Multilevel Monte-Carlo Simulationsverfahren mit ... - G-CSC Home

Definition 2.1.3 (Schwache Konvergenz) Ein numerisches Verfahren zur Lösungeiner SDE konvergiert schwach mit Ordnung β > 0, falls für alle Polynome Pmax |E[P (Ŝ(t n))] − E[P (S(t n ))]| ≤ C T,P h βngilt, mit einer von h unabhängigen Konstanten C T,P .Bei beiden Definitionen bezeichnet Ŝ(t n) die numerische Approximation zur Schrittweiteh.Satz 2.1.4 (Konvergenz des Euler-Maruyama Verfahrens) Gilt für die Funktionena(S, t) und b(S, t) aus (2.1) mit Konstanten K 1 , K 2 , K 3 , K 41. |a(x, t) + a(y, t)| + |b(x, t) + b(y, t)| ≤ K 1 |x − y|,2. |a(x, t)| + |b(x, t)| ≤ K 2 (1 + |x|),3. |a(x, s) − a(x, t)| + |b(x, s) − b(x, t)| ≤ K 3 (1 + |x|)|s − t| 1/2 ,4. a, b ∈ C (2+ɛ) für ein ɛ > 0 (mehr als 2-mal differenzierbar),dann existiert eine eindeutige Lösung der SDE (2.1) und das Euler-Maruyama Verfahrenkonvergiert stark mit Ordnung 1/2 und schwach mit Ordnung 1.Beweis: [15], Theorem 10.2.2 und 14.1.52.2 Grundlagen der OptionsbewertungEs folgen benötigte Grundlagen aus der Optionsbewertung.Definition 2.2.1 (Äquivalentes Martingalmaß) Als äquivalentes Martingalmaß P ∗zur Wahrscheinlichkeitsverteilung P von S(t) wird das Wahrscheinlichkeitsmaß bezeichnet,für dase −r∆t E ∗ [S(t + ∆t)] = S(t)gilt, wobei r der risikolosen Zinsrate entspricht.Satz 2.2.2 Für eine Option die nur zum Endzeitpunkt T ausgeübt werden kann, ergibtsich der faire Preis unter dem äquivalenten Martingalmaß durchV (S, 0) = e −rT E ∗ [V (S, T )], (2.3)4