Aufgabe 1 (Circa 9 Punkte) - TUM M7/Analysis

Aufgabe 2 (Circa 6 Punkte)Es sei U ⊂ R n oen und beschränkt und u ∈ C 2 (U) ∩ C(U) erfülle{ ∆u = u3in U,u = 0 auf ∂U.Zeigen Sie, dass u ≡ 0 in U.Lösung (Vorschlag 1): Da u stetig auf dem Kompaktum U ist, exisitert x 0 ∈ U mitu(x 0 ) = max x∈U u(x). Wäre u(x 0 ) > 0, so wäre x 0 ∈ U wegen u| ∂U = 0. Da u ∈ C 2 (U)folgte u 3 (x 0 ) = ∆u(x 0 ) = Spur(D 2 u(x 0 )) ≤ 0. Widerspruch. Also u ≤ u(x 0 ) ≤ 0 auf U.Analog ist −u ≤ 0 auf U.□Lösung (Vorschlag 2): Es sei Ω := {x ∈ U | u(x) > 0}.Aus Stetigkeitsgründen ist Ω oen und wegen Ω ⊂ U auch beschränkt.Weiter ist u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) und u| ∂Ω = 0 (Stetigkeit und Randwerte auf ∂U).Da ∆u = u 3 ist ∆u > 0 auf Ω, also ist u subharmonisch auf Ω. Nach dem schwachenMaximumsprinzip ist damit u ≤ 0 in Ω, nach Denition also Ω = ∅.Ebenso zeigt man {x ∈ U | u(x) < 0} = ∅, da u dort superharmonisch ist.□Seite 2 von 6