Photovoltaik Physik und Technologie der Solarzellen - IPHT Jena

Institut für Photonische Technologien 

Albert-Einstein-Straße 9 

07745 Jena 

PD Dr. rer. nat. habil. F. Falk 

Tel. 03641 206438 

e-mail: fritz.falk@ipht-jena.de 

Photovoltaik 

Physik und Technologie der Solarzellen 

Fritz Falk 

Wahlvorlesung mit Übung 

WS 2010/11 

HS3 

Helmholtzweg 3 

Dienstag 14:00

Inhalt 

1 Die Energiewirtschaft und ihre Folgen 1 

1.1 Energieumsatz gestern, heute und morgen 1 

1.2 Vorräte an Energieträgern 2 

1.3 Das CO 2-Problem 3 

1.4 Energieszenarien 6 

1.5 Einsatz von Solarzellen und Anforderungen 7 

2 Sonneneinstrahlung 9 

3 Grundlagen der Photovoltaik 14 

3.1 Geschichte der Photovoltaik 14 

3.2 Grundprinzipien der Solarzellen 16 

3.3 Die Rolle der Bandlücke 18 

3.4 Absorptionskoeffizient 22 

3.5 Kennlinien von Solarzellen 23 

3.6 Übersicht über Solarzellentypen 24 

4 Halbleiter I: Gleichgewicht 26 

4.1 Kristallstruktur 26 

4.2 Bandstruktur 28 

4.3 Dynamik der Kristallelektronen 31 

4.4 Elektronen und Löcher 33 

4.5 Fermiverteilung und Ladungsträgerdichte in undotierten Halbleitern 35 

4.6 Dotierte Halbleiter 39 

4.7 Leitfähigkeit und Hall-Effekt 43 

4.8 Raumladungen, Felder, Ströme 46 

4.9 Inhomogenitäten im Gleichgewicht 47 

4.9.1 Oberfläche und äußere Felder 47 

4.9.2 p-n-Übergang 51 

4.9.3 Schottky-Kontakte 53 

4.9.4 Heteroübergänge 53 

5 Halbleiter II: Nichtgleichgewicht 56 

5.1 Optische Absorption 56 

5.2 Ladungsträger im Nichtgleichgewicht: Quasi-Fermi-Niveaus 57 

5.3 Generation und Rekombination 59 

5.4 Ladungsträgerbilanz im Nichtgleichgewicht 61 

5.4.1 Grundgleichungen 61 

5.4.2 Photoleitung 62 

5.4.3 Diffusionslängen 62 

5.5 p-n-Übergang unter äußerer Spannung 64 

5.6 p-n-Übergang unter Beleuchtung: Solarzelle 68 

5.7 Thermodynamik der Solarzelle und maximaler Wirkungsgrad 75 

Inhalt F. Falk, Photovoltaik WS 2010/11

- 1 - 

1 Die Energiewirtschaft und ihre Folgen 

1.1 Energieumsatz gestern, heute und morgen 

Der Umsatz an Primärenergie durch die Menschheit betrug 2008 (Key World Energy Statistics 

2010, IEA) 

weltweit 5,1@10 20 J Deutschland 1,4@10 19 J 

An elektrischer Energie wurden 2008 verbraucht 

weltweit 6,7@10 19 J Deutschland 2,1@10 18 J 

Die Steigerungsraten zwischen 1960 und 1994 betrugen weltweit 3% pro Jahr bei der Primärenergie, 

5% pro Jahr bei der elektrischen Energie. 

Pro Einwohner wurden 2008 an Primärenergie verbraucht 

weltweit 7,6@10 10 J entsprechend 2,4 kW 

Deutschland 1,7@10 11 J entsprechend 5,4 kW 

Mit der Nahrung nimmt der Mensch ca. 120 W auf. 

Abb. 1.1 zeigt, wie sich der weltweite Energieumsatz im letzten Jahrhundert entwickelt und auf 

Energieträger verteilt hat. In Abb. 1.2 ist die prognostizierte Entwicklung über die nächsten 

Jahrzehnte dargestellt. Der Anteil der Energieträger an der Erzeugung elektrischer Energie ist 

in Tabelle 1.1 zusammengestellt. Etwa 60% der elektrischen Energie wird aus fossilen Energieträgern 

gewonnen. 

Abb. 1.1: Energieumsatz weltweit 

Tab. 1.1: Anteil der Energieträger an der Erzeugung elektrischer Energie weltweit und in 

Deutschland (2008) 

Steinkohle Braunkohle Öl Erdgas Kernenergie Wasser 

Deutschland 21% 24% 1% 13% 24% 4% 

weltweit 41% 6% 21% 14% 16% 

1 Die Energiewirtschaft und ihre Folgen F. Falk, Photovoltaik WS 2010/11

- 2 - 

Abb. 1.2: Prognostizierte Entwicklung des weltweiten Energieumsatzes nach 

Primärenergiequellen (Shell Studie 1999) 

In den Industrieländern ist keine erhebliche Steigerung des Energieumsatzes zu erwarten. Der 

Zuwachs wird im wesentlichen durch die wirtschaftliche Entwicklung in den bevölkerungsreichen 

Schwellenländern wie China und Indien bedingt sein. Eine offene Frage ist, wie weit 

Maßnahmen zur effektiveren Energienutzung die Steigerungsraten reduzieren werden. 

1.2 Vorräte an Energieträgern 

Tab. 1.2 zeigt die nach heutiger Kenntnis wirtschaftlich nutzbaren Vorräte und die möglicherweise 

darüber hinaus überhaupt vorhandenen Vorräte verschiedener Energieträger. Unter der 

Annahme einer Steigerungsrate des Gesamtverbrauchs von 3% pro Jahr und einem gleichbleibenden 

Anteil am Energieumsatz ist in Tab. 1.2 aufgeführt, wie lange die Vorräte der 

einzelnen Energieträger ausreichen. 

Wenn der Energieumsatz mit der heutigen Steigerungsrate weiter geht und die Energieträger 

mit unverändertem Anteil eingesetzt werden, so reichen sie noch zwischen 25 und 125 Jahre 

lang. Insbesondere beim Öl werden Sie noch erleben, dass die Vorräte zur Neige gehen und der 

Preis explodieren wird. Methanhydrat vom Meeresboden wäre eine sehr ergiebige Energiequelle, 

wenn es sich technisch nutzen lässt, was zur Zeit noch unklar ist. 


- 3 - 

Tab. 1.2: Wirtschaftlich nutzbare (Reserven) und zusätzliche, heute noch nicht wirtschaftlich 

nutzbare (Ressourcen) Vorräte an Energieträgern und Zeit, bis sie verbraucht sind (s. Text), 

Stand 2004 (Daten aus: J.P. Gerling, F.-W. Wellmer, Chemie in unserer Zeit 39 (2005), 236) 

Energieträger heutiger 

Anteil 

Reserven 

10 21 J 

Ressourcen 

10 21 J 

Reserven 

Jahre 

Kohle 0,232 20 117 65 125 

Öl 0,342 9 14 34 58 

Gas 0,196 6 7 38 57 

Gas und 

Methanhydrat 

0,196 6 55 38 104 

Kernbrennstoff * 0,062 1 10 25 86 

Kernfusion 0 

* Ohne Brütertechnologie 

1.3 Das CO 2-Problem 

mit Ressourcen 

Jahre 

Gemäß Abb. 1.1 beruhen heute etwa 85% des Primärenergieeinsatzes auf der Verbrennung 

fossiler Rohstoffe, wodurch Kohlendioxid freigesetzt wird (weltweit 29@10 9 t im Jahr 2008, also 

4,3 t/Person). Vor dem Beginn der industriellen Revolution, als noch keine fossile Kohle 

verbrannt wurde, enthielt die Atmosphäre 280 ppm CO 2, heute enthält sie 390 ppm. Die 

zeitliche Entwicklung ist in Abb. 1.3 dargestellt. Der CO 2-Gehalt erhöht sich zur Zeit um 0,4% 

im Jahr. Bei dieser Steigerungsrate hat er sich in 100 Jahren auf das doppelte des vorindustriellen 

Wertes erhöht. 

CO 2 absorbiert Infrarotstrahlung im Wellenlängenbereich um 10 :m, wo das Maximum der 

thermischen Ausstrahlung bei der Umgebungstemperatur liegt. Dadurch verringert sich die 

Abstrahlung der Erde und erhöht sich ihre mittlere Temperatur, wenn die sonstigen Bedingungen 

gleich bleiben: Treibhauseffekt. In Abb. 1.4 ist gezeigt, wie sich seit 1850 die mittlere 

Temperatur der Atmosphäre auf Bodenniveau verändert hat. Dass die beobachtete Temperaturerhöhung 

tatsächlich die Folge des CO 2-Ausstoßes ist, wird kaum mehr bezweifelt (Abb. 1.5). 

