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GRUNDBEGRIFFE DER 4 GRUNDRECHENARTEN
Blatt 1 MUH
ADDITION Summe
addieren
plus 2 + 4 + 6 = 12
Summanden Summenwert
( Glieder )
SUBTRAKTION Differenz
subtrahieren
minus 12 – 3 = 9
Minuend Subtrahend Differenzwert
MULTIPLIKATION Produkt
multiplizieren
mal 4 • 5 = 20
Faktoren Produktwert
DIVISION Quotient / Bruch
dividieren
a
geteilt a : b = = c
b
Divident/ Divisor/ Quotientwert
Zähler Nenner
Merke:
Bei der Rechnung ist zu beachten: „Punktrechnung“ (Multiplikation/ Division)
geht vor „Strichrechnung“ (Addition/ Subtraktion)!
BEISPIELE:
1. 6 · 4 + 5 · 3 – 4 · 2 = 24 + 15 – 8 = 31
2. 20 – 2 · 6 = 20 – 12 = 8
3. 26 : 2 – 3 · 4 = 13 – 12 = 1
1

Blatt 2 MUH
ADDITION / SUBTRAKTION
1. Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz):
In einer Summe kann man die Summanden vertauschen.
a + b = b + a
2 + 6 = 6 + 2
2. Assoziativgesetz (Klammergesetz):
Beim Addieren darf man die Summanden zu Teilsummen
zusammenfassen.
a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c
8 + 2 + 1 = 8 + (2 + 1) = (8 + 2) + 1 = 11
= 8 + 3 = 10 + 1 = 11
3. Gleichartige Zahlen sind:
a, 2a, 3a,....
x, 2x, 3x,....
Gleichartige Zahlen werden addiert/ subtrahiert, indem man die Beizahlen
addiert/ subtrahiert.
3a + 4a +2a = 9a
8x +2x –9x = x ! (statt 1x)
4. In einer Summe/ Differenz lassen sich nur gleichartige Zahlen
zusammenfassen.
2a + 3b + a + 4b = 3a + 7b
2

Übung zur Addition und Subtraktion
Blatt 3 MBM
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Suche Fehler in den
Lösungen!
18x-19x+27x-45x+99x+x = 81x
-32b-15b+55b-12b = -4b
7x-15x+20x-2x+3x = 13x
13a-5a+ax-4a = 4a+ax
a(4+x)
8b-3c-7b+3c-b = 0
18x-3n-11x+15+8n = 7x+5n+15
3a-12b+8b+7c-d+4a-3c+5d = 7a-4b+4c+4d
-b+15a+16b-12c-8a-15b+12c = 7a
x-1-4y+2y-2-6x+12y+15x = 10x+10y+3
2,7x+0,6y+0,8x-1,3y = 3,5x-0,7y
5,5c-6,2d-2,8c-0,1+4,6d = 2,7c-1,6d-0,1
3,2x+7,6z+7,6y-4,4x-6,6z-0,5-5,4y+3,3x = 2,1x+2,2y+z-0,5
33,05c-19,95c-3,125b-5,23a+12,48a+23,875b
=
7,25a+20,75b-13,1c
15,375ab+2,33ac-0,475ab-0,34-0,34ac = 14,9ab+1,99ac-0,34
15,11a-9,98c-7,87a+5,66b+11,47b+12,07c = 7,24a+17,13b+2,09c
17,64m+783cm+1230mm = 26,7m
0,0116km+12,60m+940cm = 33,6m
3,2kg-100g-0,6kg = 2,5kg
1,03t+215kg+0,7t+25000g = 1970kg
2,4m²-0,7m²+530dm²-15600cm² = 5,44m²
3

Übung zum Auf- und Abrunden
Blatt 4 MUH
Aufgabe:
5,9373
0,7694
16,0918
9,4095
111,5549
5,0696
1,0907
77,4599
3,9518
0,9786
99,5477
9,9509
1,9876
9,9549
105,0908
Auf 1. Stelle
Auf 2. Stelle
Auf 3. Stelle
4

Lösungen zum Auf- und Abrunden
Blatt 4b MUH
Aufgabe:
Auf 1. Stelle
Auf 2. Stelle
Auf 3. Stelle
5,9373 5,9 5,94 5,937
0,7694 0,8 0,77 0,769
16,0918 16,1 16,09 16,092
9,4095 9,4 9,41 9,410
111,5549 111,6 111,55 111,555
5,0696 5,1 5,07 5,070
1,0907 1,1 1,09 1,091
77,4599 77,5 77,46 77,460
3,9518 4,0 3,95 3,952
0,9786 1,0 0,98 0,979
99,5477 99,5 99,55 99,548
9,9509 10,0 9,95 9,951
1,9876 2,0 1,99 1,988
9,9549 10,0 9,95 9,955
105,0908 105,1 105,09 105,091
5

ADDITION UND SUBTRAKTION VON SUMMEN UND DIFFERENZEN
Blatt 5 MUH
Rechnen mit Klammern
1. Bei der Addition (+ vor der Klammer) von Summen und Differenzen
können die Klammern wegfallen.
3 + (7 + 6) = 3 + 7 + 6 = 16
3 + 13 = 16
3 + (7 – 6) = 3 + 7 – 6 = 4
3 + 1 = 4
2. Bei der Subtraktion (- vor der Klammer!) von Summen und Differenzen
können die Klammern wegfallen, wenn man die Rechenzeichen in der
Klammer vertauscht. (statt – steht dann ein + und umgekehrt!)
3 - (7 + 6) = 3 – 7 – 6 = - 10
3 - 13 = - 10
3 - (7 - 6) = 3 – 7 + 6 = 2
3 - 1 = 2
3. Mehrfachklammern mit Variablen löst man von innen nach außen auf und
rechnet in folgenden Schritten:
(1) Klammern auflösen;
(2) sortieren;
(3) zusammenfassen.
(1) 29x – [3x + 2y – (22x + 3y)]
= 29x – [3x + 2y – 22x - 3y]
= 29x – 3x - 2y + 22x + 3y
(2) = 29x – 3x + 22x – 2y + 3y
(3) = 48x + y
6

