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Die Vorgehensweise bei der Implementierung der MC Methode ist nun ähnlich. Anstattder Samples ˆP l − ˆP l−1 werden nun die Payoffs ˆP l zu jedem Level berechnet, bis diemodifizierten Konvergenzbedingungen erfüllt sind.Die Konvergenzbedingung ohne Richardson Extrapolation wird angepasst zu()max M −1 |ŶL−1 − ŶL−2|, |ŶL − ŶL−1|≤ 1 √2(M − 1)ɛund mit Richardson Extrapolation zu|(ŶL − ŶL−1) − M −1 (ŶL−1 − ŶL−2)| ≤ 1 √2(M 2 − 1)ɛ.Zu beachten ist, dass es sich hierbei um einen heuristischen Algorithmus handelt. Denndie Schwachstelle des MLMC Algorithmus ist, dass die Konstanten c 1 und c 2 (sieheKomplexitätstheorem) erst im Algorithmus geschätzt werden. Nach (3.1) setzt sich derMSE aus dem quadrierten Bias und der Varianz des Schätzers Ŷ zusammen. Oben wurdezwar gezeigt, dass die Varianz die geforderte Schranke von ɛ2 erfüllt. Für den quadrierten2Bias ist dies allerdings nicht sicher. Somit ist ein MSE der Größe O(ɛ 2 ) nicht garantiert.28
5 Numerische ErgebnisseDie Multilevel Monte-Carlo Methode wird nun mit der Monte-Carlo Methode verglichen,indem verschiedene Optionstypen mit beiden Verfahren numerisch bewertet werden.Dabei wird das Euler-Maruyama Verfahren zur Diskretisierung der Black Scholes SDEverwendet. Im Black Scholes Modell wird der Drift µ der risikolosen Zinsrate gleichgesetzt,sodass nach Satz 2.2.2 der faire Optionspreis der diskontierten Auszahlung entspricht.Der Parameter M, wurde wie bereits in Kapitel 3.4.1 erwähnt, gleich 4 gesetzt.5.1 Europäische OptionZuerst werden beide Methoden anhand einer europäischen Option mit einjähriger Laufzeitverglichen. Die diskontierte Auszahlungsfunktion dazu istP = exp(−r) max(0, S(1) − K).Der Kassapreis der Aktie sei S(0) = 1, der Ausübungspreis K = 1, die Volatilitätσ = 0.2 und die risikolose Zinsrate r = 0.05.In Abbildung 3 sind die numerischen Resultate der beiden Methoden gegenübergestellt.Im linken oberen Plot wird der Logarithmus (zur Basis M) von der Varianz der SamplesˆP l − ˆP l−1 bzw. der Payoffs ˆP l gegenüber den einzelnen Level dargestellt. Der Graph derSamples zeigt eine Steigung von -1 und auslog M (V ar[ ˆP l − ˆP l−1 ]) − log M (V ar[ ˆP 0 ])= −1l( V ar[ ˆPl −⇔ log ˆP l−1 ])MV ar[ ˆP= −l0 ]( )⇔M log MV ar[ ˆP l − ˆP l−1 ]V ar[ ˆP 0 ]= M −l⇔ V ar[ ˆP l − ˆP l−1 ] = M −l V ar[ ˆP 0 ]folgt mit M −l = h l eine zu h l proportionale Varianz. Dies stimmt mit den theoretischenErgebnissen überein. In Kapitel 3 wurde V ar[ ˆP l − ˆP l−1 ] = O(h l ) ermittelt. Die Varianzder Samples ˆP l − ˆP l−1 beim MLMC Verfahren ist für das Level l = 2 bereits 200 malkleiner als die Varianz von ˆP l beim Monte-Carlo Verfahren und zum Level l = 3 sogar800 mal.29
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Seite 3 und 4: Abbildungsverzeichnis1 Optimales M
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Seite 7 und 8: 2 GrundlagenUm den Kurs einer Aktie
Seite 9: wobei r die risikolose Zinsrate und
Seite 12 und 13: und der Varianz bestimmt. Für die
Seite 14 und 15: Die Inkremente besitzen hiermit die
Seite 16 und 17: Mit der Wahl von L =feinsten Levell
Seite 18 und 19: Beweis: ⌈x⌉ bezeichnet stets di
Seite 20 und 21: 1.Fall: β = 1Um einen MSE < ɛ 2 z
Seite 22 und 23: Damit folgt für die Varianz des Mu
Seite 24 und 25: Für die Rechenkosten C giltAus (3.
Seite 26 und 27: Daraus folgt V ar[Ŷl] ≈ N −1l(
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Seite 30 und 31: 4 ImplementierungNun wird gezeigt,
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Seite 36 und 37: Abbildung 4: Asiatische Optionsodas
Seite 38 und 39: Im linken oberen Plot in Abbildung
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Seite 44 und 45: AAnhang: ProgrammcodesIm Folgenden
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Seite 48 und 49: n2 = T/h2;G1 = 0;G2 = 0;G1=sqrt(h1)
Seite 50: [12] Heston, Steven L.: A Closed-Fo

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