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Multilevel Monte-Carlo Simulationsverfahren mitAnwendung auf Multi-Asset OptionenBachelorarbeit14. März 2011eingereicht beiProf. Dr. Thomas GerstnerFachbereich Informatik und MathematikInstitut für MathematikGoethe UniversitätFrankfurt am Mainvorgelegt vonMarco NollGeb. am: 03.10.1986Matrikelnummer: 3803372Studienrichtung: MathematikFrankfurt am Main, den 14. März 2011

InhaltsverzeichnisAbbildungsverzeichnisEhrenwörtliche ErklärungIIIII1 Einleitung 12 Grundlagen 32.1 Stochastische Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Grundlagen der Optionsbewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Multi-Asset Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Multilevel Monte-Carlo Simulationsverfahren 73.1 Monte-Carlo Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Multilevel Monte-Carlo Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Komplexitätstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4 Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4.1 Optimales M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4.2 Fehlerschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4.3 Richardson Extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Implementierung 265 Numerische Ergebnisse 295.1 Europäische Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.2 Asiatische Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.3 Multi-Asset Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.3.1 Geometrischer Basket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.3.2 Arithmetischer Basket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.4 Heston stochastic volatility Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 Schlussbetrachtungen und Ausblick 38A Anhang: Programmcodes 40Literaturverzeichnis 45I

Abbildungsverzeichnis1 Optimales M (geometrisches Mittel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Optimales M (arithmetisches Mittel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Europäische Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Asiatische Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 Geometrischer Basket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 Arithmetischer Basket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 Europäische Option mit Heston Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37II

Ehrenwörtliche ErklärungHiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig abgefaßt und keine anderenHilfsmittel als die angegebenen benutzt habe. Ich erkläre ferner, dass diejenigenStellen der Arbeit, die anderen Werken wörtlich oder dem Sinn nach entnommen sind,in jedem einzelnen Fall unter Angabe der Quellen kenntlich gemacht sind.Frankfurt am Main, den 14. März 2011III

1 EinleitungAuf den internationalen Finanzmärkten werden viele verschiedene Optionen gehandelt,für die keine geschlossenen Berwertungsformeln existieren. Um den Wert dieser Optionenzu ermitteln werden daher numerische Verfahren eingesetzt. Dabei treten neueProbleme auf. Der approximierte Optionswert soll möglichst genau und die Rechenkostenniedrig sein. Ein weitverbreitetes Verfahren ist die Monte Carlo (MC) Simulation.Dabei entspricht der approximierte Optionswert dem arithmetischen Mittel aus mehrerenunabhängigen Simulationen des Optionswertes. Die Genauigkeit wird erhöht indemdie Anzahl der Simulationen erhöht wird. Allerdings steigen damit auch die Rechenkosten.Wie kann aber die Genauigkeit verbessert werden, ohne die Rechenkosten zu erhöhen?Indem Multi-Grid Methoden verwendet werden. Das Prinzip der Multi-Grid Methodewird bei der Multilevel Monte-Carlo Methode (MLMC) angewandt. Dabei wird derAktienkurs mit unterschiedlichen Schrittweiten simuliert und daraus der Optionswertermittelt. Somit wird, bei bedeutend geringerem Rechenaufwand, die Genauigkeit desfeinsten Diskretisierungslevels erreicht. Um einen Vergleich der MLMC Methode mitder Monte-Carlo Methode zu ziehen, wird bei beiden Verfahren die gleiche Genauigkeitverlangt, welche sich aus dem mean square error (MSE) ermittelt und die Rechenkostenverglichen. Es wird gezeigt, dass im einfachsten Fall bei Verwendung einer lipschitzstetigenAuszahlungsfunktion und des Euler-Maruyama Verfahrens zur Diskretisierung desAktienkurses, die Rechenkosten von O(ɛ −3 ) auf O(ɛ −2 (log ɛ) 2 ) bei einem root mean squareerror (RMSE) von O(ɛ) sinken. Das Ziel dieser Arbeit ist es schließlich, Multi-AssetOptionen mit beiden Verfahren numerisch zu bewerten und zu testen, ob die MLMCMethode den Rechenaufwand gegenüber der Monte-Carlo Methode reduziert.Bei der Auswahl dieses Themas empfand ich neben den vielfältigen Möglichkeiten derMLMC Methode auch die Aktualität dieses Themas besonders interessant. Der ersteArtikel speziell zu diesem Thema wurde erst 2008 veröffentlicht und aktuell wird nachweiteren Möglichkeiten geforscht die Rechenkosten, aufbauend auf diesem Verfahren,zu reduzieren. So kann die MLMC Methode z.B. mit der Quasi-Monte-Carlo Methodekombiniert werden um weitere Rechenkosten einzusparen. In Vorlesungen zur Finanznumerikund im speziellen zum Monte-Carlo Verfahren wurde klar, wie wichtig die Effizienzvon Algorithmen ist und welche Bedeutung diesen in der Finanzmathematik zukommt.In Zukunft wird es spannend sein zu sehen, ob diese Methode auch in der Praxis derOptionsbewertung Anwendung findet und ob sich durch die vielfältige Einsatzmöglich-1

keiten von Monte-Carlo Methoden weitere Anwendungsgebiete ergeben.Anfangs werden in Kapitel 2 die wichtigsten Grundlagen zur numerischen Simulationvon Aktienkursen und zur Optionsbewertung gegeben. In Kapitel 3 wird das eigentlicheThema dieser Arbeit behandelt. Zuerst wird die benötigte Anzahl der Simulationenund die erforderliche Schrittweite abgeschätzt, um einen MSE der Größe O(ɛ 2 ) fürdie Monte-Carlo Methode zu erhalten. Anschließend wird erklärt wie das MultilevelMonte Carlo Verfahren funktioniert und wie Rechenkosten gegenüber der MC Methodeeingespart werden können. Dabei wird stets eine lipschitzstetige Auszahlungsfunktionvorausgesetzt und das Euler-Maruyama Verfahren zur Diskretisierung des Aktienkursesverwendet. Danach wird im Komplexitätstheorem gezeigt, wie sich der Rechenaufwandbei Verwendung eines beliebigen Diskretisierungsverfahrens und beliebiger Auszahlungsfunktionverhält. Die Schrittweite zu der der Aktienkurs simuliert wird, ist durch einenParamter M festgelegt. Die Wahl dieses Paramters beeinflusst die Rechenkosten, sodasssich in Kapitel 3.4.1 die Frage nach dem optimalen M stellt. Später, bei der Implementierung,ist eine Abbruchbedingung nötig, diese wird in 3.4.2 durch Abschätzung deserwarteten Fehlers aufgestellt. Anschließend wird gezeigt, wie diese Bedingung durchdie Richardson Extrapolation Methode verbessert werden kann. In Kapitel 4 ist eineMöglichkeit angegeben, den Multilevel Monte-Carlo Algorithmus zu implementieren,sodass in Kapitel 5 unter Verwendung dieses Algorithmus verschiedene numerische Ergebnissepräsentiert werden. Die verwendeten Programme zur Auswertung sind in Matlabimplementiert und befinden sich im Anhang. Zuerst wird das MLMC Verfahrenmit dem MC Verfahren für europäische und asiatische Optionen anhand jeweils einesBeispiels verglichen. Dabei werden die numerischen Resultate anhand mehrerer Grafikendargestellt. Danach werden auch Optionen untersucht für die keine geschlossenenLösungsformeln existieren. Dazu ist es interessant verschiedene Multi-Asset Optionenzu betrachten. Als letztes Beispiel wird eine Option mit variabler Volatilität herangezogen.Der Aktienkurs folgt hierbei dem Heston Model. Auch hier ist an verschiedenenGrafiken ersichtlich, dass das MLMC Verfahren eine deutliche Verbesserung erbringt.Zum Schluss werden die Ergebnisse nochmals zusammengefasst und ein Ausblick aufweitere Möglichkeiten gegeben, die den Rechenaufwand reduzieren.2

2 GrundlagenUm den Kurs einer Aktie mit numerischen Verfahren zu simulieren, werden die für dieseArbeit wichtigsten Grundlagen eingeführt.2.1 Stochastische NumerikDie Kursentwicklung einer Aktie wird mittels einer Stochastischen Differentialgleichung(SDE) beschrieben. Numerische Verfahren werden verwendet, um diese zu lösen. Einesdieser Verfahren wird in diesem Kapitel vorgestellt.Definition 2.1.1 Seien a, b : R × [0, T ] −→ R zwei Funktionen und W : R + −→ Rein Wiener-Prozess. Dann ist durchdS(t) = a(S(t), t)dt + b(S(t), t)dW (t) (2.1)eine Stochastische Differentialgleichung gegeben. Diese wird als IntegralgleichungS(t) = S(t 0 ) +∫ tt 0a(S(u), u)du +∫ tt 0b(S(u), u)dW (u)interpretiert, wobei das zweite Integral ein Ito-Integral ist.Im Zuge der Finanzmathematik ist durch die Funktion a der Drift und durch b dieVolatilität der Aktie gegeben. S(t 0 ) ∈ R bezeichnet den jetzigen Kurs der Aktie. ZurDiskretisierung der SDE (2.1) gibt es verschiedene numerische Verfahren. Das einfachsteist das Euler-Maruyama-Verfahren. Hierbei folgt der Aktienkurs S der DynamikŜ(t n+1 ) = Ŝ(t n) + a(Ŝ(t n), t n )h + b(Ŝ(t n), t n )∆W n , (2.2)wobei h = T/N die Schrittweite zu N ∈ N Diskretisierungsschritte auf dem Gittert n = nh, für n = 0, 1, ..., N, ist und ∆W n = W (t n ) − W (t n−1 ).Die Genauigkeit der Näherung Ŝ(T ) bezüglich des exakten Wertes S(T ) wird durch zweiFormen der Konvergenz erfasst.Definition 2.1.2 (Starke Konvergenz) Ein numerisches Verfahren zur Lösung einerSDE konvergiert stark mit Ordnung α > 0, falls für alle p ∈ N(|Ŝ(t) 1max E n) − S(t n )| p pngilt, mit einer von h unabhängigen Konstanten C T .3≤ C T h α