Übung zum Rechnen mit Klammern
Blatt 6 MBM
1. 2c+(3c+6)
2. x+7+(2x+5)
3. 30x+(5x-2y)
4. 0,2a+(2b+0,5a)-b
5. (15m-8)+(9-9m)
6. 5x-(12+x)
7. l +m-( l -m)
8. c-d-(c+d)
9. 2a+4b-(4a-5b)
10. 6a-2b+5c-(-7b+4c)
11. (2a-2b)+(3a+4b)+(5a-6b)
12. (8x-3y)+9z+(y+4x-3z)
13. (x+2ax+a)-(x-2ax+a)
14. x+(18x+6y)+(8x-4y)-y
15. 3a-b+7c-(3a-5c)-(-9a-b+3c)
16. a+b-(12x+6b)-(4x+8b-10x+10b)
17. 3a-4b-(7b-5a)+(-9a-10b)+2b
18. –ab+7a-13-(-4ab+8a-25)+(-8ab+a-21)
19. 25a-[36b-(19a-11b)-12a]
20. 18a-[(14a-8b+2c)-(8a+12b-3c)]
21. a+b+c+d-[(d+a)-(b+c-a)]
22. –(4x-1)-[4-(3x+2y)-2x]-2y
23. 6m+5n-(8p+6s)-[5m-3n+(7p+4s)]
24. 7x-4y+7z-[3x+6y-(12x-5z)-2x]
25. –[-(3x+2y-z)+z]-[z-(2x-2y)]
26. [(6a-3)-(2b-a)]-[(5b-1)-(3a+b)]
27. 3x+{(2x+3)-[(x+2)-(5x-9)]}
28. a-{[a+2b-3-(2a-2b-3)]+3a}
29. -{[(b-3ab)-(a+3ab)]-(6a-3b)}+a
30. (x-y)-{y-z-[2x-3y+(2z-3x)+t]}-t
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1. 5c+6
2. 3x+12
3. 35x-2y
4. b+0,7a
5. 6m+1
6. 4x-12
7. 2m
8. –2d
9. –2a+9b
10. 6a+5b+c
11. 10a-4b
12. 12x-2y+6z
13. 4ax
14. 27x+y
15. 9a+9c
16. a-23b-6x
17. –a-19b
18. –5ab-9
19. 56a-47b
20. 12a+20b-5c
21. –a+2b+2c
22. x-3
23. m+8n-15p-10s
24. 18x-10y+2z
25. 5x-3z
26. 10a-6b-2
27. 9x-8
28. –a-4b
29. 8a+6ab-4b
30. –5y+3z
7

Blatt 7 MUH
MULTIPLIKATION UND POTENZEN
Definition:
Die Multiplikation ist eine verkürzte Schreibweise der mehrfachen Addition
gleicher Summanden.
3+3+3+3 = 4 · 3 = 12
3a+3a+3a+3a = 4 · 3a = 12a mit a>0
Vorzeichenregel:
Sind beide Faktoren eines Produkts positiv, (+4) · (+3) = (+12)
so ist auch das Produkt positiv.
Sind beide Faktoren eines Produkts negativ, (-4) · (-3) = (+12)
so ist das Produkt auch positiv.
Ist einer der beiden Faktoren eines Produkts (-4) · (+3) = (-12)
negativ, so ist auch das Produkt negativ. (+4) · (-3) = (-12)
Besteht ein Produkt aus mehr als zwei Faktoren, so gilt:
Ist die Anzahl negativer Faktoren gerade, so ist das Produkt positiv.
Ist die Anzahl negativer Faktoren ungerade, so ist das Produkt negativ.
Zusammenfassung:
Faktoren Produkt
+ · + = +
- · - = +
- · + = -
+ · - = -
Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz):
In einem Produkt kann man die Faktoren vertauschen.
a · b = b · a
Assoziativgesetz (Klammergesetz):
Beim Multiplizieren darf man die Faktoren zu Teilprodukten zusammenfassen.
(a · b) · c = a · (b · c) = a · b · c
Definition:
Potenzen sind eine verkürzte Schreibweise der mehrfachen Multiplikation
gleicher Faktoren. Vorzeichenregel beachten!
a · a · a = a³
a³} bezeichnet man als Potenz mit Basis a und Exponent (Hochzahl) ³.
Der Exponent einer Potenz gibt also an, wie oft die Basis als Faktor im Produkt
vorkommt.
Beispiele: 1m · 1m = 1m² geometrische Fläche eines Quadrats
1cm· 1cm · 1cm = 1cm³ Bedeutung Volumen eines Würfels
8

Blatt 7b MUH
MULTIPLIKATION UND POTENZEN
1. Distributivgesetz (Verteilungsgesetze):
Eine Zahl wird mit einer Summe (Differenz) multipliziert, indem man jeden
Summanden in der Klammer unter Beachtung der Vorzeichen mit der Zahl
multipliziert.
a · (b + c) = ab + ac
a · (b - c) = ab – ac
2. Distributivgesetz (Verteilungsgesetze):
Zwei Summen (Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man jeden
Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer
unter Beachtung der Vorzeichen multipliziert und die Produkte addiert.
(a + b)·(c + d) = ac+ad+bc+bd (a - b)·(c - d) = ac-ad-bc+bd
(a - b)·(c + d) = ac+ad-bc-bd (a + b)·(c - d) = ac-ad+bc-bd
Merke: Jeder Onkel tanzt mit jeder Tante.
Die Distributivgesetze (Verteilungsgesetze) regeln die Verknüpfung zwischen
Addition und Multiplikation.
Bei dem Ausmultiplizieren verwandelt man ein Produkt in eine Summe.
Bei dem Faktorisieren (Ausklammern) verwandelt man eine Summe in ein
Produkt.
Produkte
Ausmultiplizieren
Faktorisieren
(Ausklammern)
Summen
a · (b + c) ab + ac
(a + b) · (c + d) ac + ad + bc + bd
9

