Multilevel Monte-Carlo Simulationsverfahren mit ... - G-CSC Home

Die Eingabeparameter sind S(0) = 1, r = 0.05, σ = 0.2, K = 1, V (0) = 0.04, λ = 5, ξ =0.25 und p = −0.5, wobei p die Korrelation der beiden Brownschen Bewegungen W 1und W 2 bezeichnet.Um die Genauigkeit und die Varianz zu verbessern (vgl. [14]), wird eine weitere VariableQ = e λt (V − σ 2 )eingeführt. Anschließend werden die SDE’s von Q und S mit dem Euler-MaruyamaVerfahren diskretisiert (vgl. [14] und [5]). Daraus ergeben sich die GleichungenŜ n+1 = Ŝn + rŜnh +√ˆV +n Ŝn∆W 1,n ,ˆV n+1 = σ 2 + e −λh (( ˆV n − σ 2 ) + ξ√ˆV +n ∆W 2,n).Wobei zu beachten ist, dass √ V durch √ V n+ = √ max(V, 0) ersetzt wurde. Für diegewählten Parameter λ, ξ und σ liegt allerdings die Wahrscheinlichkeit, dass eine negativeVolatilität im Diskretisierungsverfahren vorkommt, bei 0 für h → 0. Der Beweishierzu ist aufwändig, daher wird an dieser Stelle nur auf [14] verwiesen.In Abbildung 7 sind nun die numerischen Ergebnisse dargestellt. So lässt sich zwar aufdiesem Genauigkeitslevel (ɛ = 0.0002) über die Varianz kaum eine Aussage treffen, allerdingsweist der Graph des Erwartungswertes der Samples eine Steigung von -1.35 auf,sodass dies eine schwache Konvergenz schneller als O(h l ) andeutet.Der obere rechte Plot zeigt wieder ähnliche Ergebnisse wie zuvor. Anhand des unterenlinken Plots ist zu erkennen, dass ohne Richardson Extrapolation die MC Methode 12mal soviele Rechnungen benötigt wie die MLMC Methode, bei einer geforderten Genauigkeitvon ɛ = 0.0002.Die Verwendung der Richardson Extrapolation scheint zwar eine Reduzierung der Rechenkostenzu bewirken, allerdings wurde in der Konvergenzbedingung des Algorithmusangenommen, dass der verbleibende Fehler nach Richardson Extrapolation der Ordnung2 entspricht. Dies konnte im mittleren oberen Plot nicht bestätigt werden. OhneRichardson Extrapolation deutet ein RMSE/ɛ von ca. 0.7 verlässliche Ergebnisse an. Alsapproximierter Optionswert, bei einer geforderten Genauigkeit von ɛ = 0.0002, ergibtsich mit der MLMC Methode 0.1044.36