Definition 2.1.3 (Schwache Konvergenz) Ein numerisches Verfahren zur Lösungeiner SDE konvergiert schwach mit Ordnung β > 0, falls für alle Polynome Pmax |E[P (Ŝ(t n))] − E[P (S(t n ))]| ≤ C T,P h βngilt, mit einer von h unabhängigen Konstanten C T,P .Bei beiden Definitionen bezeichnet Ŝ(t n) die numerische Approximation zur Schrittweiteh.Satz 2.1.4 (Konvergenz des Euler-Maruyama Verfahrens) Gilt für die Funktionena(S, t) und b(S, t) aus (2.1) mit Konstanten K 1 , K 2 , K 3 , K 41. |a(x, t) + a(y, t)| + |b(x, t) + b(y, t)| ≤ K 1 |x − y|,2. |a(x, t)| + |b(x, t)| ≤ K 2 (1 + |x|),3. |a(x, s) − a(x, t)| + |b(x, s) − b(x, t)| ≤ K 3 (1 + |x|)|s − t| 1/2 ,4. a, b ∈ C (2+ɛ) für ein ɛ > 0 (mehr als 2-mal differenzierbar),dann existiert eine eindeutige Lösung der SDE (2.1) und das Euler-Maruyama Verfahrenkonvergiert stark mit Ordnung 1/2 und schwach mit Ordnung 1.Beweis: [15], Theorem 10.2.2 und 14.1.52.2 Grundlagen der OptionsbewertungEs folgen benötigte Grundlagen aus der Optionsbewertung.Definition 2.2.1 (Äquivalentes Martingalmaß) Als äquivalentes Martingalmaß P ∗zur Wahrscheinlichkeitsverteilung P von S(t) wird das Wahrscheinlichkeitsmaß bezeichnet,für dase −r∆t E ∗ [S(t + ∆t)] = S(t)gilt, wobei r der risikolosen Zinsrate entspricht.Satz 2.2.2 Für eine Option die nur zum Endzeitpunkt T ausgeübt werden kann, ergibtsich der faire Preis unter dem äquivalenten Martingalmaß durchV (S, 0) = e −rT E ∗ [V (S, T )], (2.3)4

wobei r die risikolose Zinsrate und V (S, t) den Wert der Option zum Zeitpunkt t ∈ [0, T ]bezeichnet.Beweis: [9], S.21Bemerkung 2.2.3 (Black-Scholes Modell) Im Black-Scholes Modell folgt der Aktienkursder SDEdS(t) = µS(t)dt + σS(t)dW (t), (2.4)mit Drift µ und Volatilität σ. Ersetzt man µ durch die risikolose Zinsrate r, so erhältman das äquivalente Martingalmaß P ∗ zur Wahrscheinlichkeitsverteilung P von S(t)(vgl. [4]).2.3 Multi-Asset OptionenMulti-Asset Optionen, sind Optionen, deren Wert von der Kursentwicklung mehrererUnderlyings abhängt. Dieses Kapitel widmet sich den Besonderheiten die bei der Simulationder Aktienkurse beachtet werden müssen. Im Folgenden wird eine Option auf nAktien betrachtet. Der Kursverlauf jeder einzelnen Aktie wird mit (2.1) beschrieben,d.h.dS i (t) = a i (S i (t), t)dt + b i (S i (t), t)dW i (t) (2.5)für i = 1, ..., n. S i (t) bezeichnet den Kurs der i-ten Aktie zum Zeitpunkt t, die Funktionena i : R × [0, T ] −→ R und b i : R × [0, T ] −→ R geben den Drift bzw. die Volatilitätder i-ten Aktie an und W i : R + −→ R beschreibt eine Standard Brownsche Bewegung.Die Inkremente dW i der Brownschen Bewegungen sind normalverteilt mit Erwartungswert0 und Varianz θ i . Zwei Inkremente dW i und dW j sind miteinander korreliert, p i,jist der entsprechende Korrelationskoeffizient. Die Korrelationsmatrix ist gegeben durch⎛⎞p 1,1 p 1,2 p 1,3 · · · p 1,np 2,1 p 2,2 p 2,3 · · · p 2,n⎜⎟⎝ . . . . ⎠ ,p n,1 p n,2 p n,3 · · · p n,nwobei p i,j = p j,i und p i,i = 1 für i, j = 1, ..., n gilt. Für dW = (dW 1 , dW 2 , · · · , dW n ) TfolgtdW ∼ N(0, Σ),5

3 Multilevel Monte-Carlo SimulationsverfahrenUm die Multilevel Monte-Carlo (MLMC) Methode mit der Monte-Carlo Methode vergleichenzu können, werden zuerst die für diese Arbeit wesentliche Merkmale des Monte-Carlo Verfahrens erfasst. Anschließend wird die Multilevel Monte-Carlo Methode beschriebenund die Reduzierung der Rechenkosten gezeigt. Danach werden die Ergebnisseim Komplexitätstheorem verallgemeinert. Zum Schluss dieses Kapitels werden einigeErweiterungen vorgestellt, die für die spätere Implementierung des Algorithmus wichtigsind. Dieses Kapitel bezieht sich auf [5] und [11].3.1 Monte-Carlo MethodeMonte Carlo Methoden beschreiben eine Gruppe von Algorithmen, die Zufallszahlen zurSimulation von stochastischen Prozessen verwenden. Im Allgemeinen wird die Monte-Carlo Methode zur Approximation von Erwartungswerten benutzt. In der Finanzmathematikwerden damit häufig Optionspreise näherungsweise berechnet für die keine geschlosseneLösungsformel existiert oder für die es zu aufwändig wäre den exakten Preiszu berechnen. Bei der Monte-Carlo Methode entspricht der approximierte Optionswertdem arithmetischen Mittel aus N unabhängigen Simulationen des Optionswerts.Sei f : R −→ R dasjenige Funktional, sodass f(S(T )) die diskontierte Auszahlung einerOption auf die Aktie S angibt, bei der die Auszahlung nur vom Kurs der Aktie zumAusübungszeitpunkt S(T ) abhängt. Sei die Funktion f weiterhin lipschitzstetig, so folgtfür die Approximation der diskontierte Auszahlung f(Ŝ(T )) , mit |f(Ŝ(T ))−f(S(T ))| ≤c|Ŝ(T )) − S(T )| für eine Konstante c, die gleiche schwache, sowie starke Konvergenzwie für die entsprechende Approximation von S(T ). Durch Bildung des arithmetischenMittels aus N unabhängigen Approximationen von f(S(T )) zur Schrittweite h ergibtsich der Schätzer Ŷ = N ∑ −1 Ni=1 f(Ŝ(i) T/h) von Y = E[f(S(T ))], dessen Genauigkeit mitdem mean square errorMSE = E[|Ŷ − Y |2 ]= (E[Ŷ − Y ])2 + E[|Ŷ − Y |2 ] − (E[Ŷ − Y ])2= (E[Ŷ − Y ])2 + V ar[Ŷ ], (3.1)bestimmt wird. Der MSE wird nun durch einzelne Abschätzungen des quadrierten Bias7

und der Varianz bestimmt. Für die Varianz von Ŷ giltV ar[Ŷ ] = V ar [N −1= N −2 N∑i=1≤ c 1 N −1 ,N∑i=1]f(Ŝ(i) T/h )V ar[f(Ŝ(i) T/h )]mit c 1 = sup h∈(0,1] V ar[f(Ŝ(i) T/h)]. Für den quadrierten Bias gilt mit der schwachen Konvergenzdes Euler-Maruyama Verfahrens, welches in diesem Kapitel stets zur Approximationdes Aktienkurses verwendet wird und der Voraussetzung einer lipschitzstetigenAuszahlungsfunktion,NE[Y − Ŷ ] = NE [f(S(T )) − N −1[= E Nf(S(T )) −N∑i=1N∑i=1]f(Ŝ(i) T/h )]f(Ŝ(i) T/h )()≤ N sup E[|f(S(T )) − f(Ŝ(i) T/h )|] i≤ Nc ′ 2h,mit einer Konstanten c ′ 2∈ R. Daraus ergibt sich E[Y − Ŷ ] ≈ c′ 2h undMSE ≈ c 1 N −1 + c 2 h 2 , (3.2)mit Konstanten c 1 und c 2 . Da ein RMSE von O(ɛ) erzielt werden soll, ist ein MSE vonO(ɛ 2 ) notwendig und somitN = O(ɛ −2 ) und h = O(ɛ). (3.3)Mit dieser Wahl von h folgt ein erwarteter Fehler E[Y − Ŷ ] der Größenordnung O(ɛ).Weiterhin folgt für die Rechenkosten C = O(ɛ −3 ), da zur Schrittweite h für jede Pfadsimulation1/h Iterationen notwendig sind und die Rechenkosten somit bei N Simulationenproportional zu N/h sind.3.2 Multilevel Monte-Carlo MethodeBei der Multilevel Monte-Carlo Methode werden nun die Aktienkurse zu unterschiedlichenSchrittweiten simuliert. Dazu wird eine geometrische Reihenfolge von verschiedenen8

