Handreichung „Chaos“ - Josef Leisen

UsFreie eindimensionale harmonische Schwingungen können sich nicht chaotisch verhalten.Es fehlt der dritte Freiheitsgrad, der im nächsten Schritt durch eine externe Kraft dazukommt.Für das deterministische Chaos erlaubt die äußere Anregung bei eindimensionalen Schwingungenden dritten Freiheitsgrad. Der dritte Freiheitsgrad ist eine notwendige Bedingung fürdas Auftreten von Chaos. Der Determinismus verbietet, dass sich Trajektorien im Phasenraumschneiden (Kreuzungsverbot). Ansonsten wären die Lösungen der Bewegungsgleichungennicht eindeutig. In einem zweidimensionalen Phasenraum, beispielsweise bei einereindimensionalen Schwingung, sind nur drei Bewegungstypen möglich.a. Die Trajektorie im Phasenraum spiralt sich auf den Nullpunkt auf, d. h., das Systemkommt durch Reibung zur Ruhe.b. Die Trajektorie im Phasenraum geht in einen geschlossenen Grenzzyklus (Ellipse) über,d. h., das System ist periodisch wie eine immergehende Uhr.c. Die Trajektorie im Phasenraum spiralt infolge negativer Dämpfung ins Unendliche auf,d. h., das System explodiert.In allen Systemen mit einem zweidimensionalen Phasenraum kann es somit kein Chaos geben.Um der Einschränkung des Überschneidungsverbots zu entgehen, muss man in denmindestens dreidimensionalen Phasenraum ausweichen. Der dritte Freiheitsgrad, also diedritte Dimension im Phasenraum, kann man bei Schwingungen u. a. auf zwei verschiedenenWegen erreichen:1. Man regt den eindimensionalen Schwinger durch eine äußere Anregung an (erzwungeneSchwingungen).2. Man erweitert die Schwingungen auf zwei Dimensionen, d. h., man betrachtet Schwingungenin der Ebene (z. B. das Doppelpendel, Feder-Faden-Pendel).Bemerkungen:a. Bei zweidimensionalen Schwingungen hat man zwei Weg-Freiheitsgrade und zwei Geschwindigkeits-Freiheitsgrade.Die Kopplung durch den Energieerhaltungssatz reduziertsie auf drei Freiheitsgrade.b. Der dritte Freiheitsgrad hat bei angetriebenen nichtlinearen Oszillatoren im Phasenraumnoch eine topologische Folge, nämlich die Rückfaltung im Phasenraum.49