Kapitel 2 Wellenoptik und Strahlenoptik Fermatsches Prinzip

Wellengleichung darstellt. Für räumlich veränderliche Brechungsindexprofilen(r) versuchen wir einen verallgemeinerten AnsatzE i (r t) = E i0 (r)e iΦrt) Φ(r t) = Φ 0 (r) − ωt (2.25)mit veränderlicher Amplitude E i0 (r) und allgemeiner veränderlicher PhaseΦ 0 (r). Wir setzen diesen Ansatz in die Wellengleichung ein und führen dieAbleitungen aus,E i = [(E i0 ) + i(Φ 0 )E i0 ] e iΦ ΔE i = (ΔE i0 ) + i(ΔΦ 0 )E i0 + 2i(Φ 0 ) · (E i0 ) − (Φ 0 ) 2 E i0e iΦ ∂ 2 E i∂t 2 = −ω 2 E i0 e iΦ (2.26)so erhalten wir zwei gekoppelte partielle Differentialgleichungen für die RealundImaginärteileΔE i0 + n 2 k 2 − (Φ 0 ) 2 E i0 = 0 (2.27a)(ΔΦ 0 )E i0 + 2(Φ 0 ) · (E i0 ) = 0 .(2.27b)Wir nehmen nun an, dass die Lichtwellenlänge λ = 2π/|k| viel kleiner ist alsdie Längenskala, auf der sich der Brechungsindex n(r) ändert, und dass sichdie Amplitude E i0 (r) nur schwach ändert. In dieser Näherung können wir denTerm ΔE i0 weglassen und erhalten die Eikonalgleichung der geometrischenOptik nω 2(Φ 0 ) 2 = n 2 k 2 = . (2.28)cDie räumlich veränderliche Phase Φ 0 (r) wird als Eikonal bezeichnet. DieLösung der Eikonalgleichung definiert die Ebenen konstanter Phase, also dieWellenfronten. Senkrecht dazu verlaufen die Lichtstrahlen oder Trajektoriender geometrischen Optik.2.3 Fermatsches PrinzipDieselbe Interpretation erhält man, wenn man von einem Variationsprinzipähnlich dem Hamiltonprinzip startet. In der Optik wird dieses Prinzip alsFermatsches Prinzip bezeichnet, das im Wesentlichen die Aussage macht,dass die optische Weglänge des Pfades, das das Licht zwischen zwei Punkten11