Schrittweiten h l = M −l T, l = 0, 1, ..., L, verwendet, wobei M ≥ 2 gewählt wird. WelcheM empfehlenswert sind, wird später in Kapitel 3.4.1 gezeigt. Die Idee, die sich dahinterverbirgt, ist dass eine Simulation zu einer kleinen Schrittweite zwar einen geringen Diskretisierungsfehlerergibt, allerdings dafür sehr hohe Rechenkosten. Simulationen mitgroßen Schrittweiten ergeben eine geringere Genauigkeit, dafür aber auch niedrigere Rechenkosten.Die MLMC Methode erreicht nun die Genauigkeit der feinsten Schrittweite,benutzt allerdings größere Schrittweiten, um die Varianz so zu verkleinern, damit geringereRechenkosten entstehen.In diesem Kapitel wird gezeigt, dass die Rechenkosten durch das MLMC Verfahrenvon O(ɛ 3 ) auf O(ɛ 2 (log(ɛ)) 2 ) im Vergleich zur Monte-Carlo Methode bei gleicher Genauigkeitsinken. Dabei wird stets eine lipschitzstetige Auszahlungsfunktion und dasEuler-Maruyama Verfahren zur Simulation des Aktienkurses verwendet.Um die Rechenkosten zu verringern, wird die Auszahlung der Option auf dem feinstenLevel L umgeschriebenE[ ˆP L ] = E[ ˆP ∑0 ] + L E[ ˆP l − ˆP l−1 ]. (3.4)Dabei sei P = f(S(T )) der Wert der Option und ˆP l die entsprechende Approximationzur Schrittweite h l = M −l T . Die Erwartungswerte der Samples ˆP l − ˆP l−1 werden fürl = 1, ..., L unabhängig simuliert. Indem ˆP l und ˆP l−1 jedes Samples aus einem BrownschenPfad errechnet werden, können die Rechenkosten niedrig gehalten werden. Dazuwird ein Pfad zur Schrittweite h l erzeugt und anschließend werden M Inkremente desBrownschen Pfads summiert, um ein Brownsches Inkrement zum Level l−1 zu erhalten.Die richtige Verteilung der Inkremente ist noch nachzuprüfen.Für die Zuwächse der Brownschen Bewegung zum Level l gilt∆W n,l ∼ N(0, h l ) ∼ √ h l Z n für n = 1, ..., T/h l ,wobei Z n N(0, 1) verteilt ist und N die Normalverteilung bezeichnet. Somit folgt fürdas Level l − 1l=1∑∆W m,l−1 = M √hl Z mj für m = 1, ..., T/(h l M)j=1und damit[ ∑ M√ ]E[∆W m,l−1 ] = E hl Z mj = 0,j=1[ ∑ M√ ] ∑ MV ar hl Z mj = h l V ar[Z mj ] = h l M = h l−1 .j=1j=19

Die Inkremente besitzen hiermit die geforderte Verteilung. Aus dem SchätzerŶ l = N −1l∑N li=1(ˆP(i)l−(i) ˆPl−1), für l = 1, ..., L, (3.5)vom Erwartungswert der Samples E[ ˆP l − ˆP l−1 ] und dem SchätzerŶ 0 = N −10∑N 0i=1ˆP (i)0 (3.6)von E[ ˆP 0 ], ergibt sich der Multilevel-SchätzerŶ =L∑Ŷ l ,l=0der E[ ˆP L ] approximiert. N l bezeichnet dabei die Anzahl der Pfadsimulationen des jeweiligenSamples. Für die Varianz der Schätzer Ŷl gilt[V ar[Ŷl] = V arN −1l∑N li=1i=1([ ∑N l= N −2lV ar (= N −1lV l ,ˆP(i)lˆP(i)l−−ˆP(i)l−1 ) ]ˆP(i)l−1 ) ]mit V l = V ar[( ˆP l − ˆP l−1 )] für l = 1, ..., L und V 0 = V ar[ ˆP 0 ]. Daraus ergibt sich dieVarianz des Multilevel-Schätzers[ LV ar[Ŷ ] = V ar ∑ ] ∑Ŷ l = L ∑V ar[Ŷl] = Ll=0l=0l=0N −1lV l . (3.7)Als nächstes soll untersucht werden für welche N l die Varianz minimiert wird, ohne dieRechenkosten zu verändern. Dies führt zu einem Extremwertproblem mit Nebenbedingung.Es wird f(N) = ∑ Ll=0 N −1lV l und g(N) = ∑ Ll=0 N lh −1l− K mit N = (N 0 , ..., N L )gesetzt. Wobei K ∈ R so gewählt wird, dass g(N) = 0 gilt. Dann ist N ein Extrema(vgl. [17], S.225), falls Lagrange-Multiplikatoren λ 0 , ..., λ L ∈ R existieren, mit∇f(N) = λ 0 ∇g 0 (N) + ... + λ L ∇g L (N).N ist also genau dann ein Minimum, wenn10

−V l N −2l= λ l h −1l, für l = 0, ..., L,gilt. Daraus folgt N l = √ λ ′ l V lh l mit λ ′ l = −λ−1 lund somitN l ∼ √ V l h l . (3.8)Zur Betrachtung des Grenzfalls von V l für l → ∞ wird L ≫ 1 gewählt. Weiterhin wirdder Aktienkurs S mit dem Euler-Maruyama Verfahren approximiert, dessen schwacheund starke Konvergenz in den folgenden Abschätzungen verwendet wird und Lipschitzstetigkeitder Auszahlungsfunktion angenommen. Ŝ l,M l bezeichnet die Approximationvon S(T ) zur Schrittweite h l . Nach Satz 2.1.4 giltE[ ˆP l − P ] = O(h l ) und E [ |Ŝl,M − S(T )|2] = O(h l l ). (3.9)Mit der Lipschitzstetigkeit folgtV ar[ ˆP l − P ] = E[( ˆP l − P ) 2 ] − (E[ ˆP l − P ]) 2≤ E[( ˆP l − P ) 2 ]≤ c 2 E[(Ŝl,M − S(T l ))2 ]und somitV ar[ ˆP l − P ] = O(h l ). (3.10)Für die Varianz von ˆP l − ˆP l−1 giltV ar[ ˆP l − ˆP l−1 ] = V ar[( ˆP l − P ) − ( ˆP l−1 − P )]= V ar[ ˆP l − P ] − 2Cov[ ˆP l − P, ˆP l−1 − P ] + V ar[ ˆP l−1 − P ]√≤ V ar[ ˆP l − P ] + 2 V ar[ ˆP l − P ]V ar[ ˆP l−1 − P ] + V ar[ ˆP l−1 − P ]= ( (V ar[ ˆP l − P ]) 1/2 + (V ar[ ˆP l−1 − P ]) 1/2) 2. (3.11)Zusammen mit (3.10) ergibt dies V l = O(h l ). Nach (3.8) muss das optimale N nunproportional zu h l sein. Mit der Wahl von N l = O(ɛ −2 (L + 1)h l ) folgt zusammen mit(3.7) und einer Konstanten KV ar[Ŷ ] = L ∑l=0N −1l∑V l = L (Kɛ −2 (L + 1)h l ) −1 h l = O(ɛ 2 ). (3.12)l=011

Mit der Wahl von L =feinsten Levellog ɛ−1log M+ O(1) und ɛ → 0 folgt für die Schrittweite h L auf demh L = T M −L= T M − (log ɛ −1log M +K )= T elog ɛ−1− log M( log M +K)−(log M)K= T ɛe= O(ɛ),mit einer Konstanten K. Mit (3.9) ist E[ ˆP L − P ] = O(ɛ). Dies ergibt zusammen mit(3.12) und (3.1) ein MSE von O(ɛ 2 ). Und für die Rechenkosten C gilt mit der Wahl vonN l und L, sowie Konstanten c 1 , c 2 und c 3C = N 0 + c 1L∑≈ c 1L∑l=0l=1N l h −1lN l (h −1l+ h −1l−1 )∑ L= c 1 (c 2 ɛ −2 (L + 1)h l )h −1l=0∑ L= c 3 ɛ −2 (L + 1)l=0= c 3 ɛ −2 (L + 1) 2= O(ɛ −2 (log ɛ) 2 ).l12

3.3 KomplexitätstheoremIm Komplexitätstheorem werden die bisherigen Ergebnisse verallgemeinert. Es kann aufAuszahlungsfunktionen, die nicht lipschitzstetig sind, angewandt werden und das Euler-Maruyama Verfahren zur Simulation der Aktienkurse kann duch andere numerischeVerfahren ersetzt werden.Satz 3.3.1 Sei S(T ) die Lösung der SDE (2.1) für einen gegebenen Brownschen PfadW (t). Für eine Funktion f sei P = f(S(T )) und ˆP l die entsprechende Approximation,die aus einem numerischen Diskretisierungsverfahren zur Schrittweite h l = M −l T gewonnenwird.Wenn unabhängige, aus N l Monte-Carlo Simulationen entstandene Schätzer Ŷl und positiveKonstanten α ≥ 1/2, β, c 1 , c 2 , c 3 existieren, sodass gilti) E[ ˆP l − P ] ≤ c 1 h α l⎧⎨E[ ˆP l ], l = 0ii) E[Ŷl] =⎩E[ ˆP l − ˆP l−1 ], l > 0iii) V ar[Ŷl] ≤ c 2 N −1lh β liv) C l , die Rechenkosten von Ŷl, sind beschränkt durchC l ≤ c 3 N l h −1l,dann gibt es eine Konstante c 4 > 0, sodass für jedes ɛ < e −1 Werte L und N l existieren,für die der Multilevel-SchätzerŶ =einenL∑l=0Ŷ lMSE = E[(Ŷ − E[P ])2 ] < ɛ 2besitzt und Rechenkosten⎧c ⎪⎨ 4 ɛ −2 , β > 1,C ≤ c 4 ɛ −2 (log ɛ) 2 , β = 1,1−β ⎪⎩ −2−c 4 ɛ α , 0 < β < 1.13

