Aufgabe 1 (Circa 9 Punkte) - TUM M7/Analysis

Zunächst stellt man fest, dass für glatte f k ∈ C ∞ (U) nachdem Satz von Gauÿ wegen T (f k ) = f k | ∂U gilt:∫∫∂ xk f k dx = T (f k ) · ν k dS.Lösung (Vorschlag 2):UFür beliebige f 2 , . . . , f n ∈ C ∞ (U) verschwindet die lineare Abbildung∫∫A f 2,...,f n: W 1,p (U) → R, f 1 ↦→ div f dx − T (f) · ν dS,also auf der dichten Teilmenge C ∞ (U) ⊂ W 1,p (U). Da wegen∣∣A f 2,...,f n(f 1 ) ∣ ∫∫∫∫=∣ ∂ x1 f 1 dx − T (f 1 ) · ν 1 dS∣ ≤ |∂ x1 f 1 | dx +U∂U∂U≤(‖∂ x1 f 1 ‖ L p (U) · ‖1 U‖ L q (U) + ‖T (f ) 1)‖ L p (∂U) · ‖1 ∂U‖ L q (∂U) ≤≤ ‖1 U ‖ L q (U) + ‖T ‖ ‖1 ∂U‖ L q (∂U)· ‖f 1 ‖ W 1,p (U) ,UU∂U∂U|T (f 1 )| ∣ ∣ ν1 ∣ ∣ dS ≤wobei 1+ 1 = 1, das Funktional p q Af 2,...,f naber stetig ist, ist A f 2,...,f n(f 1 ) = 0 ∀f 1 ∈ W 1,p (U).Sukzessives Anwenden der gleichen Argumentation auf die Abbildungen∫∫f k ↦→ div f dx − T (f) · ν dS,U∂Ufür beliebige f 1 , . . . , f k−1 ∈ W 1,p (U) und f k+1 , . . . , f n ∈ C ∞ (U) zeigt, dass∫∫div f dx − T (f) · ν dS = 0 ∀f 1 , . . . , f n ∈ W 1,p (U),wie behauptet.U∂U□Seite 5 von 6