Multilevel Monte-Carlo Simulationsverfahren mit ... - G-CSC Home

Verhältnis gesetzt. Es ist erkennbar, dass für das MLMC Verfahren bei gleicher geforderterGenauigkeit deutlich weniger Rechnungen als für die MC Methode notwendigsind und dass die Richardson Extrapolation bei beiden Verfahren eine Verbesserungab ɛ = 0.0002 erbringt. Für ɛ = 0.00015 benötigt die MC Methode mit RichardsonExtrapolation, 10 mal soviele Berechnungen wie die MLMC Methode. Ohne RichardsonExtrapolation sind es sogar 25 mal soviele Rechnungen. Der starke Anstieg beiɛ = 0.0005 wird von der Erhöhung der benötigten Level ab ɛ = 0.0002 verursacht. Fürɛ = 0.0005 waren bei den Berechnungen nur 3 Level nötig, bei ɛ = 0.0002 bereits 4 Level.Im mittleren unteren Plot sind die reinen Rechenkosten zur geforderten Genauigkeit ɛabgebildet.Der Wert dieser Option auf vier Nachkommastellen gerundet, ist 0.1045. Der mit derMLMC Methode approximierte Optionswert lag bei 0.1044 für ɛ = 0.00015. Wie bereitsin Kapitel 4 erwähnt, ist nicht garantiert, dass dieser Algorithmus die geforderte Genauigkeiterbringt. Daher ist es wichtig, die Verlässlichkeit der Ergebnisse zu überprüfen.Dazu wird der root mean square error (RMSE) mit der geforderten Genauigkeit ɛ verglichen.Um den MSE zu bestimmen wird Gleichung (3.1) verwendet und nach (3.26)kann ( E[Ŷ − Y ]) 2 (durch E[ ˆPL − ˆP L−1 ]/(M − 1) ) 2bzw. unter Verwendung der RichardsonExtrapolation durch ( E[ ˆP L − ˆP L−1 ]/(M 2 − 1) ) 2(vgl. [11]) abgeschätzt werden. DerRMSE/ɛ befand sich bei der MLMC Methode für alle Werte von ɛ bei 0.7. Auch mitRichardson Extrapolation scheinen die Ergebnisse verlässlich. Der RMSE/ɛ lag auchhier bei 0.7.5.2 Asiatische OptionIn diesem Kapitel wird eine asiatische Option betrachtet. Die diskontierte Auszahlungsfunktionist gegeben durchP = exp(−r) max(0, S − K),wobei S = ∫ 1S(t)dt durch S 0 l = ∑ N l 1n=1+ Ŝn−1)hl approximiert wird. Wie bei2(Ŝnder europäischen Option sei wieder S(0) = 1, K = 1, σ = 0.2 und r = 0.05.Die drei oberen Plots in Abbildung 4 zeigen ähnliche Ergebnisse wie die der europäischenOption. Im linken oberen Plot weist der Graph der Samples ˆP l − ˆP l−1 sogar eine Steigungvon -1.65 auf, dies deutet bzgl. der Varianz eine schnellere Konvergenz als O(h l ) an. Beil = 3 ist die Varianz der Samples 400 mal kleiner als die Varianz der Payoffs. Auchbeim Graph der Samples im mittlerem oberen Plot ist eine Steigung von -1.65 gegeben,31