Beweis: ⌈x⌉ bezeichnet stets die ganze Zahl n für die x ≤ n < x + 1 gilt. Zuerst wirdein L gesucht mit√12M −α ɛ < c 1 h α L ≤ √ 12ɛ. (3.13)WirdL =⌈ √ ⌉log( 2c1 T α ɛ −1 )α log M(3.14)gewählt, so folgt (3.13) mit folgender Umformunglog( √ 2c 1 T α ɛ −1 )α log M=⇒ M −( log(√ 2c 1 T α ɛ −1 )α log M )≤ L < log(√ 2c 1 T α ɛ −1 )α log M+ 1≥ M −L > M −( log(√ 2c 1 T α ɛ −1 )α log M +1)=⇒ e −(α log M)( log(√ 2c 1 T α ɛ −1 )α log M )=⇒ e − log(√ 2c 1 T α ɛ −1 )≥ M −Lα > e −(α log M)( log(√ 2c 1 T α ɛ −1 )+1)α log M(≥ M −Lα > e − log( √ )2c 1 T α ɛ −1 )+log M α=⇒ ( √ 2c 1 T α ɛ −1 ) −1 ≥ M −Lα > ( √ 2c 1 T α ɛ −1 M α ) −1=⇒1√2ɛ ≥ c 1 T α M −Lα > 1 √2ɛM −αh L =M −L T=⇒1√ ɛM −α < c 1 h α L ≤ √ 1 ɛ.2 2Mit diesem Ergebnis lässt sich zusammen mit den Eigenschaften i) und ii) der quadrierteBias abschätzen. Dazu ist eine Fallunterscheidung für L nötig:1.Fall: L = 0(E[Ŷ ] − E[P ])2 = (E[Ŷ0] − E[P ]) 2ii)= (E[ ˆP 0 ] − E[P ]) 2i)≤ (c 1 h α l ) 2(3.13)≤ 1 2 ɛ2 (3.15)14

2.Fall: L > 0(E[Ŷ ] − E[P ])2 =ii)=(E [ ∑L ] ) 2Ŷ l − E[P ]l=0( ∑ LE[ ˆP l − ˆP l−1 ] + E[ ˆP 0 ] − E[P ]l=1= (E[ ˆP L ] − E[P ]) 2i)≤ (c 1 h α l ) 2(3.13)≤12 ɛ2 (3.16)) 2Dieses Ergebnis wird später benötigt, um zusammen mit der Varianz des Multilevel-Schätzers einen MSE kleiner ɛ 2 zu erhalten. AusL∑l=0h −1l=≤≤1T1M −L Th −1LL∑M l = 1 Tl=0L∑l=0M −l ≤ h −1LL∑l=0M L−lL∑lim M −lL→∞l=01= h −1 M1 − M −1 LM − 1(3.17)und(3.13)( ɛ) 1h L > M −1 α√2c1( ɛ) −1=⇒ h −1αL< M √2c1folgt zusammen mit ɛ − 1 α ≤ ɛ −2 für α ≥ 1 2 , ɛ < e−1L∑l=0(h −1l< M 2M−1) −1√ɛα2c1< M 2M−1 (√ 2c 1 ) 1 α ɛ −2 . (3.18)Mit diesem Ergebnis werden die Rechenkosten abgeschätzt. Da die Rechenkosten Cje nach β unterschiedlich sind, ist nun eine Fallunterscheidung für die Werte von βnotwendig.15

1.Fall: β = 1Um einen MSE < ɛ 2 zu erhalten wirdN l = ⌈2ɛ −2 (L + 1)c 2 h l ⌉ (3.19)gesetzt. Damit folgt für die Varianz des Multilevel-Schätzers[ LV ar[Ŷ ] = V ar ∑ ]Ŷ l=iii)≤≤l=0L∑V ar[Ŷl]l=0L∑l=0c 2 N −1lh lL∑c 2 h l (2ɛ −2 (L + 1)c 2 h l ) −1l=0≤ ɛ2 2 .Mit (3.16) und (3.1) folgt nun ein MSE < ɛ 2 . Um eine obere Grenze für die RechenkostenC zu finden, wird zuerst L abgeschätzt, dabei wird 1 < log ɛ −1verwendet,L + 1 (3.14)≤ log(√ 2c 1 T α ɛ −1 )+ 2α log Mlog ɛ −1≤α log M + log(√ 2c 1 T α )α log M + 2(≤ log ɛ −1 1α log M + log(√ 2c 1 T α )α log M log ɛ + 2 )−1 log ɛ −11

Dies führt zu den geforderten Rechenkosten von ŶC≤(iv)≤(3.19)≤L∑l=0L∑l=0L∑l=0C lc 3 N l h −1lc 3 (2ɛ −2 (L + 1)c 2 h l + 1)h −1l≤ c 3(2ɛ −2 (L + 1) 2 c 2 +L∑l=0(3.20)≤ c 3(2ɛ −2 (c 5 log ɛ −1 ) 2 c 2 +)h −1lL∑l=0)h −1l(3.18) (≤ c 3 2ɛ −2 (c 5 log ɛ −1 ) 2 c 2 + M 2)M − 1 (√ 2c 1 ) 1 α ɛ−2(≤ ɛ −2 (log ɛ) 2 2c 2 c 3 c 2 M 2)5 + c 3M − 1 (√ 2c 1 ) 1 α (log ɛ)−2} {{ }=:c 4= c 4 ɛ −2 (log ɛ) 2 .2.Fall: β > 1Nun wird⌉N l =⌈2ɛ −2 c 2 T β−12 (1 − M− β−12 ) −1 h β+12lverwendet. Folgende Abschätzung wird benötigtL∑l=0h β−12l=L∑l=0= T β−12< T β−12(T M −l ) β−12L∑l=0∞∑l=0(M − β−12 )l(M − β−12 )lM≥2,β>1≤ T β−12 (1 − M− β−12 ) −1 . (3.21)17

Damit folgt für die Varianz des Multilevel-SchätzersLV ar[Ŷ ] = V ar[ ∑Ŷ l ]=iii)≤≤≤l=0L∑V ar[Ŷl]l=0L∑l=0c 2 N −1lh β lL∑c 2 h β ll=0(2ɛ −2 c 2 T β−12 (1 − M− β−112 ɛ2 T − β−12 (1 − M− β−12 )L∑l=0h β−12l2 ) −1 h β+12l) −1(3.21)≤ 1 2 ɛ2 . (3.22)Nach (3.1) und (3.16) ergibt sich ein MSE < ɛ 2 . Für die Rechenkosten giltC≤iv)≤≤≤(3.21)≤L∑l=0L∑l=0L∑l=0C lc 3 N l h −1lc 3 h −1l(2ɛ −2 c 2 T β−12 (1 − M− β−12 ) −1 h β+12l+ 1)c 3 (2ɛ −2 c 2 T β−12 (1 − M− β−12 )−1L∑l=0c 3 (2ɛ −2 c 2 (T β−12 (1 − M− β−12 ) −1 ) 2 +h β−12l+L∑l=0L∑l=0h −1l)h −1l)(3.18) (≤ c 3 2ɛ −2 c 2 (T β−12 (1 − M− β−12 ) −1 ) 2 + M 2)M − 1 (√ 2c 1 ) 1 α ɛ−2(≤ ɛ −2 c 3 2c 2 T β−1 (1 − M − β−12 ) −2 + M 2 )M − 1 (√ 2c 1 ) 1 α} {{ }=:c 4≤ c 4 ɛ −2 .18

3.Fall: 0 < β < 1Nun wirdN l =⌈2ɛ −2 c 2 h − 1−β2L(1 − M − 1−β2 ) −1 h 1+β2l⌉(3.23)gewählt, die Vorgehensweise ist analog zu den vorigen Fällen. Zuerst istL∑l=0h − 1−β2l= h − 1−β2Lh l =M −l T= h − 1−β2≤M>2,β

