Mathematische Modellierung

Kapitel 3
Wärmeleitung
In diesem Abschnitt behandeln wir die mathematische Modellierung von Wärmeleitprozessen.
Anhand dieser diskutieren wir die Grundprinzipien der Thermodynamik und wichtige
Konzepte wie Diffusion, Konvektion, und Strahlung.
3.1 Thermodynamik
Das Grundkonzept der Thermodynamik ist jenes der Wärme, das einer ungeordneten Bewegung
von Molekülen entspricht. Dieser Bewegung ist eine kinetische Energie zugeordnet, die
als Wärmeenergie bezeichnet wird. Die Temperatur ist ein lineares Maß für den Mittelwert
dieser Energie. Wenn m die Masse der Moleküle und v ihre Geschwindigkeit bezeichnet, dann
ist der Druck p (Kraft pro Volumen) durch
pV = 2
3 NEkin = 2
3 N
�
m
2 v2
�
beschrieben, wobei V das Volumen, N die Anzahl der Teilchen, und Ekin die mittlere kinetische
Energie der Teilchen bezeichnet. Verwendet man nun die Zustandsgleichung für ein
ideales Gas
pV = NkT
mit der Temperatur T und der Boltzmann-Konstante k = 1, 38 × 10 −23 J/K, so erhält man
die Relation
T = m
3k v2 .
Die weiteren wichtigen Konzepte der Thermodynamik sind energetischer Natur:
• Die innere Energie U bezeichnet die kinetische Energie der Teilchen des betrachteten
Systems, die Energie der chemischen Bindungen der Teilchen des Systems, und ähnliche
Effekte.
• Die Enthalpie H ist die Summe aus innerer Energie und Volumsarbeit, d.h., H = U +pV .
Die Erhaltung der Energie wird im ersten Hauptsatz der Thermodynamik beschrieben, der besagt,
dass die Änderung der inneren Energie (∆U) gleich der Summe aus zugeführter Wärmemenge
(∆Q) und geleisteter Arbeit (−∆W ) ist. Da die Arbeit durch W = pV gegeben ist,
und somit U + W = H gilt, können wir die Energieerhaltung als
∆(U + W ) = ∆H = ∆Q (3.1)
13