Mathematische Modellierung

Sei nun W0 ⊂ Ω ein Teilgebiet zum Zeitpunkt t = 0. Die Funktion φ : W × R + → R 3
beschreibt die Änderung der Partikelposition
X
Omega 0
Wt := {φ(X, t) : X ∈ W0} = φ(W0, t).
Phi(X,t)
Omega t
Für die Beschreibung der Strömung erweisen sich die folgenden Begriffe als nützlich:
• Die Bahnlinie ist die Menge der Raumpunkte x(X0, t), welche von einem Teilchen X0
zu verschiedenen Zeiten t eingenommen wird.
• Die Stromlinie ist die Kurve, deren Tangente jeweils in Richtung des jeweiligen Geschwindigkeitsvektors
zeigt.
Bei stationären Strömungen fallen Bahnlinie und Stromlinie zusammen.
Wir bezeichnen die Geschwindigkeit des Partikels mit u(x, t). Für feste Zeiten t ist u(x, t)
ein Vektorfeld auf Ω. Dann ist
x : R + → R 3
t → φ(X, t)
die Partikelbahn und die Geschwindigkeit ist gegeben durch
u(x, t) = ∂φ
(X, t), mit x = φ(X, t).
∂t
30
00 11
x
u
x