Die Folgen des CO 2-Ausstoßes auf das Klima quantitativ vorherzusagen, ist schwierig: Zum 

einen können wir nicht genau vorhersagen, wie die Konzentration des CO 2 in der Atmosphäre 

vom Ausstoß abhängt. CO 2 wird von den Weltmeeren gelöst aufgenommen und eventuell sedimentiert, 

sowie in Pflanzen gespeichert. Die Effektivität dieser Senken hängt vom Klima ab. 

Selbst bei vorgegebenem CO 2-Gehalt der Atmosphäre ist es extrem schwierig, das Klima vorherzusagen, 

da viele andere Faktoren nichtlinear eingehen. Ganz wesentlich ist wegen der Reflexion 

der Sonneneinstrahlung (Albedo) die Wolkenbedeckung, die stark von der Wassertemperatur 

der Ozeane abhängt. Daher muss ein Klimamodell auch die Ozeane mit ihren Strömungen 

umfassen. 


- 4 - 

Abb. 1.3: Entwicklung des CO 2-Gehalts der Atmosphäre 

(aus: Physics today, Aug. 2002) 

Abb. 1.4: Anstieg der mittleren globalen bodennahen Durchschnittstemperatur 

(IPCC-Report 2007) 


- 5 - 

Abb. 1.5: Modellierung der mittleren Temperatur der Erdatmosphäre unter verschiedenen 

Annahmen im Vergleich zu Messwerten (aus: IPCC Report 2001) 

Abb. 1.6: Szenarios der Temperaturentwicklung (aus IPCC Report 2007) 

Unumstritten ist, dass ein CO 2-Gehalt von 500 ppm die Temperatur so stark erhöht, dass erhebliche 

Folgen auftreten. Ein solcher Wert wird für nicht akzeptabel gehalten. Das heißt aber, dass 

die Vorräte an fossilen Brennstoffen (Tab. 1.2), insbesondere also an Kohle, nicht in den 

nächsten 100 Jahren verbrannt werden dürfen. Eine CO 2-Rückhaltung und unschädliche 

Entsorgung wird erprobt, ist großtechnisch aber schwierig. Eine Temperaturerhöhung von 2 bis 

3/C im Mittel wird unvermeidlich sein (Abb. 1.6). 3/C mehr bedeuten für Jena Temperaturen 

wie heute in Mailand. 


1.4 Energieszenarien 

- 6 - 

Wegen des CO 2-Problems und auch wegen der begrenzten Vorräte kann die Nutzung der 

fossilen Energieträger nicht mit der bisherigen Rate gesteigert werden. Wodurch kann die 

Menschheit ihren Energiebedarf auf andere Weise decken? 

Zunächst ist alles daran zu setzen, die Steigerungsraten des Energieumsatzes durch effektivere 

Verwendung zu verringern. Zum zweiten müssen die fossilen Energieträger durch andere 

ersetzt werden. Durch welche? 

Der Anteil der Kernenergie durch Spaltung könnte erhöht werden. Wahrscheinlich ist das 

unproblematischer, als CO 2 freizusetzen. Dennoch ist die Akzeptanz, zum mindesten in 

Deutschland, gering. Zudem sind Kernkraftwerke in Entwicklungsländern problematisch. Die 

Vorräte an Uran sind recht begrenzt (Tab. 1.2), jedenfalls wenn keine Brutreaktoren eingesetzt 

werden. 

Die Kernfusion hätte zwar ein nahezu unerschöpfliches Potential. Nach über 50 Jahren Forschung 

wurde aber immer noch kein Durchbruch erzielt. Es ist unklar, ob Kernfusion jemals 

eine brauchbare Technologie wird. 

Daher bleiben nur regenerative Energien als Alternative. In Tab. 1.3 ist ihr Anteil an der 

Stromerzeugung in Deutschland zusammengestellt. 

Tab. 1.3: Anteil regenerativer Energien an der Stromerzeugung in Deutschland 2009 

insgesamt 16% 

Wasser 3,3% 

Wind 6,4% 

Photovoltaik 1,0% 

Geothermie 0,02% 

Biomasse 4,4% 

Müll 0,9% 

Über ihre zukünftigen Potentiale lässt sich folgendes sagen: Wasserkraft der Flüsse wird 

schon weitgehend genutzt. Eine Erhöhung ist nur sehr beschränkt möglich. Wellenenergie des 

Meeres scheint technisch schwer gewinnbar zu sein. Erdwärme könnte verstärkt genutzt 

werden. Das Problem ist dabei ihre geringe Leistungsdichte. Windenergie hat sich in den 

letzten fünf Jahren verdreifacht und wird weiter wird verstärkt genutzt werden. Eine weitere 

Erhöhung der Kapazität wird insbesondere durch Anlagen vor der Meeresküste erfolgen. 

Verbrennung von Biomasse trägt zum CO 2-Ausstoß nicht bei, da die Pflanzen das CO 2 vorher 

der Atmosphäre entnehmen. Energetisch betrachtet handelt es sich um Solarenergie, mit der die 

Pflanzen Wasser und CO 2 zu organischen, energiereichen Verbindungen umsetzen. Der 

Wirkungsgrad ist aber gering und beträgt von der auf die landwirtschaftlich genutzten Fläche 

eingestrahlte Leistung bis zur chemischen Energie von Rapsöl (Biodiesel) 0,14%. Mit 0,4% ist 


- 8 - 

Da die Anforderungen in den verschiedenen Anwendungsgebieten verschieden sind, werden 

auch unterschiedliche Solarzellentypen eingesetzt. 

2008 waren weltweit Solarzellen mit einer Spitzenleistung von 13,4 GW p installiert, in 

Deutschland 5,3 GW p. Neu wurden 2008 installiert weltweit 5,6 GW p, in Deutschland 1,5 GW p. 

Die Produktionsanteile 2009 sind in Tab. 1.4/5 zusammen gestellt. Module kosten auf dem 

Spotmarkt 2010 1,5 bis 2 i/W p, wobei ab 2009 ein starker Preisverfall eintrat. Insgesamt kann 

eine gemittelte Lernkurve beobachtet werden, nach der die Preise sich um 22% reduzieren, 

wenn die kumulirte Produktion sich verdoppelt. 

Tab. 1.4: Produktions- und Marktanteil Solarzellen nach Ländern 

Länder Produktionsanteil 

2009 

Marktanteil 

2008 

China 38% 0,2% 

Anteil an 

insgesamt 

installierter 

Kapazität 2008 

Deutschland 15% 27% 40% 

Japan 12,5% 4% 16% 

Taiwan 12,2 

USA 4,4% 6% 9% 

Spanien 3% 48% 25% 

Tab. 1.5: Produktionsanteil von Solarzellen nach Firmen (2009, Photon International 3/2010) 

Produktionsanteil Firmen 

First Solar (USA, D) 8,9% 

Suntech Power (China) 5,7% 

Q-Cells (D, Thalheim S-A) 4,8% 

Sharp (JP) 4,8% 

Yingli (China) 4,3% 

JA Solar (China) 4,2% 

Trina (China) 3,2% 

Sunpower (Philippinen) 3,2% 

Gintech (Taiwan) 3,0% 

Kyocera (JP) 3,2% 


2 Sonneneinstrahlung 

- 9 - 

Unmittelbar oberhalb der Erdatmosphäre hat die Sonneneinstrahlung nahezu die Charakteristik 

einer Schwarzen Strahlung mit einer Strahlungsflussdichte von j AM0 = 1353 W/m 2 und einer 

Temperatur von 5800 K (Abb. 2.1). Für die spektrale Dichte ist zu beachten, ob sie auf das 

Energieintervall dE = SdT oder auf das Wellenlängenintervall d8 bezogen wird. 

Auf die Gesamtfläche der Erde strahlen oberhalb der Atmosphäre 1,7@10 17 W ein und damit 

11000 mal mehr, als die Menschen im Jahr 2000 umgesetzt haben. 

In der Atmosphäre absorbieren verschiedene Gase wie Wasser, Kohlendioxid, Methan und 

Ozon einen Teil der Sonnenstrahlung. Bei senkrechtem Sonnenstand und wolkenlosem Himmel 

(AM1, air mass 1) kommt das Spektrum nach Abb. 2.2 auf Meereshöhe an. 

