Multilevel Monte-Carlo Simulationsverfahren mit ... - G-CSC Home

Schrittweiten h l = M −l T, l = 0, 1, ..., L, verwendet, wobei M ≥ 2 gewählt wird. WelcheM empfehlenswert sind, wird später in Kapitel 3.4.1 gezeigt. Die Idee, die sich dahinterverbirgt, ist dass eine Simulation zu einer kleinen Schrittweite zwar einen geringen Diskretisierungsfehlerergibt, allerdings dafür sehr hohe Rechenkosten. Simulationen mitgroßen Schrittweiten ergeben eine geringere Genauigkeit, dafür aber auch niedrigere Rechenkosten.Die MLMC Methode erreicht nun die Genauigkeit der feinsten Schrittweite,benutzt allerdings größere Schrittweiten, um die Varianz so zu verkleinern, damit geringereRechenkosten entstehen.In diesem Kapitel wird gezeigt, dass die Rechenkosten durch das MLMC Verfahrenvon O(ɛ 3 ) auf O(ɛ 2 (log(ɛ)) 2 ) im Vergleich zur Monte-Carlo Methode bei gleicher Genauigkeitsinken. Dabei wird stets eine lipschitzstetige Auszahlungsfunktion und dasEuler-Maruyama Verfahren zur Simulation des Aktienkurses verwendet.Um die Rechenkosten zu verringern, wird die Auszahlung der Option auf dem feinstenLevel L umgeschriebenE[ ˆP L ] = E[ ˆP ∑0 ] + L E[ ˆP l − ˆP l−1 ]. (3.4)Dabei sei P = f(S(T )) der Wert der Option und ˆP l die entsprechende Approximationzur Schrittweite h l = M −l T . Die Erwartungswerte der Samples ˆP l − ˆP l−1 werden fürl = 1, ..., L unabhängig simuliert. Indem ˆP l und ˆP l−1 jedes Samples aus einem BrownschenPfad errechnet werden, können die Rechenkosten niedrig gehalten werden. Dazuwird ein Pfad zur Schrittweite h l erzeugt und anschließend werden M Inkremente desBrownschen Pfads summiert, um ein Brownsches Inkrement zum Level l−1 zu erhalten.Die richtige Verteilung der Inkremente ist noch nachzuprüfen.Für die Zuwächse der Brownschen Bewegung zum Level l gilt∆W n,l ∼ N(0, h l ) ∼ √ h l Z n für n = 1, ..., T/h l ,wobei Z n N(0, 1) verteilt ist und N die Normalverteilung bezeichnet. Somit folgt fürdas Level l − 1l=1∑∆W m,l−1 = M √hl Z mj für m = 1, ..., T/(h l M)j=1und damit[ ∑ M√ ]E[∆W m,l−1 ] = E hl Z mj = 0,j=1[ ∑ M√ ] ∑ MV ar hl Z mj = h l V ar[Z mj ] = h l M = h l−1 .j=1j=19