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Ehrenwörtliche ErklärungHiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig abgefaßt und keine anderenHilfsmittel als die angegebenen benutzt habe. Ich erkläre ferner, dass diejenigenStellen der Arbeit, die anderen Werken wörtlich oder dem Sinn nach entnommen sind,in jedem einzelnen Fall unter Angabe der Quellen kenntlich gemacht sind.Frankfurt am Main, den 14. März 2011III
1 EinleitungAuf den internationalen Finanzmärkten werden viele verschiedene Optionen gehandelt,für die keine geschlossenen Berwertungsformeln existieren. Um den Wert dieser Optionenzu ermitteln werden daher numerische Verfahren eingesetzt. Dabei treten neueProbleme auf. Der approximierte Optionswert soll möglichst genau und die Rechenkostenniedrig sein. Ein weitverbreitetes Verfahren ist die Monte Carlo (MC) Simulation.Dabei entspricht der approximierte Optionswert dem arithmetischen Mittel aus mehrerenunabhängigen Simulationen des Optionswertes. Die Genauigkeit wird erhöht indemdie Anzahl der Simulationen erhöht wird. Allerdings steigen damit auch die Rechenkosten.Wie kann aber die Genauigkeit verbessert werden, ohne die Rechenkosten zu erhöhen?Indem Multi-Grid Methoden verwendet werden. Das Prinzip der Multi-Grid Methodewird bei der Multilevel Monte-Carlo Methode (MLMC) angewandt. Dabei wird derAktienkurs mit unterschiedlichen Schrittweiten simuliert und daraus der Optionswertermittelt. Somit wird, bei bedeutend geringerem Rechenaufwand, die Genauigkeit desfeinsten Diskretisierungslevels erreicht. Um einen Vergleich der MLMC Methode mitder Monte-Carlo Methode zu ziehen, wird bei beiden Verfahren die gleiche Genauigkeitverlangt, welche sich aus dem mean square error (MSE) ermittelt und die Rechenkostenverglichen. Es wird gezeigt, dass im einfachsten Fall bei Verwendung einer lipschitzstetigenAuszahlungsfunktion und des Euler-Maruyama Verfahrens zur Diskretisierung desAktienkurses, die Rechenkosten von O(ɛ −3 ) auf O(ɛ −2 (log ɛ) 2 ) bei einem root mean squareerror (RMSE) von O(ɛ) sinken. Das Ziel dieser Arbeit ist es schließlich, Multi-AssetOptionen mit beiden Verfahren numerisch zu bewerten und zu testen, ob die MLMCMethode den Rechenaufwand gegenüber der Monte-Carlo Methode reduziert.Bei der Auswahl dieses Themas empfand ich neben den vielfältigen Möglichkeiten derMLMC Methode auch die Aktualität dieses Themas besonders interessant. Der ersteArtikel speziell zu diesem Thema wurde erst 2008 veröffentlicht und aktuell wird nachweiteren Möglichkeiten geforscht die Rechenkosten, aufbauend auf diesem Verfahren,zu reduzieren. So kann die MLMC Methode z.B. mit der Quasi-Monte-Carlo Methodekombiniert werden um weitere Rechenkosten einzusparen. In Vorlesungen zur Finanznumerikund im speziellen zum Monte-Carlo Verfahren wurde klar, wie wichtig die Effizienzvon Algorithmen ist und welche Bedeutung diesen in der Finanzmathematik zukommt.In Zukunft wird es spannend sein zu sehen, ob diese Methode auch in der Praxis derOptionsbewertung Anwendung findet und ob sich durch die vielfältige Einsatzmöglich-1
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Seite 48 und 49: n2 = T/h2;G1 = 0;G2 = 0;G1=sqrt(h1)
Seite 50: [12] Heston, Steven L.: A Closed-Fo

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