze Zahl i∈{0, . . ., n} beschriebenwerden, wobei dann Eva einen Anteil i/n bekommtund Maria einen Anteil(n− i)/n.Die Verhandlungen laufen wie folgt ab: In jederRunde hat eine der beiden Spielerinnen die Möglichkeit,eine Aufteilung (einen Wert von i ) auszuschließen.Eva beginnt, danach wechseln sich diebeiden ab. Die Verhandlungen sind abgeschlossen,sobald nur noch eine Aufteilung übrig bleibt.a) Sei n= 2. Es gibt also drei mögliche Aufteilungen:Eva bekommt gar keinen Kuchen, sie bekommtden halben Kuchen, oder sie bekommtden ganzen Kuchen.Wieviel Strategien hat Eva? Wieviele Strategienhat Maria?b) Finden Sie alle teilspielperfekten Gleichgewichtedes Spieles. Welche Aufteilung wird erreicht?c) Gibt es ein Nash Gleichgewicht das zu einer anderenAufteilung führt? Wenn ja, beschreibenSie es.d) Sei n = 3. Wieviele Strategien hat Eva jetzt?Wieviele Strategien hat Maria? (Falls Sie keineLust haben, das Ergebnis im Kopf auszurechnen,schreiben Sie auf, was man ausrechnenmüsste.)e) Bestimmen Sie alle teilspielperfekten Gleichgewichtefür n= 3.f) Sei n eine beliebige Zahl. Auf welche Aufteilungeinigen sich die beiden im teilspielperfektenGleichgewicht?3. Betrachten Sie das folgende Spiel in extensiverForm. Spieler I ist in den Knoten I 1 und I 2 am Zug.Spieler I I ist nur im Knoten I I 1 am Zug:A 1 a 1 4• I 1 I I 1 I 20D 1 d 1 D 20 2 010a) Wie viele Strategien hat Spieler I , wieviele hatSpieler I I ?b) Finden Sie alle teilspielperfekten Gleichgewichtedes Spieles.c) Transformieren Sie das Spiel in Normalformund finden Sie alle Nash Gleichgewichte.d) Betrachten Sie nun wieder das Spiel in extensiverForm: Spieler I I hat allerdings erfahren,3A 2dass es zwei Typen von Spieler I gibt. Spieler,die das Spiel verstanden haben, und Spieler dieimmer A spielen (d.h. im Knoten I 1 spielen sieimmer A 1 und im Knoten I 2 spielen sie immerA 2 ). Der Anteil der Spieler die immer A spielenistε, der Anteil der Spieler die das Spiel verstandenhaben ist 1−ε.Nehmen Sie an, von den Spielern I , die das Spielverstanden haben, wählt ein Anteil x im KnotenI 1 die Aktion A 1 . Wenn Spieler I I im KnotenI I 1 zum Zug kommt, mit welcher Wahrscheinlichkeittrifft er dann auf einen Spieler I der dasSpiel verstanden hat?e) Gibt es in diesem Spiel ein Gleichgewicht in reinenStrategien? Falls ja, was ist es und welcheAuszahlungen erhalten die Spieler?f) Gibt es in diesem Spiel ein Gleichgewicht in gemischtenStrategien? Falls ja, was ist es und welcheAuszahlungen erhalten die Spieler?10 April 2004Begründen Sie bitte alle Ihre Antworten!14