Die von der Strahlung zu durchdringende Luftmenge wird mit „air mass“ bezeichnet. Bei einem 

Sonnenstand, der um den Winkel ( von der Senkrechten abweicht, wird auf Meereshöhe eine 

air mass AMx mit x = 1/cos( wirksam. x gibt die Verlängerung des Weges durch die Luft an. 

Der AM-Wert wirkt sich auf das Spektrum des ankommenden Lichts aus. Als Referenzwerte 

gelten AM1.5, entsprechend einer Zenitdistanz der Sonne von 48°, und eine Strahlungsflussdichte 

von j = 1 kW/m 2 . Diese Werte werden für die Kalibrierung des Wirkungsgrades von 

Solarzellen verwendet. 

Im Jahres- und im Tageslauf verändert sich die Einstrahlung wegen des Sonnenstandes und der 

somit zu durchstrahlenden air mass. Bei nicht nachgeführten Solarzellen variiert zudem die auf 

die Strahlrichtung projizierte Fläche. Abb. 2.3 zeigt, wie die Neigung der Kollektorfläche das 

Tagesmittel der eingestrahlten Energie im Laufe des Jahres beeinflusst. Offensichtlich sollte ein 

nicht nachgeführter Kollektor um den Winkel der geographischen Breite von der Horizontalen 

nach Süden geneigt sein. 

Eine weitere Reduktion der Einstrahlung erfolgt durch Wolken. In Abb. 2.4/5 ist dargestellt, mit 

welcher Sonneneinstrahlung auf eine waagrechte Fläche in den verschiedenen Gegenden der 

Welt gerechnet werden kann. In Mitteleuropa sind das ca. 2 bis 3 kWh/m 2 d entsprechend einer 

mittleren Leistung von 80 bis 125 W/m 2 , in den Wüstenregionen der Subtropen ca. 7 kWh/m 2 d 

= 300 W/m 2 . Die Einstrahlung in Deutschland zeigt Abb. 2.6. Die Einstrahlung in Jena wird von 

der Klimastation der Fachhochschule seit 1999 im 10-Minuten-Takt gemessen und im Internet 

zugänglich gemacht (http://mechatronik.mb.fh-jena.de/station). Im Jahr 2009 betrug die 

Einstrahlung dort 1105 kWh/m 2 oder im Mittel 3,03 kWh/m 2 d = 126 W. In Deutschland kann 

man mit einer Ausbeute von 800 kWh/kW pa (Norddeutschland) bis 900 kWh/kW pa (Süddeutschland) 

rechnen [Bine Projektinfo 03/2003], d.h. die mittlere abgegebene Leistung beträgt 

ca. 10% der installierten Maximalleistung. 

2 Sonneneinstrahlung F. Falk, Photovoltaik WS 2010/11

Abb. 2.1: Strahlungsflussdichte 

oberhalb der Erdatmosphäre 

[Würfel] 

Abb. 2.2: Strahlungsflussdichte 

am Erdboden [Hu] 

- 10 - 


- 11 - 

Abb. 2.3: Einstrahlung in Abhängigkeit von der Jahreszeit und der Neigung der 

Solarzelle [Hu] 

Abb. 2.4: [Hu] 


- 12 - 

2 Sonneneinstrahlung F. Falk, Photovoltaik WS 2010/11 

Abb. 2.5: Mittlere Jahressumme der Globalstrahlung

- 13 - 

Abb. 2.6: Mittlere Jahressumme der Globalstrahlung in Deutschland 


- 14 - 

3 Grundlagen der Photovoltaik 

3.1 Geschichte der Photovoltaik 

Unter dem photovoltaischen Effekt oder Photoeffekt versteht man die Trennung elektrischer 

Ladungen beim Bestrahlen von kondensierter Materie mit Licht. Man unterscheidet den äußeren 

und den inneren Photoeffekt, je nachdem, ob die Ladungen die bestrahlte Materie unmittelbar 

verlassen oder nicht. In der Vorlesung geht es um den inneren Photoeffekt. Alles, was damit 

zusammenhängt, wird als Photovoltaik bezeichnet. Geräte, bei denen der Photoeffekt für Messaufgaben 

eingesetzt wird, heißen Photozellen, wird er zur Energieversorgung eingesetzt, spricht 

man von Solarzellen. 

Die erste dokumentierte Beobachtung des Photoeffektes machte 1839 A.E. Becquerel. Er 

bestrahlte Metallplatten in einem Elektrolyten und beobachtete eine elektrische Spannung. 1873 

wurde die Erhöhung der elektrischen Leitfähigkeit des Selens unter Bestrahlung entdeckt, 1877 

die Entstehung einer Photospannung an Selen durch W. Adams und R. Day. 1888 entdeckte 

Hallwachs die Aufladung von Metallplatten bei UV-Bestrahlung. 1899 wies Lenard nach, dass 

dabei Elektronen aus dem Metall austreten. 1905 folgerte Einstein aus den Beobachtungen zum 

äußeren Photoeffekt die Existenz von Photonen mit E = h

- 15 - 

Abb. 3.1: E. Rhein, Du und die Elektrizität, S. 174/175 

3 Grundlagen der Photovoltaik F. Falk, Photovoltaik WS 2010/11

- 16 - 

3.2 Grundprinzipien der Solarzellen 

Damit in einer Solarzelle Licht in elektrische Energie verwandelt werden kann, müssen mehrere 

Grundvoraussetzungen erfüllt werden (Abb. 3.2): 

1. Das eingestrahlte Licht muss absorbiert werden 

2. Bei der Lichtabsorption müssen Elektronen aus ihrem Grundzustand in Zustände höherer 

Energie unter gleichzeitiger Erzeugung von Löchern angeregt werden 

3. Die angeregten Elektronen und Löcher müssen beweglich sein 

4. Die angeregten Ladungsträger müssen eine ausreichende Lebensdauer besitzen 

5. Die beweglichen Ladungsträger müssen durch eingebaute elektrochemische Potentiale 

räumlich getrennt werden 

6. Die getrennten Ladungsträger müssen nach außen abgeführt werden 

p-Si 

+ 1,2 

+ 1,2 

Raumladungszone 

n-Si 

3 

4 

5 

6 

6 

Abb. 3.2: Schema der Vorgänge 

in einer Solarzelle 

Alle diese Effekte tragen zur Wirksamkeit der Solarzelle bei und beeinflussen ihren Wirkungsgrad. 

Da die Solarzellen aus Festkörpern bestehen, zum überwiegenden Teil aus Halbleitern, in 

seltenen Fällen in Verbindung mit flüssigen Elektrolyten, ist im wesentlichen die Festkörperphysik, 

speziell die Halbleiterphysik, zuständig. 

Im folgenden werden die einzelnen Grundvoraussetzungen kurz erläutert, in späteren Kapiteln 

einzeln untersucht. 

1. Lichtabsorption: Wie ihr Name sagt, soll eine Solarzelle mit Sonnenlicht arbeiten (sol, lat. 

Sonne). Man fordert daher, dass sie möglichst das gesamte Sonnenspektrum absorbiert. Der 

Absorber in der Solarzelle muss also undurchsichtig sein. Typische Isolatoren wie z.B. Ionenkristalle 

kommen daher nicht in Frage. Die Dicke des Absorbers muss so bemessen sein, dass 

möglichst viel Licht absorbiert wird. Da der Absorptionskoeffizient von der Wellenlänge 

abhängt, ist das unter Umständen nicht im ganzen Spektralbereich der Sonnenstrahlung 

vollständig zu erreichen. 


- 17 - 

2. Anregung: Die Anregungsenergie durch das einzelne Photon des Sonnenlichtes liegt in der 

Größenordnung von eV. Bei den kommerziell erhältlichen Solarzellen erfolgt die Anregung in 

einem einzelnen Absorptionsschritt. Daher bewirkt die Absorption eines Photons eine 

elektronische Anregung und nicht etwa Schwingungsanregungen. Ein Photon bringt ein 

Elektron aus seinem Grundzustand in einen angeregten Zustand. 

3. Beweglichkeit: Die Beweglichkeit der angeregten Ladungsträger muss ausreichend hoch 

sein. Die Anregung sollte also nicht in einen lokalisierten Zustand erfolgen. 

4. Lebensdauer: Damit die Ladungstrennung (Punkt 5) effektiv erfolgen kann, muss der 

angeregte Zustand eine ausreichend große Lebensdauer haben. Metalle kommen daher als 

absorbierendes Material nicht in Frage. Hier würde das angeregte Elektron schon innerhalb von 

ps wieder in den Grundzustand relaxieren. 