Übung zur Multiplikation
Blatt 8 MBM
1. 6a·4b
2. 9x·2y
3. 5c·3a
4. 9·(-5x)
5. 6·(-7ac)
6. 7a·(-2x)
7. (-10a)·(-11x)
8. (-5m)·8n
9. 4ab·(-5c)
10. (-2x)·(-3y)·3
11. (-8m)·2·(-4n)
12. (-x)·2a·(-5x)
13. 4ab·(-2c)·a
14. (-8y)·(-y)·(-10x)
15. (-a)·(-2b)·a·(-b)
16. 7(a+3)
17. 4(a+5)
18. 8(x-2y)
19. 4(9a-3b)
20. 4(3a+6b)·x
21. 8(2a-5b-2)
22. 4n(2m-n+3)
23. 2x(1-y+x)
24. 40a(3x-2a+1)
25. (-5x)(3x-2y+8z)
26. (x-4)(y-9)
27. (n-3)(a+5)
28. (m-3)(x+11)
29. (2r+s)(9x+y)
30. (16+2y)(y-1)
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1. 24ab
2. 18xy
3. 15ac
4. -45x
5. -42ac
6. -14ax
7. 110ax
8. -40mn
9. -20abc
10. 18xy
11. 64mn
12. 10ax²
13. -8a²bc
14. -80xy²
15. -2a²b²
16. 7a+21
17. 4a+20
18. 8x-16y
19. 36a-12b
20. 12ax+24bx
21. 16a-40b-16
22. 8mn-4n²+12n
23. 2x-2xy+2x²
24. 120ax-80a²+40a
25. -15x²+10xy-40xz
26. xy-9x-4y+36
27. an+5n-3a-15
28. mx+11m-3x-33
29. 18rx+8ry+9sx+4sy
30. 14y-16+2y²
10

Übung zur Multiplikation
Blatt 8b MBM
Fortsetzung:
31. (x+y)(x+y)
32. (x-3y)(x+3y)
33. (2m+n)(2m+n)
34. 2(4-a)(3-b)
35. 5(2-x)(x+3m)
36. 18a(1+b)(1-b)
37. (2x-5)(x-2y+1)
38. 2(a+2b)+3(a+b)
39. 6(2x+1)+4(x-1)
40. x(a+1)+x(1-a)
41. 10(m-3n)-2(5m+n)
42. 3(3x-y)-7(2x+2y)
43. x(x+2y)-y(x+y)
44. (a+3)(b+2)+4(a-3)
45. 7(x+2y)+2(x+1)(x+y)
46. (2m-1)(m+1)-2(m²-1/2)
47. (x+4)(x-2)+(x-1)(x+2)
48. (a-2b)(2a+b)+(a+b)(a+2b)
49. (m+n)(n-1)+(m+n)(1-n)
50. (x+t)(x+2t)-(2t-1)·t
51. (a+b)·[2(a-2b)+3]
52. (x-1)·[ (x+4)-3(1-x)]
53. (2m-n)·[2(m²-1)-m(2m+1)]
54. (a-2)·(a+2)·(x-3)
55. (1+2t)·[(1-t)(1+t)+(t-1)(1+t)]
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31. x²+2xy+y²
32. x²-9y²
33. 4m²+4mn+n²
34. 24-8b-6a+2ab
35. 10x+30m-5x²-15mx
36. 18a-18ab²
37. 2x²-4xy-3x+10y-5
38. 5a+7b
39. 16x+2
40. 2x
41. -32n
42. -5x-17y
43. x²+xy-y²
44. 6a+ab+3b-6
45. 9x+16y+2xy+2x²
46. m
47. 2x²+3x-10
48. 3a²
49. 0
50. x²+3tx+t
51. 2a²+ab-b²
52. 4x²-3x-1
53. -4m-2m²+2n+mn
54. a²x-3a²-4x+12
55. 0
11

Übung zum Ausklammern
Blatt 9 MBM
1. 3x+3y
2. 10a+20b
3. 20x+20
4. 7x+7y+14z
5. 18m-6n+12
6. 4xy+12x
7. ax+ay+2a
8. 7a-14b-49
9. 12a+12b-12
10. 15m-5n+5
11. 4ay-8ax-4az
12. 12a-48ab-24ac
13. 50t -25at
14. 3mx-2nx+x
15. 27t-45st+9tm
16. 45-45x+90y
17. 150xyz-25xy+100axy
18. 3x²+2x-ax
19. 5a+25a²+ax
20. 3x²y+2xy²
21. 10m²+5mn-5m
22. 8F1+4F2+12F3
23. π d1+π d2
24. 5a l1+15a l2-20a l3
25. 10x-50x²-60ax
26. 8(a+b)+x(a+b)
27. 15(m-n)-a(m-n)
28. a (1+x)+b(1+x)+(1+x)
29. (b-2)·x+b-2
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1. 3(x+y)
2. 10(a-2b)
3. 20(x+1)
4. 7(x+y+2z)
5. 6(3m-n+2)
6. 4x(y+3)
7. a (x+y+2)
8. 7(a-2b-7)
9. 12(a+b-1)
10. 5(3m-n+1)
11. 4a (y-2x-z)
12. 12a (1-4b-2c)
13. 25t (2-a)
14. x(3m-2n+1)
15. 9t (3-5s+m)
16. 45(1-x+2y)
17. 25xy(6z-1+4a)
18. x(3x+2-a)
19. a (5+25a+x)
20. xy(3x+2y)
21. 5m(2m+n-1)
22. 4(2F1+F2+3F3)
23. π (d1+d2)
24. 5a ( l1+3 l2-4 l3)
25. 10x(1-5x-6a)
26. (a+b)(8+x)
27. (m-n)(15-a)
28. (1+x)(a+b+1)
29. (b-2)(x+1)
12

