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und der Varianz bestimmt. Für die Varianz von Ŷ giltV ar[Ŷ ] = V ar [N −1= N −2 N∑i=1≤ c 1 N −1 ,N∑i=1]f(Ŝ(i) T/h )V ar[f(Ŝ(i) T/h )]mit c 1 = sup h∈(0,1] V ar[f(Ŝ(i) T/h)]. Für den quadrierten Bias gilt mit der schwachen Konvergenzdes Euler-Maruyama Verfahrens, welches in diesem Kapitel stets zur Approximationdes Aktienkurses verwendet wird und der Voraussetzung einer lipschitzstetigenAuszahlungsfunktion,NE[Y − Ŷ ] = NE [f(S(T )) − N −1[= E Nf(S(T )) −N∑i=1N∑i=1]f(Ŝ(i) T/h )]f(Ŝ(i) T/h )()≤ N sup E[|f(S(T )) − f(Ŝ(i) T/h )|] i≤ Nc ′ 2h,mit einer Konstanten c ′ 2∈ R. Daraus ergibt sich E[Y − Ŷ ] ≈ c′ 2h undMSE ≈ c 1 N −1 + c 2 h 2 , (3.2)mit Konstanten c 1 und c 2 . Da ein RMSE von O(ɛ) erzielt werden soll, ist ein MSE vonO(ɛ 2 ) notwendig und somitN = O(ɛ −2 ) und h = O(ɛ). (3.3)Mit dieser Wahl von h folgt ein erwarteter Fehler E[Y − Ŷ ] der Größenordnung O(ɛ).Weiterhin folgt für die Rechenkosten C = O(ɛ −3 ), da zur Schrittweite h für jede Pfadsimulation1/h Iterationen notwendig sind und die Rechenkosten somit bei N Simulationenproportional zu N/h sind.3.2 Multilevel Monte-Carlo MethodeBei der Multilevel Monte-Carlo Methode werden nun die Aktienkurse zu unterschiedlichenSchrittweiten simuliert. Dazu wird eine geometrische Reihenfolge von verschiedenen8
Schrittweiten h l = M −l T, l = 0, 1, ..., L, verwendet, wobei M ≥ 2 gewählt wird. WelcheM empfehlenswert sind, wird später in Kapitel 3.4.1 gezeigt. Die Idee, die sich dahinterverbirgt, ist dass eine Simulation zu einer kleinen Schrittweite zwar einen geringen Diskretisierungsfehlerergibt, allerdings dafür sehr hohe Rechenkosten. Simulationen mitgroßen Schrittweiten ergeben eine geringere Genauigkeit, dafür aber auch niedrigere Rechenkosten.Die MLMC Methode erreicht nun die Genauigkeit der feinsten Schrittweite,benutzt allerdings größere Schrittweiten, um die Varianz so zu verkleinern, damit geringereRechenkosten entstehen.In diesem Kapitel wird gezeigt, dass die Rechenkosten durch das MLMC Verfahrenvon O(ɛ 3 ) auf O(ɛ 2 (log(ɛ)) 2 ) im Vergleich zur Monte-Carlo Methode bei gleicher Genauigkeitsinken. Dabei wird stets eine lipschitzstetige Auszahlungsfunktion und dasEuler-Maruyama Verfahren zur Simulation des Aktienkurses verwendet.Um die Rechenkosten zu verringern, wird die Auszahlung der Option auf dem feinstenLevel L umgeschriebenE[ ˆP L ] = E[ ˆP ∑0 ] + L E[ ˆP l − ˆP l−1 ]. (3.4)Dabei sei P = f(S(T )) der Wert der Option und ˆP l die entsprechende Approximationzur Schrittweite h l = M −l T . Die Erwartungswerte der Samples ˆP l − ˆP l−1 werden fürl = 1, ..., L unabhängig simuliert. Indem ˆP l und ˆP l−1 jedes Samples aus einem BrownschenPfad errechnet werden, können die Rechenkosten niedrig gehalten werden. Dazuwird ein Pfad zur Schrittweite h l erzeugt und anschließend werden M Inkremente desBrownschen Pfads summiert, um ein Brownsches Inkrement zum Level l−1 zu erhalten.Die richtige Verteilung der Inkremente ist noch nachzuprüfen.Für die Zuwächse der Brownschen Bewegung zum Level l gilt∆W n,l ∼ N(0, h l ) ∼ √ h l Z n für n = 1, ..., T/h l ,wobei Z n N(0, 1) verteilt ist und N die Normalverteilung bezeichnet. Somit folgt fürdas Level l − 1l=1∑∆W m,l−1 = M √hl Z mj für m = 1, ..., T/(h l M)j=1und damit[ ∑ M√ ]E[∆W m,l−1 ] = E hl Z mj = 0,j=1[ ∑ M√ ] ∑ MV ar hl Z mj = h l V ar[Z mj ] = h l M = h l−1 .j=1j=19
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