Die Forderungen 1 bis 4 lassen weder Metalle noch typische transparente Isolatoren zu. Übrig 

bleiben anorganische Halbleiter oder eventuell halbleitende organische Farbstoffe oder 

Polymere. Durch die Anregung werden Elektronen vom Valenzband ins Leitungsband gebracht. 

Im Valenzband bleibt ein Loch zurück. Die Lebensdauer des Elektron-Loch-Paares und die 

Beweglichkeit sind wesentliche begrenzende Faktoren für den Wirkungsgrad der Solarzelle. 

Erwünscht sind eine große Lebensdauer und eine hohe Beweglichkeit. 

5. Ladungstrennung: Die Solarzelle muss irgend eine Inhomogenität enthalten, die dazu führt, 

dass sich die durch die Anregung erzeugten Elektronen im Leitungsband und Löcher im 

Valenzband räumlich trennen. Solche Vorrichtungen nennt man in der chemischen Thermodynamik 

semipermeable Membranen. Sie lassen bestimmte Spezies durchtreten, andere nicht. 

In diesem Fall sind die Spezies Elektronen und Löcher. Die Ladungstrennung wird in 

Halbleitern entweder durch den Einbau eines p-n-Übergangs realisiert, oder dadurch, dass man 

einen Heteroübergang zwischen zwei verschiedenen Halbleitern herstellt. In beiden Fällen 

entsteht ein Gradient des elektrochemischen Potentials (ein sogenanntes „inneres Feld“), der für 

Elektronen und Löcher verschieden ist und der die Ladungsträger trennt. 

6. Elektroden: Damit die getrennten Ladungsträger nach außen abgeführt werden können, 

muss die Solarzelle auf beiden Seiten mit Elektroden versehen sein. Hier ergibt sich das 

Problem, dass gut leitende Metallelektroden undurchsichtig sind. Auf der Seite, von der die 

Solarzelle bestrahlt wird, muss man im Fall einer Metallisierung diese fingerförmig ausführen 

und hoffen, dass das ausreicht, oder man muss eine transparente Elektrode aufbringen. Dazu 

eignen sich leitfähige Oxide (TCO, transparent conductive oxide), z.B. Zink- oder Zinnoxid 

(ITO, indium tin oxide). Ihre Leitfähigkeit ist aber nicht ideal. Oft werden daher beide 

Methoden kombiniert und auf eine durchgehende TCO-Schicht Metallfinger aufgebracht, die 

zwar eine gewisse Abschattung verursachen, dafür aber die Verluste durch den elektrischen 

Serienwiderstand klein halten. Die konkrete Ausführung ist ein Optimierungsproblem. 

Als Wirkungsgrad einer Solarzelle bezeichnet man das Verhältnis von abgegebener elektrischer 

Leistung zur eingestrahlten Leistung des Lichtes. Die abgegebene elektrische Leistung 

hängt vom Belastungswiderstand ab. Er wird für die Bestimmung des Wirkungsgrades so 

gewählt, dass die abgegebene Leistung maximal ist (Arbeitspunkt der Solarzelle, s. Abschnitt 

3.5). Da der Wirkungsgrad von der Lichtintensität und vom Spektrum abhängt, wird zur 

Messung des Wirkungsgrades ein Sonnensimulator eingesetzt, der ein Spektrum wie das der 

Sonnenstrahlung auf Meereshöhe liefert. Man sich auf AM1.5 mit 1 kW/m 2 geeinigt. Der 

Wirkungsgrad hängt auch von der Temperatur ab. Als Referenz gilt 25°C. Typisch ist, dass 

reale Solarzellen lateral inhomogen sind. Für den Wirkungsgrad spielt daher auch die Fläche 


- 18 - 

der Solarzelle eine Rolle. In Laborzellen mit 1 cm 2 oder kleiner werden oft deutlich höhere 

Wirkungsgrade erzielt als auf technisch relevanten Flächen von mehreren 100 cm 2 bis 1,5 m 2 . 

Man unterscheidet zwischen dem Wirkungsgrad der eigentliche Zelle und dem eines Moduls, 

der mehrere Zellen und deren Verschaltung umfasst. 

Eine weitere Größe zur Charakterisierung einer Solarzelle ist die Quantenausbeute in 

Abhängigkeit von der Photonenenergie oder der Wellenlänge. Sie gibt an, wie viele Elektronen 

die Solarzelle pro eingestrahltes Photon an die Elektroden abgibt, und ist in herkömmlichen 

Zellen stets

- 19 - 

Abb. 3.3: Photonenabsorption und Anregung im Bandschema eines Halbleiters 

Der als E 1/E 0 berechnete Wirkungsgrad heißt „ultimate efficiency“ und hängt vom Verhältnis 

der Bandlücke zur Temperatur des abstrahlenden Körpers ab. 

Bei der Definition der ultimate efficiency ist nicht berücksichtigt, dass die Solarzelle selbst auch 

ein strahlender Körper ist und Energie durch strahlende Rekombination der Ladungsträger in 

die Umgebung abstrahlt. Bezieht man diesen Effekt ein, so erhält man den „Shockley- 

Queisser-Limit“ (detailed balance limit) für den Wirkungsgrad, der kleiner ist als die ultimate 

efficiency, und auch noch von der Temperatur der Solarzelle und von der Einstrahlgeometrie 

abhängt (W. Shockley, H.J. Queisser, J. appl. Phys. 32 (1961), 510). Mehr dazu in Kap. 5.7. 

Werden noch andere Rekombinationsmechanismen berücksichtigt, verringert sich der 

Wirkungsgrad weiter. Oft werden zur Rekombination plausible Annahmen gemacht und man 

kommt zu einem „semiempirischen Wirkungsgrad“. Meist bezieht man sich auf eine Arbeit 

von M.B. Prince (J. appl. Phys. 26 (1955), 534). 

In Abb. 3.4 sind die verschiedenen Grenzen für den Wirkungsgrad in Abhängigkeit von der 

Bandlücke dargestellt und Bandlücken gängiger Halbleiter eingetragen. Die günstigste 

Bandlücke liegt nach dem semiempirischen Wirkungsgrad bei 1,3 eV. Das Maximum ist aber 

breit, sodass Bandlücken von 0,8 bis 1,7 eV brauchbar sind. Folgende Halbleiter liegen in 

diesem Bereich (Tab. 3.1): CuInSe 2, c-Si, Cu 2S, Cu 2Te, InSe, InP, GaAs, CuInS 2, a-Si, CdTe, 

Zn 3P 2, AlSb, CdSe. Schlecht geeignet sind Ge, Cu 2O, AlAs, GaP, ZnTe, CdS. 

Das geschilderte Problem der Energieausnutzung lässt sich durch einen Kunstgriff zum Teil 

umgehen. Man schaltet in Einstrahlrichtung des Lichtes bei Stapelzellen (Tandemzellen) 

mehrere Solarzellen hintereinander. Dabei werden die Zellen mit der jeweils größeren 

Bandlücke weiter vorn angeordnet. Das in der ersten Zelle nicht absorbierte langwellige Licht 

kann in der nächsten Zelle wirksam werden und so fort. In Abb. 3.5 ist dargestellt, wie der 

Wirkungsgrad bei zwei hintereinander geschalteten Zellen von ihren Bandlücken abhängt. Abb. 

3.6 zeigt den maximalen Wirkungsgrad in Abhängigkeit von der Anzahl der Zellen. Praktikabel 

ist das Konzept nur bei Dünnschichtzellen. Zur Zeit werden bis zu drei Zellen hintereinander 

geschaltet. Inwiefern der höhere Herstellungsaufwand der Stapelzellen akzeptabel ist, muss sich 

noch zeigen. 


Tab. 3.1: Bandlücken von Halbleitern 

- 20 - 

Abb. 3.4: Grenzwerte für den Wirkungsgrad in Abhängigkeit von der Bandlücke. Ultimate 

efficiency oben links, Shockley-Queisser-limit oben rechts, semiempirischer Wirkungsgrad 

[Hu] unten 

Halbleiter Si a-Si GaAs CdTe CuInSe2 Eg/eV 1,12 1,6...1,7 1,43 1,43 1,05 


- 21 - 

Abb. 3.5: Wirkungsgrad einer Tandemzelle in Abhängigkeit von den beiden 

Bandlücken [Lewerenz] 

Abb. 3.6: 

Theoretischer Wirkungsgrad 

von n-fach Stapelzellen 

mit optimalen Bandlücken 

(AM0-Spektrum) [Lewerenz] 

In Konzepten zu Solarzellen der dritten Generation entwickelt man Ideen, wie man aus 

hochenergetischen Photonen mehr als ein Elektron-Loch-Paar und aus mehreren niederenergetischen 

Photonen ein Elektron-Loch-Paar erzeugen kann. Dadurch ließen sich die 

genannten Grenzen des Wirkungsgrads ausweiten. 