Übung zum Ausklammern
Blatt 9b MBM
30. 2m+2n+x(m+n)
Fortsetzung:
31. (4a+b)(x+y)+(2a-b)(x+y)
32. (a+2b)(10x-1)-(x+4)(a+2b)
33. (3a-b)(x+1)-3a+b
34. ma+mb+2a+2bx
35. 3a+ax+6b+2bx
36. 3ax+6xy+a+2y
37. 5n+15m+2mn+6m²
38. xy+4y+9x+36
39. an+5n+3a+15
40. mx-3x+11m-33
41. ax-4x-3a+12
42. 2mx-2m-x+1
43. 3-3x-at +atx
44. F1 l1+F2 l1+ F1 l2 + F2 l2
45. 3nx+x²+3ny+xy
46. 2ax-2a+3bx-3b
47. a(x-1)-x(1-x)
48. 10(a -2b)-3(2b-a)
49. 4(1-x)+a (1-x)+4(x-1)
50. 2ax+2a y+2a+by+bx+b
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30. (m+n)(2+x)
31. (x+y)·6a=6a (x+y)
32. (a+2b)(9x-5)
33. (3a-b)[(x+1)-1]=x(3a-b)
34. (m+2)(a+b)
35. (a+2b)(3+x)
36. (a+2y)(3x+1)
37. (n+3m)(5+2m)
38. (x+4)(y+9)
39. (a+5)(n+3)
40. (m-3)(x+11)
41. (a-4)(x-3)
42. (x-1)(2m-1)
43. (1-x)(3-at)
44. ( l1+ l2)(F1+F2)
45. (3n+x)(x+y)
46. (2a+3b)(x-1)
47. (x-1)(a+x)
48. (a-2b)(10+3)=13(a-2b)
49. (1-x)(4+a -4)=a (1-x)
50. (x+y+1)(2a+b)
13

Blatt 10 MUH
DIE BINOMISCHEN FORMELN
Definition: Binom = Summe mit 2 Gliedern
(a+b)·(a+b) = a²+ab+ba+b² = a²+2ab+b² 1. binomische Formel
+2ab
(a-b)·(a-b) = a²-ab-ba+b² = a²-2ab+b² 2. binomische Formel
-2ab
(a+b)·(a-b) = a²-ab+ba-b² = a²-b² 3. binomische Formel
- a b + a b =0
(-a-b)· (-a-b) = (-1)· (a+b)· (-1)· (a+b) = (-1)· (-1) (a+b)· (a+b) = a²+2ab+b²
Wir fassen zusammen!
(a+b)² = a²+2ab+b² 1. binomische Formel
(a-b)² = a²-2ab+b² 2. binomische Formel
(a+b)·(a-b) = a²-b² 3. binomische Formel
Binome und das Pascalsche Dreieck
14

Blatt 10b MUH
DIE BINOMISCHEN FORMELN
Geometrische Darstellung der binomischen Formel:
(a+b)(a+b)=a²+2ab+b² (a+b)² ist also NICHT a²+b² !
(a-b)(a-b)=a²-b²-2(ab-b²)=a²-b²-2ab+2b²=a²-2ab+b²
(a-b)(a+b)=a²-(ab-b²) -b²+(ab-b²) =a²-b²
15

Übung zu den binomischen Formeln
Blatt 11 MBM
Bringe auf Summenform!
1. (x+6)²
2. (9-y)²
3. (4a+b)²
4. (5x+2y)²
5. (3c-d)²
6. (8n-5)²
7. (m-1/2)²
8. (2a-3)²
9. (2a-3)(2a+3)
10. (5x-7y)(5x+7y)
Bringe auf Produktform!
11. x²+2x+1 = ( )²
12. 16m²-40mn+25n² =
13. 4x²+12x+9 =
14. 9r²-1 =
15. 64a²-25b²=
Ergänze zu vollständigen Quadraten!
16. x²+8x+ = ( )²
17. x²-10x+ =
18. 4m²+8m+ =
19. x²+ +4y² =
20. 25a²- +49b² =
Bringe auf Summenform!
21. (a+b)²-(a²+b²)
22. (x+y)²-(x²-y²)
23. (a-b)²-(a²-b²)
24. (a+b)²-(a-b)²
25. (x+y)²+(x-y)²
Suche Fehler in den Lösungen!
1. x²+12x+36
2. 81-18y+y²
3. 16a²+8ab+b²
4. 25x²+20xy+4y²
5. 9c²-6cd+d²
6. 64n²-80n+25
7. m²-m+1/4
8. 4a²-12a+9
9. 4a²-9
10. 25x²-49y²
11. (x+1)²
12. (4m-5n)²
13. (2x+3)²
14. (3r+1)(3r-1)
15. (8a+5b)(8a-5b)
16. x²+8x+16=(x+4)²
17. x²-10x+25=(x-5)²
18. 4m²+8m+4=(2m+2)²
19. x²+4xy+4y²=(x+2y)²
20. 25a²-70ab+49b²=(5a-7b)²
21. 2ab
22. 2xy+2y²
23. 2b²-2ab
24. 4ab
25. 2x²+2y²
16

