Aufgabe 1 (Circa 9 Punkte) - TUM M7/Analysis

Aufgabe 3 (Circa 8 Punkte)Es sei U := B 1 (0) ⊂ R 2 . Betrachten Sie das Randwertproblem{ −2 · ∂2x1u + ∂ x1 ∂ x2 u − ∂ 2 x 2u = sin 5 (x 1 x 2 ) in U,u = 0 auf ∂U.a) Geben Sie die schwache Formulierung dieses Randwertproblems an.b) Hat dieses Problem eine schwache Lösung? Begründen Sie Ihre Antwort!c) Ändert sich Ihre Antwort, wenn der Summand −2 · ∂ 2 x 1u in der Dierentialgleichungdurch (x 2 − 2) · ∂ 2 x 1u ersetzt wird? Warum?Lösung:Zu a): Wir haben hier das RandwertproblemLu = sin 5 (x 1 x 2 ) in U, u = 0 auf ∂U,mit dem Dierentialoperator (in Divergenzform)( ( ) )2 −1Lu = −div2− 1 grad u ,12} {{ }=:A(x)vorliegen, wobei hier A symmetrisch gewählt wurde. Die schwache Formulierung ist alsoanalog zur Vorlesung (Multiplikation mit Testfunktion, partielle Integration):∫∫B(u, v) := (∇u) T A(x)(∇v) dx =! sin 5 (x 1 x 2 )v dx ∀v ∈ H0(U).1UZu b): Um zu überprüfen, ob dieses Randwertproblem eine schwache Lösung besitzt stellenwir zunächst fast, dass oensichtlich sin 5 (x 1 x 2 ) ∈ L 2 (U). Weiter sind alle Koezientenfunktionenvon A aus L ∞ (U). Da A (gleichmäÿig in x) positiv denit ist, das heiÿtξ T A(x)ξ = ξ T ( 2 −12− 1 21U)ξ ≥ θ |ξ| 2 ∀x ∈ U, ξ ∈ R 2 ,mit einem θ > 0, ist L auch gleichmäÿig elliptisch und Satz 5.11 liefert die Existenz einer(eindeutigen) schwachen Lösung u ∈ H 1 0(U) des Randwertproblems.Zu c): Das neue Problem entspricht obigem mit der neuen Matrix( )2 − x2 − 1A(x) :=2− 1 .12Alle oben getroenen Aussagen gelten entsprechend, wenn man beachtet, dass( ) ( )2 −ξ T A(x)ξ = ξ T x2 − 1 21 −− 1 ξ ≥ ξ T 121− 1 ξ ≥ θ |ξ| 2 ∀x ∈ U, ξ ∈ R 2 ,12 2} {{ }mit einem θ > 0.ist positiv denitSeite 3 von 6