3.4 Absorptionskoeffizient 

- 22 - 

Der Absorptionskoeffizient von Halbleitern hängt nicht nur von der Bandlücke ab, sondern auch 

davon, ob ein direkter Halbleiter oder ein indirekter Halbleiter vorliegt. Beim direkten Halbleiter 

liegt im E(k)-Diagramm das Maximum des Valenzbandes und das Minimum des 

Leitungsbandes beim selben Wert von k, beim indirekten Halbleiter bei verschiedenen Werten 

von k. Als Folge davon muss bei der Absorption eines Photons in einem indirekten Halbleiter 

zur Impulserhaltung ein Phonon mitwirken. Der Absorptionskoeffizient ist daher im indirekten 

Halbleiter geringer als im direkten. Direkte Halbleiter sind GaAs, CuInSe 2, CuInS 2, CdTe, ein 

indirekter kristallines Si. Amorphe Halbleiter wie a-Si absorbieren wie direkte. 

In Abb. 3.7 sind die Absorptionskoeffizienten " relevanter Halbleiter in Abhängigkeit von der 

Wellenlänge dargestellt. Typisch sind Werte von einigen 10 4 cm -1 für direkte und von einigen 

10 3 cm -1 für indirekte Halbleiter. Die Eindringtiefe des Lichts beträgt 1/". Daher benötigt man 

bei indirekten Halbleitern eine Schicht von typischerweise 1 :m, bei indirekten von 10 :m, um 

das Licht zu absorbieren. 

Abb. 3.7: Absorptionskoeffizienten von Halbleitern [Hu] 


3.5 Kennlinien von Solarzellen 

- 23 - 

Zur Ladungstrennung wird entweder durch eine räumlich unterschiedliche Dotierung ein p-n- 

Übergang in den Halbleiter eingebracht oder es wird ein Heteroübergang aus verschiedenen 

Halbleitern hergestellt. Dadurch entsteht elektrisch gesehen eine Diode: Solarzellen sind 

großflächige Halbleiterdioden und die Strom-Spannungs-Kennlinie der unbeleuchteten 

Solarzelle ist eine Diodenkennlinie. Bei Beleuchtung verschiebt sie sich so, dass auch im 

Kurzschluss, also ohne äußere Spannung, der Kurzschlussstrom I sc, (sc: short circuit, 

eigentlich eine Stromdichte) fließt. Die Leerlaufspannung V oc (oc: open circuit) ist bei der 

Solarzelle mit p-n-Übergang in einem Halbleitergrundmaterial durch die Energie der Bandlücke 

begrenzt. In Abb. 3.8 ist die Kennlinie einer beleuchteten Zelle schematisch dargestellt. Die 

maximale Leistung der beleuchteten Zelle wird am Arbeitspunkt erreicht, der dort auf der 

Kennlinie liegt, wo V@I, also das der Kennlinie einbeschriebene Rechteck maximal ist. Das ist 

an dem Kennlinienpunkt der Fall, wo der Winkel zwischen einer Ursprungsgerade zum 

Kennlinienpunkt und dem Lot zur V-Achse und der Winkel zwischen der Tangenten am 

Kennlinienpunkt und dem Lot gleich sind. Am Arbeitspunkt sind auch die Abschnitte auf der 

Tangenten vom Berührpunkt zur V-Achse und vom Berührpunkt zur I-Achse gleich. Das 

Verhältnis der Maximalleistung, also des einbeschriebenen Rechtecks, zu V oc@I sc, also dem 

äußeren Rechteck, wird als Füllfaktor FF bezeichnet. Die Maximalleistung ist somit gegeben 

durch FF@V oc@I sc woraus der Wirkungsgrad folgt. Die Größen I sc, V oc und FF sind zur Charakterisierung 

einer Solarzelle wesentlich. Man sieht sofort, dass für eine gute Solarzelle nicht nur I sc 

und V oc möglichst groß sein sollen, sondern auch die Kennlinie möglichst rechteckig aussehen 

muss, damit ein hoher Füllfaktor resultiert. 

Für das Vorzeichen des Stroms sind verschiedene Konventionen üblich. Entsprechend den 

Konventionen bei Dioden als passive Bauelemente ist der Photostrom negativ. 

Abb. 3.8: Kennlinie einer beleuchteten Solarzelle mit Arbeitspunkt 


- 24 - 

3.6 Übersicht über Solarzellentypen 

Solarzellen werden als Waferzellen oder als Dünnschichtzellen hergestellt. Bei den 

Wafer- oder Massivzellen ist das photovoltaisch aktive Material und der mechanische Träger 

identisch. Dabei wird viel photovoltaisch wirksames teures Material verschwendet, da für die 

mechanische Festigkeit eine viel größere Dicke erforderlich ist als für die Lichtabsorption. Bei 

den Dünnschichtzellen ist das photovoltaisch aktive Material als Dünnschicht auf ein Fremdsubstrat 

aufgebracht, das als mechanischer Träger dient. Es wird nur so viel photovoltaisches 

Material eingesetzt, wie zur Lichtabsorption erforderlich ist. Als Substrat verwendet man ein 

möglichst billiges Material wie Glas oder Blech. Die Dünnschichtprozessierung stellt aber 

Anforderungen an die Temperaturbeständigkeit oder an die chemische Stabilität des Substrats, 

die von Glas oder Blech eventuell nicht zu erfüllen sind. Dann muss man teuere hoch 

temperaturbeständige Substrate einsetzen und hat nicht viel gewonnen. 

Eine zweite Klassifizierung der Solarzellen bezieht sich auf die Methode der Ladungstrennung. 

Diese wird in einer Zelle, die aus einem einzigen Halbleitermaterial besteht, durch einen p-n- 

Übergang bewirkt. In diesem Fall muss also in das Zellmaterial eine räumlich variable 

Dotierung eingebracht werden. In einem anderen Zelltyp wird die Ladungstrennung durch einen 

Heteroübergang bewirkt, an dem zwei unterschiedliche Materialen zusammentreffen. Das 

können zwei Halbleiter sein, aber auch ein Halbleiter und ein dotierter Isolator oder ein halbleitendes 

Polymer und ein anorganisches Material. 

Die dritte Klassifizierung bezieht sich auf das eingesetzte Material des Absorbers. Folgende 

Zellen sind heute bekannt: 

Waferzellen mit p-n-Übergang 

einkristallines Silicium 

multikristallines Silicium (Korngrößen cm) 

Galliumarsenid (Zwischenstellung zwischen Wafer- und Dünnschichtzelle) 

Dünnschichtzellen 

amorphes Silicium mit p-n-Übergang oder mit a-Si/a-Si:C Heteroübergang 

nanokristallines Silicium (Korngrößen < 1 :m) mit p-n-Übergang 

mikrokristallines Silicium (Korngrößen > 1 :m) mit p-n-Übergang 

multikristallines Silicium (Korngrößen > 10 :m) mit p-n-Übergang 

Cadmiumtellurid mit Heteroübergang zu Cadmiumsulfid 

CIS-Zellen aus Kupferindiumdiselenid, z.T. mit partiellem Ersatz von In durch Ga und 

von Se durch S, mit Heteroübergang zu Cadmiumsulfid 

Grätzelzelle (organischer Farbstoff auf Titandioxid mit flüssigem Elektrolyten) 

leitfähige Polymere 

Bei der praktischen Ausführung unterscheidet man Zellen, die unmittelbar dem Sonnenlicht 

ausgesetzt werden und Konzentratorzellen, bei denen das Sonnenlicht vorher durch Spiegelanordnungen 

oder Linsen konzentriert wird. Konzentratorzellen müssen allerdings der 

Sonnenposition nachgeführt und eventuell aktiv gekühlt werden. 

In Tab. 3.2 sind die momentan käuflichen oder in Entwicklung befindlichen Solarzellentypen 

mit ihrem Wirkungsgrad in Laborzellen und käuflichen Modulen (soweit erhältlich) sowie dem 

Entwicklungsbedarf zusammengestellt 


- 25 - 

Tab. 3.2: Solarzellentypen und ihre maximalen Wirkungsgrade unter AM1.5 Beleuchtung (M.A. 