Übung zu den binomischen Formeln
Blatt 11b MBM
26. 2(x+y)²+4(x-y)²
27. (m-n)(m+n)-(n²+m²)
28. (m+n)(m-n)-(m-n)²
29. (x+2y)(x-2y)-(x+y)(x-y)
30. (3x+1)²-(x-2)²
31. (a-6)²-(a+3)²
32. 5(m-1)²+3(m+2)(m-2)
33. 8(2x+1)²-16(x-1)²
34. -2(a+4b)²-8(a-2b)²
35. 10(x+5)²-5(x-5)²
36. 2(x-1)²-(x+1)²- (x+2)²
37. (m-n)(m+n)-4(m-2n)²
38. 2(x+y)3(x-y)-3(x+y)²
Fortsetzung:
39. (x+y)²[(m-n)²+n(2m-n)-m²]
Berechne die Formel für:
40. (a+b)³ durch (a+b)²(a+b)
41. (a-b)³ durch (a-b)²(a-b)
Suche Fehler in den Lösungen!
26. 6x²-4xy+6y²
27. -2n²
28. 2nm-2n²
29. -3y²
30. 8x²+10x-3
31. -18a+27
32. 8m²-10m-7
33. 16x²+64x-8
34. -10a²+16ab-64b²
35. 5x²+150x+125
36. -10x-3
37. -3m²+16mn-17n²
38. 3x²-6xy-9y²
39. 0
40. a³+3a²b+3ab²+b³
41. a³-3a²b+3ab²-b³
17

Blatt 12 MUH
DIVISION / BRUCHRECHNUNG
Divident : Divisor = Quotient(-wert)
20 : 4 = 5
Darstellung als Bruch
20
= 5
4
Zähler
Zähler 1 1 4
Bruchstrich =
Nenner 3
3 12
Nenner
Der Nenner gibt die Größe des Bruchteils an,
der Zähler zählt die Anzahl der Bruchteile!
1 4
bedeutet, bedeutet;
3
12
teile ein Ganzes in 3 gleichgroße teile ein Ganzes in 12 gleichgroße
Teile und nehme davon 1 Stück. Teile und nehme davon 4 Stück.
Man unterscheidet echte und unechte Brüche.
5
echter Bruch
8
Der Zähler ist kleiner als der Nenner und es gibt kein Ganzes. (Der Wert ist
immer kleiner 1)
7 6 1 1
= ( + ) = 3 unechter Bruch
2 2 2 2
Der Zähler ist größer als der Nenner und es gibt dann mindestens ein Ganzes.
a a 0
SONDERFÄLLE: = a ; = 1 ; = 0
1 a a
a
MERKE: Die Division durch Null ist nicht erlaubt!
0
18

Blatt 12b MUH
VORZEICHENREGELN:
REGELN ZUR BRUCHRECHNUNG
Haben Zähler und Nenner gleiche Vorzeichen, dann ist das Ergebnis positiv!
+ −
= = +
+ −
Haben Zähler und Nenner ungleiche Vorzeichen, dann ist das Ergebnis negativ!
− +
= = −
+ −
RECHENREGELN:
Kürzen von Brüchen
Wir kürzen einen Bruch, indem wir Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl
dividieren.
6
8
=
6 : 2
8:
2
Erweitern von Brüchen
Wir erweitern einen Bruch, indem wir Zähler und Nenner mit derselben Zahl
multiplizieren.
=
3
4
3 3 ⋅ 3 9
= =
2 2 ⋅ 3 6
Gleichnamig machen von Brüchen
Zwei oder mehr Brüche erhalten durch kürzen oder erweitern denselben Nenner.
Addieren von Brüchen
Wir addieren gleichnamige Brüche, indem wir die Zähler addieren und den
Nenner beibehalten (Nenner bleiben unverändert). Ungleichnamige Brüche
werden zuerst gleichnamig gemacht und dann addiert.
a b a + b
3 2 3 + 2 5
+ = Beispiel: + = =
n n n
7 7 7 7
Subtrahieren von Brüchen
Wir subtrahieren gleichnamige Brüche, indem wir die Zähler subtrahieren und
den Nenner beibehalten (Nenner bleiben unverändert). Ungleichnamige Brüche
werden zuerst gleichnamig gemacht und dann subtrahiert.
a b a − b
5 3 1 5 + 3 −1
7
− = Beispiel: +
− = =
n n n
8 8 8 8 8
19

Blatt 12c MUH
REGELN ZUR BRUCHRECHNUNG
Multiplikation (Bruch mit natürlicher Zahl).
Wir multiplizieren einen Bruch mit einer natürlichen Zahl, indem wir den Zähler
mit der Zahl multiplizieren und den Nenner beibehalten (Nenner bleibt
unverändert).
a a ⋅ n
⋅ n = Beispiel:
b b
5 5 ⋅ 3 15
⋅ 3 = =
8 8 8
Multiplikation (Bruch mit Bruch).
Wir multiplizieren einen Bruch mit einem Bruch, indem wir den Zähler mit dem
Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren.
a c a ⋅ c
⋅ = Beispiel:
b d b ⋅ d
5
8
3 5 ⋅ 3 15
⋅ = =
2 8 ⋅ 2 16
Division (Bruch durch natürliche Zahl).
Wir dividieren einen Bruch durch eine natürliche Zahl, indem wir den Nenner
mit der natürlichen Zahl multiplizieren. Der Zähler bleibt unverändert.
a a
: n = Beispiel:
b b ⋅ n
5
: 3
8
5
= =
8 ⋅ 3
Division (Bruch durch Bruch).
Wir dividieren einen Bruch durch einen Bruch, indem wir den ersten Bruch mit
dem Kehrwert des zweiten Bruches multiplizieren.
a c a d a ⋅ d
: = ⋅ = Beispiel:
b d b c b ⋅ c
5
24
5 3 5 2 5 ⋅ 2 10 5
: = ⋅ = = = gekürzt
8 2 8 3 8 ⋅ 3 24 12
Division (natürliche Zahl durch Bruch).
Wir dividieren eine natürliche Zahl durch einen Bruch, indem wir die Zahl mit
dem Kehrwert des Bruches multiplizieren.
b c a ⋅ c
a : = a ⋅ = Beispiel:
c b b
5 8 3 ⋅ 8
3 : = 3 ⋅ = =
8 5 5
Potenzieren eines Bruches.
Wir potenzieren einen Bruch, indem wir Zähler und Nenner potenzieren.
⎛
⎜
⎝
a
b
⎞
⎟
⎠
3
a³
=
b³
Beispiel:
2 3
⎛
⎞
⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
=
2³
3³
=
8
27
24
5
20

