Mathematische Modellierung

Der Gesamtdrehimpuls L = �
i Li erfüllt nun
dL
dt
�
= (ri − r0) × dpi
�
+
dt
i
= �
⎛
(ri − r0) × ⎝ �
i
j
i
gij
⎞
dri
× pi
�dt �� �
= 1
m i pi×pi=0
⎠ + �
(ri − r0) × fi
� �� �
i
= �
ri ×
i,j
ri − rj
|ri − rj| Hij(|ri
⎛
− rj|) − r0 × ⎝ � ri − rj
|ri − rj|
i,j
Hij(|ri
⎞
− rj|) ⎠ +
� �� �
=0, siehe oben
�
i
= �
(ri − rj) ×
i>j
ri − rj
Hij(|ri − rj|) + M
|ri − rj|
� �� �
=0
= M,
d.h., die Änderung des Drehimpulses ist gleich dem Drehmoment.
Zum Abschluß betrachten wir auch noch die Energieerhaltung. Die kinetische Energie des
Systems ist gegeben durch
T = �
i
|r
mi
′ i |2
2
=Mi
� |pi|
= 2
,
2mi
und die von den äusseren Kräften pro Zeit verrichtete Arbeit (Leistung) ist
W = �
r ′ i · Fi = �
i
Weiters lässt sich unter der obigen Form der Wechselwirkung eine potentielle Energie der
Form
V = − 1 � �
Vij(|ri − rj|)
2
i
j
definieren, wobei Vij eine Stammfunktion von Hij ist. Die Gesamtenergie des Systems ergibt
sich dann als E = T + V . Für die Änderung der kinetischen Energie erhalten wir
dT
dt
= �
i
pi
mi
· dpi
dt
= �
i
dri
dt
i
i
· dpi
dt
pi
mi
· Fi.
= �
�
dri
dt
i,j
· ri − rj
|ri − rj| Hij(|ri
�
− rj|) + � pi
·
mi
i
dpi
dt
= 1 �
�
(
2
dri drj
−
dt dt ) · ri − rj
|ri − rj| Hij(|ri
�
− rj|) + W
= 1
2
i,j
�
i,j
= − dV
dt
d
dt Vij(|ri − rj|) + W
+ W,
24
Mi