Green et al., Solar Cell Efficiency Tables (Version 36), Prog. Photovolt. 18 (2010), 346; Photon 

Int. 2/2009) 

Typ Wirkungsgrad 

Labor/Modul 

% 

Waferzellen 

Anteil in der 

Produktion 

2009 

% 

Entwicklungsbedarf 

einkristallines Si 25,0/13-17 34,1 billigere Herstellung 

multikristallines Si 20,4/11-15 48,3 billigere Herstellung 

Dünnschichtzellen 

amorphes Si 10,1/5-8 6,1 stabilere Prozesse 

CdTe 16,7/9-11 9,0 bessere Prozesse 

CIS/CIGS 19,4/10-11 1,7 stabilere Prozesse 

nanokristallines Si 10,1/... - Forschungsbedarf 

mikro-/polykristallines Si 10,5/7 - Forschungsbedarf 

Grätzel 10,4/... - Entwicklungsbedarf 

Polymere 5,1/... - Forschungsbedarf 

Praktisch werden nicht einzelne Solarzellen eingesetzt, sondern Module, in denen einige 

Dutzend Zellen verschaltet sind. Die Zellen werden dazu hintereinander geschaltet, um aus ca. 

0,6 V Spannung der Einzelzelle eine höhere Spannung zu gewinnen. Eine reine Parallelschaltung, 

die bei 0,6 V zu einem Strom von über 100 A führen würde, verbietet sich. 

Wafervzellen mit typisch 225 cm 2 Fläche werden mit Drähten verbunden und zwischen 

Glasplatten und Polymerfolie verkapselt. Dünnschichtzellen werden gleich auf 1 bis 5 m 2 große 

Platten aufgebracht und während der Herstellung integriert verschaltet. 


- 26 - 

4 Halbleiter I: Gleichgewicht 

Die für Solarzellen wichtigen photovoltaisch aktiven Materialien sind Halbleiter. Mit Ausnahme 

des amorphen Siliciums werden sie in kristalliner Form eingesetzt, und zwar einkristallin 

oder polykristallin. In diesem und dem nächsten Kapitel werde ich daher die wichtigsten 

Ergebnisse aus der Halbleiterphysik zusammenstellen, ohne sie im einzelnen zu begründen. 

Dies gehört in eine Vorlesung über Festkörperphysik. 

4.1 Kristallstruktur 

Die chemische Bindung in Halbleitern ist überwiegend homöopolar, bei den Verbindungshalbleitern 

mit einem ionischen Anteil. Die Elementhalbleiter Silicium und Germanium 

gehören der 4. Hauptgruppe des Periodensystems an und besitzen demnach 4 Valenzelektronen. 

Diese sind im Festkörper sp 3 -hybridisiert, ihre Orbitale sind tetraedrisch ausgerichtet. Dementsprechend 

sind die Atome tetraedrisch angeordnet und bilden ein kubisch- flächenzentriertes 

Diamantgitter (Abb. 4.1) mit einer Koordinationszahl, der Zahl nächster Nachbarn, von nur 4. 

Im flüssigen Zustand sind beide Elemente metallisch und weisen eine höhere mittlere Koordinationszahl 

und eine höhere Dichte auf. 

Die Verbindungshalbleiter haben ebenfalls eine mittlere Zahl von 4 Valenzelektronen je Atom 

und ähnliche Bindungsverhältnisse. Bei den IV-IV-Verbindungen SiC und SiGe ist das offensichtlich. 

Die anderen AB-Verbindungen wie GaAs oder CdTe sind III-V bzw. II-VI- 

Verbindungen. Ihre Kristallstruktur baut auf dem Diamantgitter auf, wobei die beiden Partner 

auf den Plätzen des Diamantgitters abwechseln. Das ist auf mehrere Weisen möglich. Die 

beiden einfachsten sind im kubischen Zinkblendegitter und im hexagonalen Wurtzitgitter 

realisiert (Abb. 4.1). Beide Gittertypen kommen in Halbleitern vor. In GaAs und CdTe ist das 

Zinkblendegitter die stabilere Struktur. 

Im amorphen Silicium (a-Si) sind die Atome zwar noch nahgeordet wie im kristallinen 

Silicium, es existiert aber keine Fernordnung mehr. Auch hier ist die Koordination noch überwiegend 

tetraedrisch wie im Kristall. Die Bindungswinkel sind aber nicht mehr genau der 

Tetraederwinkel von 109°, sondern um diesen Mittelwert mit einer rms-Streuung von ca. 7° 

verteilt. Die Verteilung der Bindungslänge ist mit 1% Breite viel schmaler. Es kommen nicht 

nur 6-Ringe vor wie im Diamantgitter (Abb. 4.1), sondern auch eine gewisse Anzahl von 5- und 

7-Ringen. Nicht alle Bindungen sind abgesättigt, es gibt "dangling bonds" und daher ungepaarte 

Spins, die mittels ESR (electron spin resonance) nachgewiesen und in ihrer Dichte bestimmt 

werden können. Die Spindichte wird im a-Si meist schlicht "Defektdichte" genannt. Die 

Spindichte wird kleiner, wenn die dangling bonds durch Wasserstoff abgesättigt sind. Bei 

manchen Herstellungsverfahren wird der dazu nötige Wasserstoff gleich mitgeliefert, bei 

anderen nicht. Für photovoltaische Anwendungen ist ein Wasserstoffgehalt von einigen at% für 

die erforderliche elektronische Qualität notwendig. 

In den kristallinen Halbleitern existiert eine diskrete Translationssymmetrie mit den primitiven 

Gittervektoren als kleinste Translationseinheiten, die das Gitter in sich selbst überführen. Die 

Translationssymmetrie führt bei der quantenmechanischen Behandlung zu erheblichen Vereinfachungen, 

auf denen wesentliche Modelle und Ergebnisse der Festkörperphysik beruhen und 

die im folgenden genutzt werden. Beim a-Si entfallen diese Annehmlichkeiten. 

4 Halbleiter I: Gleichgewicht F. Falk, Photovoltaik WS 2010/11

- 27 - 

Diamantgitter 

fcc mit Basis 

Zinkblendegitter (kub.) Wurtzitgitter (hex.) 

Tetraederanordnung im Wurtzitgitter im Zinkblendegitter 

Abb. 4.1: Gitter von Halbleitern 


- 28 - 

Außer dem Punktgitter, auf dem die Atomkerne im thermischen Mittel sitzen, ist das reziproke 

Gitter wichtig, das man als Fouriertransformierte der Gitterpunkte auffassen kann. Das 

reziproke Gitter wird durch die primitiven Vektoren A m aufgespannt, die mit den primitiven 

Vektoren a n des Gitters zusammenhängen gemäß A m@ a n=2B* mn. Die primitiven Vektoren des 

reziproken Gitters stehen also auf denen des Gitters paarweise senkrecht. Die Einheitszelle des 

reziproken Gitters heißt erste Brillouinzone. Sie wird im Sinne einer Wigner-Seitz-Zelle 

gebildet, also mit einem Gitterpunkt im Zentrum und einer Ausdehnung so, dass ihre Grenzen 

Ebenen sind, die den Abstand zu den benachbarten Gitterpunkten halbieren. Das reziproke 

Gitter und die Brillouinzone hängen nicht davon ab, wie die Gitterpunkte des Punktgitters mit 

Atomsorten besetzt sind. Sie sind deshalb für alle Gitter, die auf dem Diamantgitter basieren, 

gleich (Abb. 4.2). 

4.2 Bandstruktur 

Abb. 4.2: Erste Brillouinzone des Diamantgitters 

Die quantenmechanische Berechnung der Wellenfunktionen der Elektronen geht von der Born- 

Oppenheimer-Näherung und der Einelektronennäherung aus. In der Born-Oppenheimer- 

Näherung werden die Positionen der Atomkerne fest als Parameter vorgegeben. Man berechnet 

die Wellenfunktionen und die Energieeigenwerte der Elektronen im Coulomb-Potential der 

Kerne und in ihrem gegenseitigen Wechselwirkungspotential. Die reale Gitterstruktur ist dann 

diejenige, bei der die Gesamtenergie, also der tiefste Eigenwert des Hamiltonoperators der 

Elektronen vermehrt um die Coulombenergie der Kerne untereinander, minimal ist. In der 

Einelektronennäherung betrachtet man ein einzelnes, beliebiges Elektron im Potential aller 

anderen, das man als zunächst vorgegeben annimmt. Aus der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des 

einzelnen Elektrons in seinen verschiedenen Niveaus folgt die gesamte Elektronendichte und 

damit das Potential aller Elektronen. Auf diese Weise wird ein selbstkonsistentes, rekursives 

Verfahren aufgebaut, das allerdings keine Korrelationseffekte der Elektronen enthält und daher 

nur solche Eigenschaften beschreibt, bei denen diese keine Rolle spielen. Für die Beschreibung 

der Halbleiter in der Photovoltaik ist das ausreichend, nicht aber z.B. für die Supraleitung. 