21
Übung zum Kürzen und Erweitern von Brüchen
Blatt 13 MBM
1. 4
2a
2. 15
5b
3. 7
14x
4. 3
12y
5.
x
x
50
25
6.
y
xy
13
26
7.
n
mn
45
15
8.
ab
b
a
12
²
18
9.
²
100
²
20
n
mn
10.
xyz
y
x
10
²
²
5
−
11.
)
(
3
48
b
a +
−
12.
20
)
(
5 y
x +
13.
m
m
m
64
)
1
(
32 +
14.
11
22
22 y
x −
15.
18
9
9 b
a +
16.
y
x
a
4
32
16 −
17.
20
5
2 =
18.
21
3
2 =
19.
32
8
13 =
20.
b
b
a
12
3
5 =
21.
bx
x
a
22
11
20 =
22.
a
x
24
12
5 =
23.
m
m
21
7
15 =
24.
ax
ab
15
5
13
=
25.
10
5
)
(
24
=
+ b
a
26.
35
7
)
(
2
=
− y
x
27.
a
n
m
24
8
)
(
3
=
+
28.
)
(
9
3
16
b
a
am
+
=
29.
6
3
3
12
=
+ b
a
30.
64
8
5
4
=
+ y
x
31.
56
7
20
=
− n
m
32.
a
y
x
27
9
2
15
=
−
33.
)
(
36
)
(
27
a
m
x
m
a
+
+
34.
13
39
65
26 x
b
a −
−
35.
2
2
6
−
+
− b
a
36.
y
b
a
b
a
xy
)
(
75
)²
²(
60
−
−
37.
)²
(
75
²
)
(
90
m
a
x
x
m
a
+
+
38.
b
a
b
ab
a
2
4
²
4
²
4
+
+
+
39.
xy
x
x
4
12
²
4 +
40.
x
y
x
9
)
2
)(
18
( −
−
41.
a
b
a
b
a
4
)²
(
)²
( −
−
+
42.
x
y
y
x
−
−
3
15
5
43.
x
a
x
ax
²
9
3
9
−
44.
)²
)²(
(
15
)
(
5
²)
²
(
2
y
x
y
x
y
x
x
y
x
−
+
−
⋅
−
45.
x
bx
ax
21
14
28 −
46.
x
ax
x
x
6
4
10
²
2 +
−
47.
b
a
b
a
b
a
2
2
)²
(
+
−
−
+
48.
)
2
(
9
)
(
)²
(
3
)
10
5
(
n
m
x
y
x
y
x
n
m
+
⋅
−
−
⋅
+

Suche Fehler in den Lösungen zum Kürzen und Erweitern von Brüchen!
Blatt 13b MBM
a
1.
2
b
2.
3
3. 2x
4. 4y
1
5.
2
6. 2x
m
7.
3
3a
8.
2
m
9.
5
10.
xy
−
2z
11. −
a + b
16
x + y
12.
4
m + 1
13.
2
14. 2x-2y
a + b
15.
2
16.
4a − 8x
y
8
17.
20
14
18.
21
52
19.
32
20.
21.
22.
20 a
12b
40ab
22bx
10ax
24a
45m²
23.
21m
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
39a²
bx
15ax
48( a + b)
10
10( x − y)
35
9 a(
m + n)
24a
48am(
a + b)
9(
a + b)
24a + 6b
6
32x + 40y
64
160m − 8n
56
45ax − 6ay
27a
3x
33.
4
34. 2a-5b-3x
35. 3a-b
4xy( a − b)
36.
5
37.
38.
39.
6x
5(
a + m)
2a + b
2
x + 3
y
40. 4y
41. b
42. -5
3a
43.
1 − 3a²
44.
45.
46.
47.
48.
2x
3(
x +
y)
4a − 2b
3
x − 5 + 2a
3
a + b −1
2
5( x −
y)
3x
22

Übung zur Addition und Subtraktion von Brüchen
Blatt 14 MBM
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
1 3
+
8 8
3
+
10
5
7
7
6
+
−
6
7
5
10
11
6
−
+
+ +
3 3
b a
3
7
1
6
2
3
8m 5m
−
9 9
3a 7a
+
5 5
−
4x x 6x
− +
9 9 9
5
6
4a + b a + 3b
+
2 2
5m − n 2m
− n
+
4 4
x − 2y 4y
−
3 3
a − 2b + c c + a
−
9 9
2x + 9y
4y
− 3x
−
5 5
20a −1
2 − a
−
3 3
16 − 5m
3 + 7m
+
x x
13x
−1 5 − 2x
−
a + b a + b
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
3m
+ n m − n
−
m + n m + n
2
+
7
4
−
5
2
+
5
3
14
1
15
4
3
3 1
−
8 3
2
3
3
14
+
−
1
6
2
7
a a
+
2 4
−
−
2x 4x
+
3 9
4m m
−
7 21
5
12
11
28
5n n 5n
+ −
6 12 36
a + b 3a
+
2 4
2x + y 4x
− y
+
3 15
m + 4n 4m
+ 2n
−
8 4
12r − s r + 2s
−
10 5
Suche Fehler in den
Lösungen!
15x
− 6
16.
a + b
17. 2
1
18.
2
1
1.
2
4
2.
5
8
3.
7
4
4. −
3
a + b + 2
5.
3
m
6.
3
7. 2a
8. x
5a + 4b
9.
2
7m − 2n
10.
4
x− 6y
11.
3
2b
12. −
9
13. x+y
14. 7a-1
19 + 2m
15.
x
11
19.
15
26
20.
15
1
21.
24
5
22.
12
13
23. −
28
3a
24.
4
10x
25.
9
11m
26.
21
7n
27.
9
28.
29.
30.
31.
5a + 2b
4
14x + 4y
15
7m
−
8
2r −
s
2
23

