Multilevel Monte-Carlo Simulationsverfahren mit ... - G-CSC Home

Beweis: ⌈x⌉ bezeichnet stets die ganze Zahl n für die x ≤ n < x + 1 gilt. Zuerst wirdein L gesucht mit√12M −α ɛ < c 1 h α L ≤ √ 12ɛ. (3.13)WirdL =⌈ √ ⌉log( 2c1 T α ɛ −1 )α log M(3.14)gewählt, so folgt (3.13) mit folgender Umformunglog( √ 2c 1 T α ɛ −1 )α log M=⇒ M −( log(√ 2c 1 T α ɛ −1 )α log M )≤ L < log(√ 2c 1 T α ɛ −1 )α log M+ 1≥ M −L > M −( log(√ 2c 1 T α ɛ −1 )α log M +1)=⇒ e −(α log M)( log(√ 2c 1 T α ɛ −1 )α log M )=⇒ e − log(√ 2c 1 T α ɛ −1 )≥ M −Lα > e −(α log M)( log(√ 2c 1 T α ɛ −1 )+1)α log M(≥ M −Lα > e − log( √ )2c 1 T α ɛ −1 )+log M α=⇒ ( √ 2c 1 T α ɛ −1 ) −1 ≥ M −Lα > ( √ 2c 1 T α ɛ −1 M α ) −1=⇒1√2ɛ ≥ c 1 T α M −Lα > 1 √2ɛM −αh L =M −L T=⇒1√ ɛM −α < c 1 h α L ≤ √ 1 ɛ.2 2Mit diesem Ergebnis lässt sich zusammen mit den Eigenschaften i) und ii) der quadrierteBias abschätzen. Dazu ist eine Fallunterscheidung für L nötig:1.Fall: L = 0(E[Ŷ ] − E[P ])2 = (E[Ŷ0] − E[P ]) 2ii)= (E[ ˆP 0 ] − E[P ]) 2i)≤ (c 1 h α l ) 2(3.13)≤ 1 2 ɛ2 (3.15)14