- 29 - 

Das Bändermodell der Elektronen beruht ganz wesentlich auf der Einelektronennäherung und 

auf der Translationssymmetrie des Gitters. Aus dieser folgt das Blochsche Theorem, gemäß 

dem die Wellenfunktionen die Form 

(4.1) 

haben, wo u k(r) eine gitterperiodische Funktion ist und k ein beliebiger reellwertiger Vektor, der 

allerdings auf die erste Brillouinzone des reziproken Gitters beschränkt ist, eindimensional 

betrachtet auf -B/a bis B/a, mit der Gitterkonstanten a. k-Werte, die sich um einen reziproken 

Gittervektor unterscheiden, können identifiziert werden. k charakterisiert die Wellenfunktion 

und hat als Sk die Bedeutung eines Impulses. Für jedes k aus der ersten Brillouinzone gibt es 

eine diskrete Anzahl von Wellenfunktionen, die mit n durchnummeriert werden. Dementsprechend 

sind die Energieeigenwerte von k und n abhängig. Die Energiewerte, die bei 

beliebigem k zu einem festen n gehören, nennt man ein Energieband, die Gesamtheit von E n(k) 

die Bandstruktur. Aus Symmetriegründen gilt E(k)=E(-k). Am Rande der Brillouinzone hat E(k) 

in den Symmetriepunkten eine waagrechte Tangente. Für freie Elektronen gilt E(k)=S 2 k 2 /2m 0 

mit der Elektronenmasse m 0. 

Die Bänder der tiefen, kernnahen Elektronenschalen sind schmal. Sie verbreitern sich immer 

stärker, je weiter die Orbitale die Kernumgebung verlassen. Mehrere Bänder können sich auf 

der Energieskala auch überlappen. Da die Brillouinzone, also das Gebiet der möglichen k- 

Vektoren, ein dreidimensionales Gebilde ist, kann man die Bandstruktur schlecht zeichnen. 

Man legt daher Schnitte, zeichnet also E(k) entlang bestimmter ausgewählter hochsymmetrischer 

Richtungen im k-Raum. Die Abb. 4.3-5 zeigen die Bandstrukturen von Si, GaAs und 

CdTe. 

Bei T=0 sind die Bänder von der tiefsten Energie angefangen mit Elektronen besetzt, bis alle 

vorhandenen Elektronen untergebracht sind, was bei der Fermi-Energie E F erreicht ist. Ob ein 

kristallines Material Metall, Halbleiter oder Isolator ist, hängt davon ab, wie die Bänder besetzt 

sind. Ist das höchste besetzte Band teilgefüllt, so liegt ein Metall vor, ist es ganz gefüllt, ein 

Halbleiter oder ein Isolator. Bei Halbleitern und Isolatoren liegt die Fermi-Energie in der 

Bandlücke (Bandgap, Gap, verbotene Zone) zwischen zwei Bändern. Das voll besetzte Band 

darunter heißt Valenzband, das unbesetzte darüber Leitungsband. Wenn der Abstand des 

Valenzbandes zum Leitungsband, der Bandabstand E g klein ist (

- 30 - 

Bandlückenenergie zwar ausreichend Energie, es fehlt aber an Impuls. Impulserhaltung setzt 

voraus, dass ein anderes Objekt, typisch ein Phonon, also eine Gitterschwingung, beteiligt wird, 

das Impuls aufnimmt oder abgibt. Dafür ist die Wahrscheinlichkeit aber viel kleiner, als wenn 

kein Phonon beteiligt werden muss. Für Photonen mit Energien etwas oberhalb der Bandkante 

ist also die Absorption in einem indirekten Halbleiter viel kleiner als in einem direkten (Abb. 

3.7). 

Abb. 4.3: Bandstruktur Si [Enderlein] 

Abb. 4.4: Bandstruktur GaAs [Enderlein] 

Abb. 4.5: Bandstruktur CdTe [Enderlein] 


- 31 - 

Die Zahl der Elektronen, die je Volumeneinheit des Kristalls in ein k-Intervall eines Bandes 

passen, ist konstant und durch Z(k)d 3 k = 1/(4B 3 )d 3 k gegeben. Umgerechnet auf ein Energieintervall 

ergibt sich die Zustandsdichte durch Integration auf einer Energieschale im k-Raum 

gemäß 

4.3 Dynamik der Kristallelektronen 

Die Geschwindigkeit v eines Elektrons mit k beträgt 

(4.2) 

(4.3) 

Obwohl die einzelnen Elektronen mit den Kernen und mit allen anderen Elektronen wechselwirken, 

können sie als freie Quasiteilchen behandelt werden. Die Einflüsse, die von den Kernen 

und den anderen Elektronen auf ein Elektron ausgeübt werden, können bei einer durch äußere 

Kräfte bewirkten Bewegung dadurch implizit berücksichtigt werden, dass man ihm eine von der 

Masse des freien Elektrons abweichende effektive Masse zuschreibt. Da die Einflüsse der 

Kerne und anderen Elektronen in einem Kristallgitter aber nicht isotrop sind, ist die effektive 

Masse kein Skalar mehr, sondern ein symmetrischer Tensor 2. Stufe, für dessen Inverse 

(4.4) 

gilt. Die effektive Masse hängt also mit der Krümmung von E(k) zusammen und ist im 

allgemeinen k-abhängig. Für freie Elektronen wird m = m 01 mit dem Einheitstensor 1 isotrop, 

konstant und gleich der Elektronenmasse. Die Bewegungsgleichung eines Elektrons unter 

Einfluss einer äußeren Kraft F lautet einfach 

(4.5) 

Wegen des Tensorcharakters der effektiven Masse ist die Beschleunigung bei gleicher Kraft in 

verschiedene Richtungen verschieden und zudem muss die Beschleunigung nicht parallel zur 

Kraft erfolgen. Ein typisches Elektronenband ist in Abb. 4.6 dargestellt. Um k=0 herum ist m -1 

positiv und verringert sich mit wachsendem k. In der oberen Hälfte des Bandes sind m -1 und m 

negativ, am Wendepunkt divergiert m. Wirkt auf ein zunächst ruhendes Elektron bei k=0 in 

einem sonst leeren Band eine äußere Kraft, z.B. ein elektrisches Feld, dann nimmt der Impuls 

und damit k zusammen mit der Geschwindigkeit v zunächst zu. Am Wendepunkt in der 

Bandmitte wird v gemäß Gl. 4.3 maximal. Danach nimmt k zwar weiter zu bis an den Rand der 

Brillouinzone bei k = B/a. v nimmt aber wieder ab, da m negativ ist, und zwar bis auf 0, da E(k) 

dort eine waagrechte Tangente hat. k klappt dann um einen reziproken Gittervektor um und 

liegt danach am linken Rand der Brillouinzone bei k = -B/a. Von dort steigt k weiter, v ist bis 

k=0 negativ. Ohne Streuung an Defekten wäre der zeitliche Mittelwert von v null und es träte 

kein Stromfluss auf. 


- 32 - 

Abb. 4.6: Prinzipielle Struktur eines Elektronenbandes und Vorgang bei der Bewegung unter 

konstanter Kraft (rechts) 

Die Leitfähigkeit eines Metalls hängt mit folgendem zusammen: Das Leitungsband ist teilgefüllt, 

wegen der Symmetrie sind die Zustände mit k und -k gleichwertig und der Mittelwert 

der Geschwindigkeit aller Elektronen ist null. Ein elektrisches Feld übt auf die Gesamtheit der 

Leitungselektronen eine Kraft aus und führt zu einem Impulszuwachs, also zu einem Zuwachs 

von k. Wegen der Streumechanismen ist der Zuwachs aber nicht dauernd anwachsend, sondern 

begrenzt. Die Verschiebung der Gesamtheit der Elektronen im k-Raum (Abb. 4.7) führt zu einer 

mittleren Geschwindigkeit und zu einem Strom und damit zu einer Leitfähigkeit. 

Ist ein Band aber voll gefüllt, dann erfährt jedes einzelne Elektron zwar einen k-Zuwachs. Aber 

nach diesem Zuwachs sieht die Gesamtheit der Elektronen auch nicht anders aus als vorher: 

Alle Zustände sind besetzt, die mittlere Geschwindigkeit ist null, es fließt kein Strom und das 

Material ist nichtleitend. Ein Wechsel eines Elektrons von einem Band ins nächste durch 

elektrische Felder ist unmöglich, außer bei so hohen Feldstärken, dass ein Durchbruch erfolgt. 

Durch thermische Anregung gelangen einige Elektronen über die Bandlücke in das leere 

Leitungsband und führen zu einer endlichen Leitfähigkeit. 