Übung zur Addition und Subtraktion von Brüchen
Blatt 14b MBM
32.
33.
Fortsetzung:
18x −11y
y x + 2y
+ −
9 3 5
m − 2n n 3m
+ n
− +
3 7 6
4( x − 2y)
y 5(
2x
− y)
34. + −
5 15 10
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
n + x n − x
−
2n
2n
3 a + 5b
5b
+ 8a
−
a a
x + y x − y
−
2 2
x + 7 3 x − 6
− +
− 2 2 2
mx − my nx − ny
+
m + n m + n
17ax
− 5ab
2ax
−11ab
−
5x
+ 2b
5x
+ 2b
7x
7
+
x + 1 x + 1
7x
− 5y
8x
+ 3y
8x
+ 5y
− −
x − y x − y x − y
a + 2 2 − 2a
+ 5b
−
5b
− 3a
5b
− 3a
3x
3ax
+ −
4b
8ab
x
2a
45.
46.
47.
48.
49.
50.
4a
− 5b
2b
− a
+
3(
a + b)
a + b
n − 2m
m + n
+
x − y y − x
m + 1 m + 1
+
x − a a − x
m −1 m + 1
−
x − a a − x
a + 2b
7b
+
m − n 4n
− 4m
3x
−1
1 − 2x
−
3a
− 3b
2b
− 2a
Lösungen - Suche Fehler!
32.
33.
34.
42.
44.
46.
81x − 58y
45
35m − 27n
42
− 6x − 31y
30
− 9x
−13y
9x
+ 13y
=
x − y y − x
x(
9a
− 4b)
8ab
3m
3m
− =
x − y y − x
Lösungen –
Suche Fehler!
x
35.
n
36. -5
37. y
38. -8
39. x-y
40. 3a
41. 7
43. -1
1
45.
3
47. 0
2m
48.
x − a
49.
50.
4a
+ b
4(
m−n)
1
6(
a − b)
ENDE leider noch
nicht in Sicht!
24

Übung zur Multiplikation von Brüchen
Blatt 15 MBM
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
9 8
⋅
4 5
4 11
⋅
11 2
12
7
⋅
2
5
⋅
1 1
4 ⋅ ⋅
7 2
3
10
6
7
⋅
⋅
5
12
5
14
⋅
7
6
⋅
3
8
7
12
4 5
2 ⋅ ⋅ ⋅
5 7
1
8
5 4
8. 3 ⋅ ⋅ ⋅15
6 9
9.
⎛ 2 ⎞
3 ⋅ ⎜−
⎟ ⋅
⎝ 3 ⎠
1
5
⎛ 3⎞
⎛ 2 ⎞
10. ⎜−
⎟ ⋅ ⎜−
⎟
⎝ 8 ⎠ ⎝ 15 ⎠
⎛ 1 ⎞
⎜−
⎟
⎝ 9 ⎠
11. ( − 9) ⋅ ⋅ ( − 4)
21
⎛ 2 ⎞
−
12. ( − 3 ) ⋅ ⋅ ⎜ ⎟
10 ⎝ 7 ⎠
13.
14.
15.
3a 2a
⋅
2 3
5x 18y
⋅
2y
25
m 8n²
2n 5m
⋅
16.
17.
18.
2y
1 30x
⋅ ⋅
5x
y y
2
( a + b)
5
10
⋅
3(
a + b)
5(
x − 2y)
21x
⋅
7 x − 2y
19.
13 ⋅ ( 5m
− n)
6a
⋅
3 m ⋅ ( 5m
− n)
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
2a
+ 2b
21
⋅
3 8(
a + b)
5x
−10y
10
⋅
4 x − 2y
a + 2b
10
⋅
4 ( a + 2b
)²
m + x 5m
+ 5x
8 ⋅ ⋅
3 20
3x
− y 2x
+ 2y
⋅
x + y 3x
− y
a − 5 1
⋅
3 10 − 2a
( x − y)²
10
⋅
5 y − x
5m
− n 2m
− 2n
⋅
n − m 3n
−15m
1
28. ⋅ ( 8x²
− 2x
−16)
2x
29. )
1 1
xy ⋅ ( −
x y
30.
( m + 2n)²
x²
1
⋅ ⋅
x m + n 2(
m + 2n)
31.
13 + 26x
12x
⎛ 1 ⎞
⋅ ⋅ ⎜−
⎟
9 2x
+ 1 ⎝ 39 ⎠
32.
4a
− 5 ( a + 5)²
1
⋅ ⋅
a + 5 2 5 − 4a
33. ( a + 1)
3x
+ 12y
15x
− 3
a²
− 2a
+ 1
⋅
2a²
− 2
34. ⋅ ( 5x²
− x)
x²
−1
⎛ 15 9 ⎞
35. ⋅ ⎜ − ⎟
3 ⎝ x + 1 x −1
⎠
36. – 40.
Übung zum Ausklammern!!!
36.
37.
38.
39.
40.
a + b 2
+
a − b a − b
xy²
x²
y
+
x −1 x −1
1 1
+
x( x − y)
y(
y − x)
2x
+ 4 x + 2
−
x²
−1
( x −1)²
m² −
9 6 − 2m
−
m²
nm²
25