Für die Rechenkosten C giltAus (3.13) folgtC =iv)≤(3.23)≤L∑l=0L∑l=0L∑l=0C lc 3 N l h −1lc 3 h −1l(2ɛ −2 c 2 h − 1−β2L(1 − M − 1−β2 ) −1 h β+12l+ 1)(≤ c 3 2ɛ −2 c 2 h β−1β−12(1 − ML2 ) −1(3.24) (≤ c 3 2ɛ −2 c 2 h β−1β−1(1 − M 2 ) −2 +LL∑l=0h β−12l+L∑l=0)h −1l.L∑l=0h α L > ( √ 2c 1 ) −1 ɛM −α)h −1lβ+1α=⇒

folgen aus dem Komplexitätstheorem die bereits aus Kapitel 3.2 bekannten Rechenkosten.3.4 Erweiterungen3.4.1 Optimales MDieser Abschnitt widmet sich der Wahl des Parameters M, der die Schrittweiten h l =M −l T der jeweiligen Level festlegt. Die folgenden Analysen zielen auf eine Minimierungder Rechenkosten. Weiterhin soll wieder das Euler-Maruyama Verfahren zur Diskretisierungder SDE (2.1) verwendet werden und die Auszahlungsfunktion lipschitzstetig sein,sodass die aus Kapitel 3.2 bereits bekannten Ergebnisse verwendet werden können.Als nächstes werden Schranken für die Varianz des Schätzers Ŷl gesucht. Nach (3.7)bzw. (3.10) ist V ar[Ŷl] = N −1lV l und V ar[P l − P ] ≈ c 0 h l bekannt. Zuerst wird V l =V ar[ ˆP l − ˆP l−1 ] abgeschätztV l = V ar[( ˆP l − P ) − ( ˆP l−1 − P )]= V ar[ ˆP l − P ] + V ar[ ˆP l−1 − P ] − 2Cov[( ˆP l − P ), ( ˆP l−1 − P )]√= V ar[ ˆP l − P ] + V ar[ ˆP l−1 − P ] − 2p V ar[ ˆP l − P ]V ar[ ˆP l−1 − P ]≈c 0 h l + c o h l−1 − 2p √ c 0 h l c o h l−1h l =h l−1 M −1= c 0 h l + c o h l M − 2p √ c 0 h l√co h l M= c 0 h l (1 − 2p √ M + M),wobei p ∈ [−1, 1] die Korrelation bezeichnet. Mit dem Übergang zum Minimum fürp = 1 und dem Maximum für p = −1 folgt(1 − 2 √ M + M)c 0 h l ≤ V l ≤ (1 + 2 √ M + M)c 0 h lbin.F ormel=⇒ ( √ M − 1) 2 c 0 h l ≤ V l ≤ ( √ M + 1) 2 c 0 h l .Zum weiteren Abschätzen wird das geometrische Mittel aus oberer und unterer SchrankegebildetV l≈√ (( √ M − 1) 2 c 0 h l)(( √ M + 1) 2 c 0 h l)= (M − 1)c 0 h l . (3.25)21

Daraus folgt V ar[Ŷl] ≈ N −1l(M − 1)c 0 h l . Weiterhin ist aus Satz 3.3.1 V ar[Ŷl] ≤ c 2 N −1lbekannt. Dies führt zu der Schätzungh lc 2 ≈ (M − 1)c 0und somit nach (3.19) zuN l ≈ 2ɛ 2 (L + 1)(M − 1)c 0 h l .Daraus lassen sich nun die Rechenkosten für jedes Level ableitenC l= N l (h −1l+ h −1l−1 )h −1l−1 =h−1 l M −1= N l h −1l(1 + M −1 )≈ 2ɛ −2 (L + 1)(M − 1)(1 + M −1 )c 0= 2ɛ −2 (L + 1)(M − M −1 )c 0 .3.2f(M)=(M−M −1 )/(log M) 232.82.6f(M)2.42.221.82 4 6 8 10 12 14 16MAbbildung 1: Optimales M (geometrisches Mittel)22

Jetzt können die Gesamtrechenkosten C bestimmt werdenC =L∑l=0C lL∑≈ 2ɛ −2 (L + 1)(M − M −1 )c 0l=0= 2ɛ −2 (L + 1) 2 (M − M −1 )c 0 .Mit der Wahl von L = O(mit f(M) =M−M −1(log M) 2 .log ɛ−1) für ɛ → 0 folgt für die Rechenkostenlog MC ≈ 2ɛ −2 (log ɛ) 2 f(M),In Abbildung 1 ist erkennbar, dass sich das optimale M bei 7 befindet. Der optimale Wertfür M ist allerdings nur als grobe Schätzung verwendbar, denn es reicht in (3.25) anstattdas geometrische, das arithmetische Mittel zu verwenden und bei analoger Rechnung10f(M)=(M+M −1 +2)/(log M) 2987f(M)654322 4 6 8 10 12 14 16MAbbildung 2: Optimales M (arithmetisches Mittel)23

(E[P − ˆPl ] ) 2

=⇒ |E[P − ˆP l ](M − 1)| < 1 √2(M − 1)ɛ=⇒ |E[ ˆP l − ˆP l−1 ]| < 1 √2(M − 1)ɛ. (3.27)Dies ergibt die Konvergenzbedingung. Das aktuell feinste Level L muss also erhöhtwerden, bis der Schätzer ŶL für E[ ˆP l − ˆP l−1 ] diese Bedingung erfüllt, d.h. bis|ŶL| < 1 √2(M − 1)ɛ (3.28)gilt. Damit die beiden feinsten Level die Bedingung (3.27) erfüllen, kann (3.28) durchdie stärkere Bedingungmax ( M −1 |ŶL−1|, |ŶL| ) < 1 √2(M − 1)ɛ (3.29)ersetzt werden. M −1 |ŶL−1| wird verwendet, da aus (3.26)Ŷ L − ŶL−1 ≈ (M − 1)E[P − ˆP L ] − (M − 1)E[P − ˆP L−1 ] folgt und somit ŶL ≈ M −1 Ŷ L−1 .3.4.3 Richardson ExtrapolationDie Richardson Extrapolation Methode eignet sich zur Konvergenzbeschleunigung vorallem dann, wenn eine Problemstellung zwei Diskretisierungen zu unterschiedlichenSchrittweiten erfordert. Indem der Fehler durch seine einzelne Fehlerterme dargestelltwird, ist es mit der Richardson Extrapolationsmethode möglich den Fehler führenderOrdnung zu eliminieren. Angewandt auf die MLMC Methode wird somit der erwarteteFehler E[P − ˆP l ] für l → ∞ von O(h l ) auf O(h 2 l ) gesenkt (vgl. [11], Kapitel 3.3.2). DerSchätzer Ŷ ändert sich dabei zu( ∑ L )Ŷ ll=0+ (M − 1) −1 Ŷ L = M (Ŷ0 +M − 1L∑) (Ŷl ) − M −1 Ŷ l−1 .Der reduzierte Fehler wirkt sich nun auf die Konvergenz aus und mit ähnlichen Rechnungenwie in Kapitel 3.4.2 ergibt sich folgende Konvergenzbedingungl=1|ŶL − 1 M ŶL−1| < 1 √2(M 2 − 1)ɛ. (3.30)Diese kann anstatt der Konvergenzbedingung (3.29) verwendet werden. In Kapitel 5wird für verschiedene Optionstypen geprüft, ob durch Richardson Extrapolation Rechenkosteneingespart werden können.25

4 ImplementierungNun wird gezeigt, wie der Multilevel Monte-Carlo Algorithmus unter Verwendung derbisherigen Ergebnisse implementiert wird.1. Start mit L=02. schätze V l unter Verwendung von N L = 10 4 Samples3. errechne das optimale N ′ l für l = 0, 1, .., L mit Gleichung (4.1)4. falls N ′ l > N l , berechne weitere N ′ l − N l Samples und schätze V l neu für l =0, 1, ..., L5. setze N l = N ′ l6. falls L ≥ 2 führe Konvergenztest (3.29) oder (3.30) durch und falls die entsprechendeBedingung erfüllt ist, breche Algorithmus ab7. falls L < 2 oder falls Konvergenztest aus Schritt 6 nicht erfüllt ist, setze L = L + 1und gehe zu Schritt 2In Schritt 3 soll N l so gewählt werden, dass V ar[Ŷ ] < ɛ2 ist. Die Konvergenzbedingungen2versuchen sicherzustellen, dass (E[P − ˆP L ]) 2 < ɛ2 2ist. Demnach wäre nach (3.1) einMSE < ɛ 2 erreicht.N l =⌈2ɛ √ ( ∑ L √ )⌉−2 V l h l Vl /h l (4.1)erfüllt die Bedingung, dies lässt sich mit Gleichung (3.7) bestätigen, demnach istl=0V ar[Ŷ ] =L∑l=0N −1lV lund somit giltLV ar[Ŷ ] ≤ ∑ (V l 2ɛ −2√ ( ∑ L√ −1V l h l (Vl /h l )))l=0l=026

(= ɛ2 ∑ L ( ∑ L√ −1 )V l (V l h l ) − 1 2 (Vl /h l ))2l=0l=0(= ɛ2 ∑ L√ )( ∑ L√ −1Vl /h l (Vl /h l ))2l=0l=0= ɛ2 2 .Weiterhin werden die Rechenkosten C benötigt, diese ergeben sich nach Kapitel 3.2durchC = N 0 +L∑l=1N l (h −1l+ h −1l−1 ).Um die Multilevel Monte-Carlo Methode mit der Monte-Carlo Methode vergleichen zukönnen wird das entsprechende N l aus Schritt 3 für das Monte-Carlo Verfahren benötigt,deswegen wirdN l = 2ɛ −2 V ar[ ˆP l ] (4.2)gesetzt. Eine kurze Rechnung zeigt, dass auch hier die gewünschte Schranke von ɛ2 2die Varianz erreicht wirdfürV ar[Ŷ ] = V ar [ L∑( 1 ∑N lN ll=0 i=1∑ Nll=0 i=1[ ∑ L= V ar ∑ Ll=0 N l)]ˆP (i)lˆP(i)l]=∑ L ∑ Nl(i)l=0 i=1V ar[ ˆPl]( ∑L 2l=0 l) N=∑ Ll=0 N lV ar[ ˆP l ]( ∑Ll=0 N l) 2(4.2)= 1 2 ɛ2 ∑ Ll=0 N 2 l( ∑Ll=0 N l) 2≤ 1 2 ɛ2 .} {{ }≤1Und für die Rechenkosten C gilt bei der Monte-Carlo Methode C = L ∑27l=0N l h −1l.

