Aufgabe 1 (Circa 9 Punkte) - TUM M7/Analysis

Aufgabe 4 (Circa 7 Punkte)Es seien U ⊂ R n oen und beschränkt mit C 1 -Rand und äuÿerem Einheitsnormalenfeld ν,p ∈ [1, ∞) und T : W 1,p (U) → L p (∂U) der zugehörige Spuroperator.Beweisen Sie, dass für alle f = (f 1 , . . . , f n ) : U → R n mit f 1 , . . . , f n ∈ W 1,p (U) gilt∫∫div f dx = T (f) · ν dS,wobei divf := ∑ nk=1 ∂ x kf k und T (f) := (T (f 1 ), . . . , T (f n )).U∂ULösung (Vorschlag 1): Zunächst stellt man fest, dass für glatte f 1 , . . . , f n ∈ C ∞ (U)wegen T (f k ) = f k | ∂U die Aussage dem Satz von Gauÿ entspricht, also korrekt ist.Wir betrachten den Produktraum (W 1,p (U)) n mit der Norm‖(f 1 , . . . , f n )‖ (W 1,p (U)) n =n∑‖f k ‖ W 1,p (U) .k=1Da bekanntlich C ∞ (U) dicht in W 1,p (U) liegt, ist auch (C ∞ (U)) n ⊂ (W 1,p (U)) n dicht.Die lineare Abbildung∫∫A : (W 1,p (U)) n → R, (f 1 , . . . , f n ) ↦→ div f dx − T (f) · ν dSUk=1∂Uk=1U∂Uverschwindet also auf einer dichten Menge. Da nun aber∫ n∑∫ n∑|A(f 1 , . . . , f n )| ≤ |∂ xk f k | dx + |T (f k )| ∣ ∣ νk dS ≤n∑ ()≤ ‖∂ xk f k ‖ L p (U) · ‖1 U‖ L q (U) + ‖T (f k)‖ L p (∂U) · ‖1 ∂U‖ L q (∂U)≤( k=1)≤ ‖1 U ‖ L q (U) + ‖T ‖ ‖1 ∂U‖ L q (∂U)· ‖(f 1 , . . . , f n )‖ (W 1,p (U)), nwobei 1 p + 1 q = 1, ist A stetig und damit muss A = 0 auf ganz (W 1,p (U)) n sein.Letzteres aber ist genau die Behauptung.□Seite 4 von 6