Definition Eine kontextfreie Grammatik G mit ε ∈ L(G) ist in Greibach ...

SatzJede kontextfreie Sprache über einemeinelementigen Alphabet ist bereits regulär.Beweis:Sei L eine kontextfreie Sprache über {a}, und sei ndie Zahl aus dem Pumping Lemma für L:∀z ∈ L : |z| ≥ n ❀ ∃z = uvwxy : vx ≠ ε,|vwx| ≤ n und uv i wx i y ∈ L f.a. i ≥ 0.Aber L ⊆ {a} ∗ : |z| = m ❀ z = a m .∀m ≥ n : ∃k, l ≥ 0 : m = k + l,1 ≤ l ≤ n, und a k a i·l ∈ L f.a. i ≥ 0.Nur endlich viele l-Werte l 1 , l 2 , . . . , l p treten auf.Wähle q := n! : Jedes l i teilt q.Wähle q ′ ≥ q, sodass folgendes gilt:∀m ≥ q : a m ∈ L ❀ ∃q ≤ p ≤ q ′ : m ≡ p mod qund a p ∈ L.L ′ := { x ∈ L | |x| < q } ∪{ a r a iq | q ≤ r ≤ q ′ , a r ∈ L, i ∈ N }Behauptung: L = L ′ .Beweis: L ′ ⊆ L : klar.L ⊆ L ′ : klar nach Wahl von q mod q ′ .✷✷89