Handreichung „Chaos“ - Josef Leisen

Annäherungen an das ThemaAnalytisch(kontinuierlich)über SchwingungenAnalytisch(diskret)über DatenDifferentialgleichungenDifferenzengleichungen,DatenanalyseChaosSystemischüber Synergetik undSelbstorganisationGeometrischüber Fraktale undSelbstähnlichkeitDas Diagramm zeigt Annäherungen an das Thema Chaos. Eine ‚analytische Annäherung‘geschieht über analytische Untersuchungsmethoden, die zum Teil der klassischen Physikentspringen. Als Standardbeispiele kontinuierlicher dynamischer Systeme werden vorzugsweisenichtlineare Schwingungen untersucht, die mit Differenzialgleichungen, die den Physikernsehr vertraut sind, modelliert und beschrieben werden.Ein anderer analytischer Weg geht über ‚diskrete Vorgänge und Phänomene‘ und verwendetdiskrete Abbildungen, z.B. Differenzengleichungen. Als Standardbeispiel wird vorzugsweisedie logistische Funktion herangezogen. Die Forschung verwendet komplexe und mathematischaufwendige Methoden der Datenanalyse (z.B. Spektralanalyse, Zeitreihencharakterisierung,Datenrekonstruktion, Ljapunov-Analyse, stochastische Methoden).Sowohl kontinuierliche Differenzialgleichungen als auch diskrete Differenzengleichungenführen in der Schule schnell an formal-mathematische Grenzen, wenn auch die logistischeFunktion einen frappierend schnellen Zugang eröffnet. Interessant ist aber folgendes Zitat:„Es dauerte ca. 10 Jahre, ein solch einfaches Modell wie die logistische Gleichung vollständigzu verstehen.“ ([2], S. 53).Eine ‚geometrische Annäherung‘ an das Thema kann aus der Mathematik heraus, unterVerwendung des Computers, über die fraktale Geometrie erfolgen. Dieser Weg wird u. a.von der Gruppe um Peitgen beschritten und propagiert. Die Vielzahl der fraktalen Wachs-9