Die Vorgehensweise bei der Implementierung der MC Methode ist nun ähnlich. Anstattder Samples ˆP l − ˆP l−1 werden nun die Payoffs ˆP l zu jedem Level berechnet, bis diemodifizierten Konvergenzbedingungen erfüllt sind.Die Konvergenzbedingung ohne Richardson Extrapolation wird angepasst zu()max M −1 |ŶL−1 − ŶL−2|, |ŶL − ŶL−1|≤ 1 √2(M − 1)ɛund mit Richardson Extrapolation zu|(ŶL − ŶL−1) − M −1 (ŶL−1 − ŶL−2)| ≤ 1 √2(M 2 − 1)ɛ.Zu beachten ist, dass es sich hierbei um einen heuristischen Algorithmus handelt. Denndie Schwachstelle des MLMC Algorithmus ist, dass die Konstanten c 1 und c 2 (sieheKomplexitätstheorem) erst im Algorithmus geschätzt werden. Nach (3.1) setzt sich derMSE aus dem quadrierten Bias und der Varianz des Schätzers Ŷ zusammen. Oben wurdezwar gezeigt, dass die Varianz die geforderte Schranke von ɛ2 erfüllt. Für den quadrierten2Bias ist dies allerdings nicht sicher. Somit ist ein MSE der Größe O(ɛ 2 ) nicht garantiert.28

5 Numerische ErgebnisseDie Multilevel Monte-Carlo Methode wird nun mit der Monte-Carlo Methode verglichen,indem verschiedene Optionstypen mit beiden Verfahren numerisch bewertet werden.Dabei wird das Euler-Maruyama Verfahren zur Diskretisierung der Black Scholes SDEverwendet. Im Black Scholes Modell wird der Drift µ der risikolosen Zinsrate gleichgesetzt,sodass nach Satz 2.2.2 der faire Optionspreis der diskontierten Auszahlung entspricht.Der Parameter M, wurde wie bereits in Kapitel 3.4.1 erwähnt, gleich 4 gesetzt.5.1 Europäische OptionZuerst werden beide Methoden anhand einer europäischen Option mit einjähriger Laufzeitverglichen. Die diskontierte Auszahlungsfunktion dazu istP = exp(−r) max(0, S(1) − K).Der Kassapreis der Aktie sei S(0) = 1, der Ausübungspreis K = 1, die Volatilitätσ = 0.2 und die risikolose Zinsrate r = 0.05.In Abbildung 3 sind die numerischen Resultate der beiden Methoden gegenübergestellt.Im linken oberen Plot wird der Logarithmus (zur Basis M) von der Varianz der SamplesˆP l − ˆP l−1 bzw. der Payoffs ˆP l gegenüber den einzelnen Level dargestellt. Der Graph derSamples zeigt eine Steigung von -1 und auslog M (V ar[ ˆP l − ˆP l−1 ]) − log M (V ar[ ˆP 0 ])= −1l( V ar[ ˆPl −⇔ log ˆP l−1 ])MV ar[ ˆP= −l0 ]( )⇔M log MV ar[ ˆP l − ˆP l−1 ]V ar[ ˆP 0 ]= M −l⇔ V ar[ ˆP l − ˆP l−1 ] = M −l V ar[ ˆP 0 ]folgt mit M −l = h l eine zu h l proportionale Varianz. Dies stimmt mit den theoretischenErgebnissen überein. In Kapitel 3 wurde V ar[ ˆP l − ˆP l−1 ] = O(h l ) ermittelt. Die Varianzder Samples ˆP l − ˆP l−1 beim MLMC Verfahren ist für das Level l = 2 bereits 200 malkleiner als die Varianz von ˆP l beim Monte-Carlo Verfahren und zum Level l = 3 sogar800 mal.29

Abbildung 3: Europäische OptionDer mittlere obere Plot stellt den Logarithmus vom Erwartungswert der Samples bzw.der Payoffs zu den einzelnen Level dar. Die Steigung des Graphen der Samples ˆP l − ˆP l−1von ungefähr -1 deutet mit einer ähnlichen Rechnung wie für die Varianz wieder aufeine O(h l ) Konvergenz von E[ ˆP l − ˆP l−1 ] hin. Dies impliziert mit (3.26) eine schwacheKonvergenz der Ordnung 1 und entspricht den Ergebnissen aus Kapitel 3. Der GraphŶ l − Ŷl−1/M zu der MLMC Methode mit Richardson Extrapolation zeigt nochmals einedeutliche Verbesserung. So wird beinahe eine aus Kapitel 3.4.3 erwartete schwacheKonvergenz der Ordnung 2 erreicht.Im rechten oberen Plot wird die Anzahl der benötigten Samples zu den einzelnen Levelfür verschiedene Werte von ɛ abgebildet, die bei der MLMC Methode nötig waren um dieKonvergenzbedingung (3.29) zu erfüllen. Für jedes Level nimmt die Anzahl der notwendigenSimulationen mit kleiner werdendem ɛ zu und für jedes ɛ werden mit steigendemLevel weniger Samples benötigt.Im linken unteren Plot werden die Rechenkosten verglichen. Dazu wird ɛ 2 C mit ɛ ins30

Verhältnis gesetzt. Es ist erkennbar, dass für das MLMC Verfahren bei gleicher geforderterGenauigkeit deutlich weniger Rechnungen als für die MC Methode notwendigsind und dass die Richardson Extrapolation bei beiden Verfahren eine Verbesserungab ɛ = 0.0002 erbringt. Für ɛ = 0.00015 benötigt die MC Methode mit RichardsonExtrapolation, 10 mal soviele Berechnungen wie die MLMC Methode. Ohne RichardsonExtrapolation sind es sogar 25 mal soviele Rechnungen. Der starke Anstieg beiɛ = 0.0005 wird von der Erhöhung der benötigten Level ab ɛ = 0.0002 verursacht. Fürɛ = 0.0005 waren bei den Berechnungen nur 3 Level nötig, bei ɛ = 0.0002 bereits 4 Level.Im mittleren unteren Plot sind die reinen Rechenkosten zur geforderten Genauigkeit ɛabgebildet.Der Wert dieser Option auf vier Nachkommastellen gerundet, ist 0.1045. Der mit derMLMC Methode approximierte Optionswert lag bei 0.1044 für ɛ = 0.00015. Wie bereitsin Kapitel 4 erwähnt, ist nicht garantiert, dass dieser Algorithmus die geforderte Genauigkeiterbringt. Daher ist es wichtig, die Verlässlichkeit der Ergebnisse zu überprüfen.Dazu wird der root mean square error (RMSE) mit der geforderten Genauigkeit ɛ verglichen.Um den MSE zu bestimmen wird Gleichung (3.1) verwendet und nach (3.26)kann ( E[Ŷ − Y ]) 2 (durch E[ ˆPL − ˆP L−1 ]/(M − 1) ) 2bzw. unter Verwendung der RichardsonExtrapolation durch ( E[ ˆP L − ˆP L−1 ]/(M 2 − 1) ) 2(vgl. [11]) abgeschätzt werden. DerRMSE/ɛ befand sich bei der MLMC Methode für alle Werte von ɛ bei 0.7. Auch mitRichardson Extrapolation scheinen die Ergebnisse verlässlich. Der RMSE/ɛ lag auchhier bei 0.7.5.2 Asiatische OptionIn diesem Kapitel wird eine asiatische Option betrachtet. Die diskontierte Auszahlungsfunktionist gegeben durchP = exp(−r) max(0, S − K),wobei S = ∫ 1S(t)dt durch S 0 l = ∑ N l 1n=1+ Ŝn−1)hl approximiert wird. Wie bei2(Ŝnder europäischen Option sei wieder S(0) = 1, K = 1, σ = 0.2 und r = 0.05.Die drei oberen Plots in Abbildung 4 zeigen ähnliche Ergebnisse wie die der europäischenOption. Im linken oberen Plot weist der Graph der Samples ˆP l − ˆP l−1 sogar eine Steigungvon -1.65 auf, dies deutet bzgl. der Varianz eine schnellere Konvergenz als O(h l ) an. Beil = 3 ist die Varianz der Samples 400 mal kleiner als die Varianz der Payoffs. Auchbeim Graph der Samples im mittlerem oberen Plot ist eine Steigung von -1.65 gegeben,31

Abbildung 4: Asiatische Optionsodass das MLMC Verfahren in diesem Beispiel eine schwache Konvergenz von größererOrdnung als 1 besitzt.Im unteren linken Plot wird wieder deutlich, dass die MLMC Methode weniger Rechnungenbenötigt, als die MC Methode. Ohne Richardson Extrapolation, ist bei der MCMethode der Rechenaufwand 10 mal so hoch wie bei der MLMC Methode, bei einergeforderten Genauigkeit von ɛ = 0.00015. Mit Richardson Extrapolation scheint eineReduzierung der Rechenkosten einzutreten, allerdings wurde die in Kapitel 3 errechneteO(h 2 l ) Konvergenz (siehe mittlerer oberer Plot) des erwarteten Fehlers nicht erreicht.Deswegen sind die Ergebnisse zu hinterfragen, da die im Algorithmus verwendete Konvergenzbedingungauf dieser Konvergenzgeschwindigkeit aufbaut. Im mittleren unterenPlot ist wieder ein Gesamtüberblick über den Rechenaufwand gegeben.Der genaue Wert dieser Option beträgt auf vier Nachkommastellen gerundet 0.0576. Fürɛ = 0.00015 simulierte die MLMC Methode einen Optionswert von 0.0574. Der RMSE/ɛliegt zwischen 0.68 und 0.79 mit, sowie ohne Richardson Extrapolation.32

