Kapitel 2 Wellenoptik und Strahlenoptik Fermatsches Prinzip

unter Verwendung von (2.1c) folgt schließlich die Wellengleichung für daselektrische Feld− ΔE(r t) + 1 ∂ 2E(r t) = 0 . (2.5)c 2 ∂t2 Die Fundamentallösungen der Gleichung (2.5) sind ebene Wellen der Forme σ e i·r−ωt) (2.6)die durch einen Polarisationseinheitsvektor e σ , einen Wellenvektor kund eine Frequenz ω charakterisiert sind. Setzt man diesen Ansatz in (2.5)ein, so findet man die Beziehungk 2 = ω2c 2 (2.7)zwischen dem Betrag des Wellenvektors und der Frequenz, die Dispersionsrelationdes Vakuums genannt wird. Die Polarisationseinheitsvektoren sindnotwendig, um den Vektorcharakter des elektrischen Feldes zu gewährleisten.Aus der Gleichung (2.1c) und den Materialgleichungen folgt, dass das elektrischeFeld ein transversales Vektorfeld ist. Das heisst, dass der Vektor deselektrischen Feldes senkrecht zur Ausbreitungsrichtung steht, wie man durchFouriertransformation von (2.1c) erkennt.Für monochromatische Wellen der Frequenz ω schreiben wir alsoE(r t) = E 0 e i·r−ωt) B(r t) = B 0 e i·r−ωt) (2.8)deren Wellenvektor wieder durch die Dispersionsrelation (2.7) eingeschränktist. Setzt man diesen Ansatz in die Maxwellschen Gleichungen ein, so findetman die zusätzlichen Beziehungen für die Amplituden der Felderk · E 0 = 0 k × E 0 = ωB 0 (2.9)sowiek · B 0 = 0 k × B 0 = − ω c 2 E 0 . (2.10)Daraus folgt, dass (k E 0 B 0 ) ein orthogonales Dreibein bilden. Die SchwingungsrichtungenE 0 und B 0 stehen also in der Tat senkrecht zur Ausbreitungsrichtungk wie angenommen.7