Kapitel 2 Wellenoptik und Strahlenoptik Fermatsches Prinzip

sowie∂∂x E G = ik xq(z) E G 1 ∂W (z)= zW 02W (z) ∂z z0W 2 2 (z) = 1R(z) . (2.53)Verwendet man nun noch die Beziehung 1/q(z) − 1/R(z) = 2i/(kW 2 (z))sowie die Tatsache, dass die Gaußsche Einhüllende E G (r) selbst die paraxialeHelmholtzgleichung erfüllt, dann erhält man die Differentialgleichung1 ∂ 2 f xf x ∂u − 2u∂f x2 ∂u+ 1 ∂ 2 f yf y ∂v − 2v ∂f y2 ∂v− kW 2 (z) ∂f z∂z = 0 . (2.54)Diese Gleichung besteht aus drei Summanden, die jeweils nur von einerder Variablen (u v z) abhängen. Wir lösen diese Gleichung deshalb durchTrennung der Variablen mit den Separationskonstanten −2m und −2n, sodass− 1 ∂ 2 f x2 ∂u + u∂f x2 ∂u− 1 ∂ 2 f y2 ∂v + v ∂f y2 ∂v 2 z ∂f zz 01 +z 0 ∂z= mf x (2.55a)= nf y (2.55b)= −(m + n) (2.55c)gilt. Die beiden ersten Gleichungen sind formal Eigenwertgleichungen für dieDifferentialoperatoren auf der linken Seite und den Eigenwerten m und n.Die Eigenfunktionen sind gerade die Hermitepolynome H m (u) und H n (v).Somit istf x (u) = H m (u) f y (v) = H n (v) . (2.56)Die verbleibende Gleichung wird aufintegriert und ergibtf z (z) = −(m + n) arctan z z 0= (m + n)ζ(z) . (2.57)Die komplexe Amplitude wird damit zu √2xW (z) √ 2yh nW (z)W 0E mn (r) = A mnW (z) h m× expikz + ik 22R(z) + i(m + n + 1)ζ(z) (2.58)17