5.3 Multi-Asset OptionenIm Folgenden wird die Multilevel Monte-Carlo Methode bzgl. Multi-Asset Optionengetestet. Dazu werden zwei verschiedene Optionen betrachtet.5.3.1 Geometrischer BasketZuerst wird ein geometrischer Basket mit einjähriger Laufzeit beobachtet. Die Auszahlungsfunktiondieser Option ist(P = exp(−r) max 0,( 3∏i=1) 1 )3S i (1) − K .Die risikolose Zinsrate sei r = 0.05, der Ausübungspreis K = 1 und die KassapreiseS i = 1 für i = 1, 2, 3. Die zugehörigen Volatilitäten betragen σ 1 = 0.1, σ 2 = 0.15 undσ 3 = 0.2. Die Korrelation der Brownschen Bewegungen sei jeweils 0.25.log MVarianz0−2−4−6−8log MErwartungswert−10P −P l l−1−10P lP lY −Y /M l l−1−120 1 2 3−120 1 2 3ll0−2−4−6−8P l−P l−1N leps=0.00110 8 eps=0.0005eps=0.0002eps=0.000110 610 40 1 2 3leps 2 *Kosten10 010 −110 −210 −310 1 epsMLMCMLMC extMCMC extKosten10 10 eps10 810 6MLMCMLMC extMCMC ext10 −4 10 −310 −4 10 −3Abbildung 5: Geometrischer Basket33

Im linken oberen Plot in Abbildung 5 ist wieder der Logarithmus von der Varianz derSamples ˆP l − ˆP l−1 bzw. der Payoffs ˆP l gegenüber den einzelnen Level dargestellt. DieSteigung des Graphen der Samples beträgt -1, sodass V ar[ ˆP l − ˆP l−1 ] = O(h l ) folgt. Beil = 2 ist die Varianz der Samples bereits 360 mal kleiner als die Varianz der Payoffs.In der mittleren oberen Grafik ist der Logarithmus vom Erwartungswert der Samplesbzw. der Payoffs gegenüber den Levels geplottet. Der Graph der Samples weist eineSteigung von -1 auf. Daraus folgt E[ ˆP l − ˆP l−1 ] = O(h l ) und eine schwache Konvergenzder Ordnung 1.Der rechte obere Plot zeigt ähnliche Ergebnisse wie die vorigen Beispiele. In den unterenPlots sind die Rechenkosten dargestellt. Die MLMC Methode reduziert den Rechenaufwandgegenüber der MC Methode bei ɛ = 0.0001 um den Faktor 45. Für die MLMCMethode ergeben sich auf diesem Genauigkeitslevel keine weiteren Vorteile durch RichardsonExtrapolation. Bei einer geforderten Genauigkeit von ɛ = 0.0001 errechnetedie MLMC Methode einen Optionswert von 0.0665. Ohne Richardson Extrapolationdeutet ein RMSE/ɛ zwischen 0.70 und 0.89 verlässliche Ergebnisse an.5.3.2 Arithmetischer BasketAls zweite Multi-Asset Option wird ein arithmetischer Basket betrachtet, dessen Auszahlungsfunktiondurch( 1P = exp(−r) max33∑i=1)S i (1) − K, 0gegeben ist. Die Eingabeparameter sind identisch zum geometrischen Basket, allerdingswird jetzt eine Korrelation der Brownschen Bewegungen von -0.25 angenommen.Die numerischen Ergebnisse sind in Abbildung 6 wiedergegeben. Der linke obere Plotzeigt, wie bereits im letzten Beispiel, eine Steigung der Samples von -1, dies führt zuV ar[ ˆP l − ˆP l−1 ] = O(h l ). Der Graph der Samples in der mittleren oberen Grafik weisteine Steigung von -1 auf und somit folgt eine schwache Konvergenz von O(h l ). DurchRichardson Extrapolation wird keine Verbesserung der schwachen Konvergenz bewirkt.Somit sind die Ergebnisse bzgl. Richardson Extrapolation nicht verlässlich, da die erwarteteKonvergenzgeschwindigkeit von O(h 2 l ) nicht erreicht wird.In den unteren Plots ist zu erkennen, dass die MLMC Methode den Rechenaufwanddeutlich reduziert. Durch Richardson Extrapolation kann dieser nochmals verringertwerden. Ohne Richardson Extrapolation benötigt das MC Verfahren, bei einer gefordertenGenauigkeit von ɛ = 0.0001, 20 mal mehr Rechnungen als das MLMC Verfahren.34

log MVarianz0−2−4−6−8P−10l−P l−1P l−120 1 2 3llog MErwartungswert0−2−4−6−8−10P l−P l−1P lY l−Y l−1/M−120 1 2 3lN leps=0.00110 8 eps=0.0005eps=0.0002eps=0.000110 610 40 1 2 3leps 2 *Kosten10 010 −110 −210 −310 1 epsMLMCMLMC extMCMC extKosten10 10 eps10 810 6MLMCMLMC extMCMC ext10 −4 10 −310 −4 10 −3Abbildung 6: Arithmetischer BasketMit Richardson Extrapolation betragen die Rechenkosten noch das 8-fache der MLMCMethode.Der ermittelte approximierte Optionspreis liegt bei 0.0571. Ohne Richardson Extrapolationbefindet sich der RMSE/ɛ zwischen 0.71 und 0.79.5.4 Heston stochastic volatility ModelAls letztes wird dieselbe europäische Option wie in 5.1 betrachtet. Anstatt der BlackScholes SDE folgt der Aktienkurs allerdings diesmal dem Heston Model (vgl. [12])dS = rSdt + √ V SdW 1 , 0 < t < 1,dV = λ(σ 2 − V )dt + ξ √ V dW 2 .35

Die Eingabeparameter sind S(0) = 1, r = 0.05, σ = 0.2, K = 1, V (0) = 0.04, λ = 5, ξ =0.25 und p = −0.5, wobei p die Korrelation der beiden Brownschen Bewegungen W 1und W 2 bezeichnet.Um die Genauigkeit und die Varianz zu verbessern (vgl. [14]), wird eine weitere VariableQ = e λt (V − σ 2 )eingeführt. Anschließend werden die SDE’s von Q und S mit dem Euler-MaruyamaVerfahren diskretisiert (vgl. [14] und [5]). Daraus ergeben sich die GleichungenŜ n+1 = Ŝn + rŜnh +√ˆV +n Ŝn∆W 1,n ,ˆV n+1 = σ 2 + e −λh (( ˆV n − σ 2 ) + ξ√ˆV +n ∆W 2,n).Wobei zu beachten ist, dass √ V durch √ V n+ = √ max(V, 0) ersetzt wurde. Für diegewählten Parameter λ, ξ und σ liegt allerdings die Wahrscheinlichkeit, dass eine negativeVolatilität im Diskretisierungsverfahren vorkommt, bei 0 für h → 0. Der Beweishierzu ist aufwändig, daher wird an dieser Stelle nur auf [14] verwiesen.In Abbildung 7 sind nun die numerischen Ergebnisse dargestellt. So lässt sich zwar aufdiesem Genauigkeitslevel (ɛ = 0.0002) über die Varianz kaum eine Aussage treffen, allerdingsweist der Graph des Erwartungswertes der Samples eine Steigung von -1.35 auf,sodass dies eine schwache Konvergenz schneller als O(h l ) andeutet.Der obere rechte Plot zeigt wieder ähnliche Ergebnisse wie zuvor. Anhand des unterenlinken Plots ist zu erkennen, dass ohne Richardson Extrapolation die MC Methode 12mal soviele Rechnungen benötigt wie die MLMC Methode, bei einer geforderten Genauigkeitvon ɛ = 0.0002.Die Verwendung der Richardson Extrapolation scheint zwar eine Reduzierung der Rechenkostenzu bewirken, allerdings wurde in der Konvergenzbedingung des Algorithmusangenommen, dass der verbleibende Fehler nach Richardson Extrapolation der Ordnung2 entspricht. Dies konnte im mittleren oberen Plot nicht bestätigt werden. OhneRichardson Extrapolation deutet ein RMSE/ɛ von ca. 0.7 verlässliche Ergebnisse an. Alsapproximierter Optionswert, bei einer geforderten Genauigkeit von ɛ = 0.0002, ergibtsich mit der MLMC Methode 0.1044.36

