Kapitel 2 Wellenoptik und Strahlenoptik Fermatsches Prinzip

wobei nach der Einsteinschen Summenkonvention über doppelt auftretendeIndizes (jeweils ein oberer und ein unterer Index) summiert wird. In dieserArt und Weise erhält man die Invariante a 2 = a µ a µ = (a 0 ) 2 − a 2 .Im flachen Raum nimmt der metrische Tensor die diagonale Gestalt g µν =diag(1 −1 −1 −1) an 1 . Wichtige Beispiele für Vierervektoren sind:Ereignis: x µ = (ct x) Vierergeschwindigkeit: u µ = (γ γβ) Viererwellenvektor: k µ = (ω/c k) Viererstromdichte: j µ = (c j) Viererpotential: A µ = (φ/c A) Vierergradient: ∂ µ = ∂/∂x µ = (∂/∂ct ∂/∂x) .(2.15)Die Vierergeschwindigkeit ist hier dimensionslos und wird hier ausgedrücktdurch die dimensionslose Geschwindigkeit β = v/c und den Lorentzfaktorγ = (1 − β 2 ) −1/2 .Wir führen nun den Feldstärketensor über⎞0 −E 1 /c −E 2 /c −E 3 /cF µνx) = ⎜E 1 /c 0 −B 3 B 2⎝E 2 /c B 3 0 −B 1E 3 /c −B 2 B 1 0⎟⎠ (2.16)ein. Der Feldstärketensor ist antisymmetrisch, F µν = −F νµ . Die MaxwellschenGleichungen (2.1a)–(2.1d) lauten nun in kovarianter Notation∂ µ F νρ (x) + ∂ ρ F µν (x) + ∂ ν F ρµ (x) = 0 (2.17a)∂ µ F µν (x) = 0 . (2.17b)Gleichung (2.17a) ersetzt demnach die Gleichungen (2.1a) und (2.1b), wobeibeachtet werden muss, dass keiner der Indizes kontrahiert wird. Hierbeihandelt es sich um die kovariante Schreibweise einer Jacobi-Identität. Gleichung(2.17b) ersetzt die beiden anderen Maxwellschen Gleichungen (2.1c)und (2.1d). Die erste der beiden kovarianten Gleichungen (2.17a) kann mithilfedes dualen Feldstärketensors noch vereinfacht werden. Der duale Tensoreines beliebigen zweistufigen Tensors T µν ist definiert als∗ T µν = 1 2 µναβ T αβ (2.18)1 Diese Metrik ist nicht eindeutig. Man könnte auch die Metrik g µν = diag−1 1 1 1)verwenden. Die Physik bleibt dieselbe, wenn nur konsequent eine der beiden Formen verwendetwird.9