Multilevel Monte-Carlo Simulationsverfahren mit ... - G-CSC Home

3.3 KomplexitätstheoremIm Komplexitätstheorem werden die bisherigen Ergebnisse verallgemeinert. Es kann aufAuszahlungsfunktionen, die nicht lipschitzstetig sind, angewandt werden und das Euler-Maruyama Verfahren zur Simulation der Aktienkurse kann duch andere numerischeVerfahren ersetzt werden.Satz 3.3.1 Sei S(T ) die Lösung der SDE (2.1) für einen gegebenen Brownschen PfadW (t). Für eine Funktion f sei P = f(S(T )) und ˆP l die entsprechende Approximation,die aus einem numerischen Diskretisierungsverfahren zur Schrittweite h l = M −l T gewonnenwird.Wenn unabhängige, aus N l Monte-Carlo Simulationen entstandene Schätzer Ŷl und positiveKonstanten α ≥ 1/2, β, c 1 , c 2 , c 3 existieren, sodass gilti) E[ ˆP l − P ] ≤ c 1 h α l⎧⎨E[ ˆP l ], l = 0ii) E[Ŷl] =⎩E[ ˆP l − ˆP l−1 ], l > 0iii) V ar[Ŷl] ≤ c 2 N −1lh β liv) C l , die Rechenkosten von Ŷl, sind beschränkt durchC l ≤ c 3 N l h −1l,dann gibt es eine Konstante c 4 > 0, sodass für jedes ɛ < e −1 Werte L und N l existieren,für die der Multilevel-SchätzerŶ =einenL∑l=0Ŷ lMSE = E[(Ŷ − E[P ])2 ] < ɛ 2besitzt und Rechenkosten⎧c ⎪⎨ 4 ɛ −2 , β > 1,C ≤ c 4 ɛ −2 (log ɛ) 2 , β = 1,1−β ⎪⎩ −2−c 4 ɛ α , 0 < β < 1.13