Abbildung 7: Europäische Option mit Heston Model37

6 Schlussbetrachtungen und AusblickZiel dieser Arbeit war es zu zeigen, dass die Multilevel Monte-Carlo Methode eine Verbesserunggegenüber der Standard Monte-Carlo Methode bzgl. Multi-Asset Optionenbewirkt. Die Ergebnisse in Kapitel 5.3 zeigen dies deutlich. Der Rechenaufwand konnteteilweise auf ein zwangzigstel reduziert werden. Auch die Verlässlichkeit der Ergebnissescheint gewährt, da ein RMSE/ɛ deutlich kleiner 1 für alle Genauigkeiten erzielt wurde.Um die Effizienz der MLMC Methode für Multi-Asset Optionen testen zu können,waren allerdings die Ergebnisse aus Kapitel 3 nötig. Zuerst wurden in Kapitel 3.1 und3.2 die wesentlichen Merkmale des MLMC Verfahrens erfasst, sodass schließlich die Rechenkostenabschätzbar waren. Unter Verwendung des Euler-Maruyama Verfahrens undeiner lipschitzstetigen Auszahlungsfunktion wurde eine schwache Konvergenz der Ordnung1 ermittelt. Die numerischen Resultate für europäische, asiatische und Multi-AssetOptionen bestätigten diese Konvergenzordnung oder zeigten sogar bessere Konvergenzeigenschaften.Auch für die Varianz der Samples stimmten die theoretischen Ergebnisseaus Kapitel 3 mit den numerischen Resultaten in Kapitel 5 überein. Anschließend wurdenim Komplexitätstheorem die Aussagen verallgemeinert. Kapitel 3.4 stellte dann eineKonvergenzbedingung für den späteren Algorithmus auf, indem der Fehler abgeschätztwurde. Weiterhin wurde untersucht, ob durch Richardson Extrapolation der Rechenaufwandreduziert wird. Allerdings konnte nur bei dem Beispiel zur europäischen Option mitverlässlichen Ergebnissen gezeigt werden, dass die Rechenkosten sinken. Bei den restlichenBeispielen fand zwar meistens eine Verbesserung statt, aber die Verlässlichkeit derErgebnisse konnte nicht bestätigt werden. Ohne Verwendung der Richardson Extrapolationwurde allerdings für alle untersuchten Optionsarten gezeigt, dass der MultilevelMonte-Carlo Algorithmus effizient und verlässlich bzgl. der geforderten Genauigkeit istund die Rechenkosten gegenüber der Monte-Carlo Methode stets bedeutend sinken.In dieser Arbeit wurde stets das Euler Maruyama Verfahren zur Diskretisierung desAktienkurses verwendet. Dass Komplexitätstheorem zeigt, dass durch Verwendung einesDiskretisierungsverfahrens mit besseren Konvergenzeigenschaften die Rechenkosten aufO(ɛ 2 ) reduzierbar sind. Die Milstein Diskretisierung bewirkt diesen Effekt (vgl. [6] und[7]). Eine weitere Möglichkeit die Multilevel Monte-Carlo Methode zu verbessern, istdie Verwendung von Quasi-Zufallszahlen. So ist es möglich, durch Kombination mit derQuasi-Monte-Carlo Methode, den Rechenaufwand weiter zu reduzieren (vgl. [8]).Bisher wurde die MLMC Methode nur für wenige Optionen getestet. Die Monte-CarloMethode besitzt allerdings gerade in der Vielfältigkeit ihre Stärke. Sie ist in der Lage38

mit wenigen Veränderungen in der Auszahlungsfunktion jeden Optionstyp zu bewerten.Daher wird ein Vergleich der MLMC Methode mit der Standard MC Methode für weitereOptionen sehr interessant sein.39

AAnhang: ProgrammcodesIm Folgenden ist der Programmcode des MLMC Algorithmus zur Bewertung einer europäischenOption in Matlab gegeben. Zur Bewertung anderer Optionen muss lediglichdie Auszahlungsfunktion angepasst werden. Soll die Richardson-Extrapolations Methodezur Konvergenzbeschleunigung verwendet werden, ist nur die Konvergenzbedingungzu ändern. Zuerst wird das Hauptprogramm angegeben und anschließend die verwendetenUnterprogramme.’Hauptprogramm mlmcfunction Wert = mlmc(S0, SP, T, M, mu, sigma, eps)’Eingabeparameter:’SO=Kassapreis’SP =Ausübungspreis’T =Laufzeit’M=Paramter M (siehe Kapitel 3.4.2)’mu = Drift bzw. risikoloser Zinssatz’sigma = Volatilität’eps = geforderte Genauigkeit (siehe MSE)’Ausgabe: Wert = Preis der Option’Der Fall L = 1 muss gesondert behandelt werden, da anstatt Samples’P l − P l−1 Payoffs P l berechnet werden.’Zuerst werden 10000 Samples berechnet, mlmceulerauswertung2 ist dabei’eine Unterfunktion zur Auswertung von P 0 .N(1) = 10000;for i = 1 : N(1)y = mlmceulerauswertung2(S0, SP, T, mu, sigma);X(1, i) = y(1);end’ Berechnung der VarianzV (1)=var(X(1, 1 : N(1)));’Berechnung des optimalen N lh(1) = T ;s = sqrt(V (1)/h(1));Nneu(1) = ceil(2 ∗ sqrt(V (1) ∗ h(1)) ∗ s/eps 2 );40

’Berechnung weiterer Samplesif Nneu(1) > N(1)for i = 10001 : Nneu(1)y = mlmceulerauswertung2(S0, SP, T, mu, sigma);X(1, i) = y(1);endV (1)=var(X(1, 1 : Nneu(1)));elseendN(1) = Nneu(1);’Die Variable K wird nur verwendet um den Algorithmus abzubrechen, falls’die Konvergenzbedingung erfüllt ist.K = 0;L = 2;while (K < 1)N(L) = 10000;’mlmceulerauswertung ist eine Unterfunktion zur Auswertung von’P L − P L−1 , y(1) enstpricht P L und y(2) enstpricht P L−1 .for i = 1 : N(L)y = mlmceulerauswertung(S0, SP, T, M, L, mu, sigma);X(L, i) = y(1) − y(2);endV (L)=var(X(L, 1 : N(L)));h(L) = M −L+1 ∗ T ;s = 0;for l = 1 : Ls = s + sqrt(V (l)/h(l));endfor l = 1 : LNneu(l) = ceil(2 ∗ sqrt(V (l) ∗ h(l)) ∗ s/eps 2 );’Berechnung weiterer Samples falls nötigif (Nneu(l) > N(l) and Nneu(l) > 10000)if l < 2for i=max(10001, N(l) + 1) : Nneu(l)y = mlmceulerauswertung2(S0, SP, T, mu, sigma);41

X(l, i) = y(1);endelsefor i=max(10001, N(l) + 1) : Nneu(l)y = mlmceulerauswertung(S0, SP, T, M, l, mu, sigma);X(l, i) = y(1) − y(2);endendV (l)=var(X(l, 1 : Nneu(l)));elseendN(l) = Nneu(l);end’Berechnung der einfachen Schätzer Y (L) und Y (L − 1) für’den Konvergenztestif L > 2for l = L − 1 : LY (l)=mean(X(l, 1 : N(l)));end’Konvergenztest ohne Richardson Extrapolationif max((1/M)∗abs(Y (L − 1)),abs(Y (L))) < (1/sqrt(2)) ∗ (M − 1) ∗ epsK = 2; ’Abbruchsbedingung (siehe while-Schleife)breakelseL = L + 1;endelseL = L + 1;endend’Berechnung des Optionswerts mit den zuvor berechneten SamplesWert=0;for l = 1 : Lm(l)=mean(X(l, 1 : N(l)));Wert=Wert+m(l);42

end’Berechnung der Rechenkostenqq = 0;for l = 2 : Lqq = qq + N(l) ∗ (M (l−1) + M (l−2) );end’Zur Anzeige der Kosten*epsilon 2Kosten=(N(1) + qq) ∗ eps 2’Zur Anzeige der benötigten Samples zu jedem LevelN’Zur Anzeige des Logarithmus zur Basis 4 vom Erwartungswert der SamplesErwartungswert=log4(m)’Zur Anzeige des Logarithmus zur Basis 4 von der Varianz der SamplesVarianz=log4(V );’Bemerkung: log4 ist eine weitere Unterfunktion, die den Logarithmus zur’Basis 4 berechnet.’Unterprogramm mlmceulerauswertung2’Berechnet den Optionswert zum ersten Level.function y = mlmceulerauswertung2(S0, K, T, mu, sigma)r = mu;G1 = 0;G1=sqrt(T ).∗randn; ’Generierung von Zufallszahlenq1 = S0;’Der Aktienkurs wird mit dem Euler-Maruyma Verfahren diskretisiert.q1 = q1 + mu ∗ T ∗ q1 + sigma ∗ G1 ∗ q1;y(1)=exp(−r ∗ T )∗max(0, q1 − K);’Unterprogramm mlmceulerauswertungfunction y = mlmceulerauswertung(S0, K, T, M, l, mu, sigma)r = mu;h1 = M −l+1 ∗ T ; ’Schrittweite zum Level Lh2 = M −l+2 ∗ T ; ’Schrittweite zum Level L-1n1 = T/h1;43

n2 = T/h2;G1 = 0;G2 = 0;G1=sqrt(h1).∗randn(1,n1); ’Generierung von Zufallszahlen’Aufsummieren von M Brownschen Inkremente des Levels Lfor k = 1 : M l−2G2(1, k) = 0;for i = 1 : MG2(1, k) = G1(1, i + (k − 1) ∗ M) + G2(1, k);endend’Berechnung der Optionswerte zu den Level l und l − 1q1 = S0;q2 = S0;for k = 1 : n1q1 = q1 + mu ∗ h1 ∗ q1 + sigma ∗ G1(1, k) ∗ q1;endy(1)=exp(−r ∗ T )∗max(0, q1 − K);for k = 1 : n2q2 = q2 + mu ∗ h2 ∗ q2 + sigma ∗ G2(1, k) ∗ q2;endy(2)=exp(−r ∗ T )∗max(0, q2 − K);44

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