Suche Fehler in den Lösungen zur Multiplikation von Brüchen!
Blatt 15b MBM
18
x ⋅ ( m + 2n)
1.
30.
5
2 ⋅ ( m + 2n)
2. 2
4x
31. −
9
4
3.
5
+ 5
32. −
2
2
4.
7
a
a −1
33.
2
x ⋅ x + 4y
3
5.
64
5
6.
28
1
7.
7
50
8.
3
2
9. −
5
1
10.
20
11. − 4
9
12.
5
13. a²
9x
14.
5
4n
15.
5
12
16.
y
4
17.
3
18. 15x
26 a
19.
m
7
20.
4
25
21.
2
22.
2 (
5
a + 2b
)
2( m + x)²
23.
3
24. 2
1
25. −
6
26. − 2( x − y)
= 2(
y − x)
2
27.
3
8
28. 4x − 1 −
x
29. y-x
34. ( )
35. 2x-8
36. – 40. Lösungen zum
Ausklammern!!!
Suche Fehler!
1
36. ⋅ ( a + b + 2)
a − b
xy
37. ⋅ ( x + y)
x −1
1 ⎛ 1 1 ⎞
38. ⋅ ⎜ − ⎟
x − y ⎝ x y ⎠
x + 2 ⎛ 2 1 ⎞
39. ⋅ ⎜ − ⎟
x²
−1
⎝ x + 1 x −1
⎠
m − 3
⎛ 2 ⎞
40. ⋅ ⎜m
+ 3 + ⎟
m²
⎝ n ⎠
26

27
Übung zur Division von Brüchen
Blatt 16 MBM
1.
2
1
:
7
4
2.
15
7
:
5
14
3. 8
:
9
4
4.
5
1
:
5
5.
3
2
:
27
1
:
9
2
6.
15
2
:
5
4
:
10
7.
22
39
:
26
11
:
13
4
8.
2
3
:
11
:
11
42
9.
3
2
:
4
1
2
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
10.
8
9
:
2
3
4
21
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
11. 9
:
6
5
3
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
12.
10
3
:
10
1
5
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
13.
40
1
:
5
1
4
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
14.
70
9
:
35
1
7
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
15.
22
21
:
1
11
4
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
16. ⎟ ⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
3
1
9
2
:
7
3
4
1
17.
15
7
:
5
14 x
y
x
18.
10
9
:
5
27 b
b
a
19. a
b
a
:
13
:
13
20.
n
m
m
n
30
1
:
1
:
15
14
21.
21
)
(
10
:
3
)
(
4 y
x
y
x −
−
22.
1
1
:
1 +
+ y
y
x
23.
3
2
2
:
2
x
a
x
a −
−
24.
15
2
:
5
2
4 b
a
b
a +
+
25.
y
x
y
x
y
x
y
x
4
8
5
50
:
2
10
+
−
+
−
26.
6
:
3
a
b
b
a −
−
27.
35
1
:
3
:
7
15
15 −
− a
a
28.
)²
1
(
²
2
:
1 +
+ x
m
x
m
29.
4
:
2
²
² n
m
n
m −
−
30.
n
a
n
a
1
²
1
−
+
31.
n
b
a
n
b
a
m
−
+
−
+
⋅
1
)²
(
1
32. mn
n
x
m
x +
33.
1
1
1
²
1
²
+
−
+
−
x
x
x
x
34.
b
a
a
b
a
b
b
a
1
1 +
+
+
+
35.
²
²
1
y
x
ab
y
x
b
y
x
a
−
+
−
+
+
36.
2
²
² m
n
m
n
n
m
−
−
37.
x
y
x
y
x
x
y
y
y
x
+
+
+
+
38.
b
a
a
b
b
b
a
1
1
2
2
2
−
+
−

Suche Fehler in den Lösungen zur Division von Brüchen
Blatt 16b MBM
6a
18.
b²
1
19.
b
m ⋅ ( a + b)
1 − n
⋅
n −1
( a + b)²
31.
m
= −
a + b
8
1.
7
2. 6
1
3.
18
4. 25
5. 9
375
6.
4
16
7.
39
28
8.
121
9
9.
8
10. 6
1
11.
6
12. 1
13. 18
14. 2
20. 28n²
14
21.
5
22. x
3
23.
4
24. 6
4
25.
5
26. -2
27. -25
x + 1
28.
2m
( m + n)(
m − n)
⋅ 4
29. 2(
m − n)
= 2(
m + n)
( a + 1)
⋅ n
n ⋅ ( a + 1)
⋅ ( a −1)
30.
1
=
a −1
nx + mx 1
⋅
mn mn
32.
x(
n + m)
=
m²
n²
( x + 1)(
x −1)(
x + 1)
( x²
+ 1)(
x −1)
33.
( x + 1)
²
=
x²
+ 1
[ a(
a + b)
+ b(
a + b)
] ⋅ ab
34. ( a + b)
⋅ ab
= a + b
a(
x − y)
+ b(
x + y)
35.
x²
− y²
+ ab
m²
− n²
2
⋅
nm n²
− m²
36.
2
= −
mn
( )
37.
( )
2
15. −
3
9
16. −
28
6
17.
y
1
x²
+ xy + y²
⋅ xy
=
xy ⋅ x²
+ xy + y²
( a²
−
2ab
+ b²
) ⋅ ab
=
2ab
⋅ ( b − a)
( a − b)
² ( a − b)
²
38. =
2(
b − a)
− 2(
− b + a)
a − b b − a
= − =
2 2
28