Abb. 4.7: Zur Leitfähigkeit von Metallen 


4.4 Elektronen und Löcher 

- 33 - 

Ist ein Band nur schwach mit Elektronen besetzt, so halten sie sich in der Umgebung des 

Minimums bei k=k min auf. Ihre Energie hängt dort näherungsweise quadratisch von k ab: 

(4.6) 

E c gibt die Energie der Leitungsbandkante an, m n ist die effektive Masse der Elektronen (Index 

n). Im isotropen Fall gilt einfach 

(4.7) 

Bis auf die Ersetzung der Masse eines freien Elektrons durch die effektive Masse ist das im 

Fall, dass das Bandminimum bei k=0 liegt, dieselbe Beziehung wie für freie Elektronen. Die 

Zustandsdichte in der Nähe der Bandkante beträgt im isotropen Fall 

(4.8) 

Im anisotropen Fall bleibt die Beziehung erhalten, wenn man anstelle der isotropen effektiven 

Masse m n einen geeigneten Mittelwert der Eigenwerte des Tensors der effektiven Masse einsetzt, 

der effektive Zustandsdichte-Masse heißt. 

Im entgegengesetzten Grenzfall eines fast gefüllten Bandes sind nur wenige Zustände am 

oberen Ende des Bandes unbesetzt. Die unbesetzten Zustände nennt man Defektelektronen oder 

Löcher. Statt die Bewegung der vielen Elektronen zu betrachten, ist es bequemer, zu verfolgen, 

wie sich die Löcher bewegen, nämlich genau umgekehrt wie die angrenzenden Elektronen. In 

einem vollständig gefüllten Band verschwindet der Stromfluss auch bei angelegtem Feld. Im 

nicht ganz gefüllten Band ist er um den Beitrag der fehlenden Elektronen vermindert und hat 

den Wert i = 0-(-ev p) = ev p. Die Löcher besitzen die Eigenschaft eines positiv geladenen 

Teilchens im gefüllten Band. Fehlt das Elektron mit Wellenvektor k n, so wirkt das so, dass ein 

Loch mit Wellenvektor k p=-k n vorhanden ist. Damit die Bewegungsgleichung für das Loch 

korrekt aus der der Elektronen folgt, muss man für seine effektive Masse setzen m p=-m n. Da in 

der Nähe der oberen Bandkante die effektive Masse der Elektronen negativ ist, ist die der 

Löcher positiv. 

Die Dispersionsrelation für Löcher lautet im isotropen Fall 

E v ist die Energie der Valenzbandkante. 

(4.9) 

Da die Zahl der möglichen Löcher gleich der Maximalzahl der Elektronen ist, ist ihre Zustandsdichte 

ebenfalls gleich und man erhält im isotropen Fall 

(4.10) 


- 34 - 

Bei amorphem Silicium gibt es infolge der Unordnung keine scharfe Bandlücke. Die Zustandsdichte 

nimmt aber doch in einem Gebiet, das bei kristallinem Silicium der Bandlücke entspricht, 

stark ab (Abb. 4.8). Die Zustände in den Bändern sind wie die im kristallinen Material 

delokalisiert und die Elektronen und Löcher sind dort beweglich. Innerhalb der Lücke sind die 

Zustände lokalisiert und die Elektronen sind unbeweglich. Man spricht daher in amorphen 

Halbleitern lieber von den Beweglichkeitskanten als von Bandkanten. Die Zustandsdichte in 

der Lücke in der Nähe der Kanten kann in amorphen Materialien oft exponentiell dargestellt 

werden als 

(4.11) 

wo E K die Kantenenergie ist. Die Urbach-Energie E U ist ein Maß für die Unordnung und liegt 

beim amorphen Silicium im Bereich einiger 10 meV bis etwas über 100 meV. 

Abb. 4.8: Zustandsdichte von kristallinem (links) und amorphem (rechts) Silicium 


- 35 - 

4.5 Fermiverteilung und Ladungsträgerdichte in undotierten 

Halbleitern 

Bei T=0 sind die Zustände bis zum Ferminiveau E F mit Elektronen besetzt, darüber sind sie 

unbesetzt. Das Ferminiveau ergibt sich aus der Forderung, dass alle vorhandenen Elektronen 

untergebracht werden müssen. Bei endlicher Temperatur ist die Besetzungskante verschmiert. 

Die Verteilung der Elektronen im Gleichgewicht ergibt sich aus der Quantenstatistik. Auch in 

idealen Systemen erhält man nichttriviale Ausdrücke, die oft nur näherungsweise geschlossen 

darstellbar sind. 

Die Elektronen verteilen sich auf die Zustände gemäß der Fermiverteilung (Abb. 4.9) 

(4.12) 

f(E) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass bei der Temperatur T ein Zustand der Energie E mit 

einem Elektron besetzt ist. Für das Valenzband ergibt sich die Besetzungswahrscheinlichkeit 

mit Löchern zu 1-f(E). Bei T=0 wird f(E) eine Rechteckverteilung mit f=1 für EE F und. Bei höheren Temperaturen wird der Abfall zwischen f=1 bei niedrigen Energien und 

f=0 bei hohen Energien flacher. Seine Breite ist 2kT und es gilt f=1/2 bei E=E F. 

Abb. 4.9: Fermi-Verteilung 

E F, die Fermienergie, ist das elektrochemische Potential der Elektronen, das sich additiv aus 

dem chemischen Potential . und dem elektrischen Anteil -eM zusammensetzt. Das elektrochemische 

Potential ist auch in inhomogenen Körpern und unter dem Einfluss elektrischer 

Felder im Gleichgewicht überall konstant. Beachten Sie, dass ein Voltmeter Differenzen des 

elektrochemischen Potentials E F misst, nicht des elektrischen Potentials M. 


Dann ergibt sich 

- 37 - 

(4.14) 

m nZ ist die oben erwähnte effektive Zustandsdichte-Masse, die im isotropen Fall in die effektive 

Masse übergeht. Der Faktor vor dem Multiplikationspunkt, N c, heißt effektive Zustandsdichte 

des Leitungsbandes und kann dargestellt werden als 

(4.15) 

Der Integralausdruck hinter dem Multiplikationspunkt in Gl. 4.14 ist nicht geschlossen 

darstellbar und wird mit F 1/2 bezeichnet (Fermi-Integral, Index 1/2 wegen des x 1/2 im 

Integranden). Wenn jedoch z nn-1 oder E c-E FokT gilt, dann geht die Fermiverteilung näherungsweise 

in die Boltzmann-Verteilung über und es wird F 1/2(z).e z . 

Dann wird 

(4.16) 

In diesem Fall spricht man von einem nichtentarteten Halbleiter. Die Näherung ist konsistent, 

solange nnN c. 

Analoge Formeln gelten für die Löcher im Valenzband, deren Dichte mit p bezeichnet wird: 

Für z pn-1 oder E F-E vokT gilt ebenfalls die Boltzmannstatistik und es wird 

gültig für pnN v. 

(4.17) 

(4.18) 

Die angegebenen Formeln sind nicht vollständig, da das elektrochemische Potential E F der 

Elektronen nicht a priori bekannt ist. 


- 38 - 

In einem Eigenhalbleiter oder intrinsischen Halbleiter ohne Störstellen stammt jedes Elektron 

im Leitungsband aus dem Valenzband und hinterlässt dort ein Loch. Daher gilt n=p. Diese 

Gleichung liefert eine Beziehung für die Fermienergie. Im nichtentarteten Fall kann sie explizit 

nach E F aufgelöst werden: 

(4.19) 

Für T=0 liegt E F im Eigenhalbleiter in der Mitte der Bandlücke. Für m pZ=m nZ gilt das für alle 

Temperaturen. Wenn aber die effektiven Massen von Elektronen und Löchern verschieden sind, 

dann verschiebt sich E F mit der Temperatur. Für Silicium ist m nZ=1,08m 0 und m pZ=0,59m 0, 

sodass sich die Fermienergie bei 300 K um 12 meV aus der Mitte der verbotenen Zone nach 

unten verschiebt. 

Die Näherung der Nichtentartung gilt, solange 

Dann gilt weiter 

Zahlenwerte finden sich in Tabelle 4.2 

(4.20) 

(4.21) 

Tab. 4.2: Bandlücke, effektive Masse und Ladungsträgerdichten in intrinsischen Halbleitern 

Halbleiter Si GaAs 

Eg/eV 1,12 1,43 

mnZ/m0 1,08 0,067 

mpZ/m0 0,55 0,47 

ni/cm -3 

bei 300 K 

10 10 

10 6 


4.6 Dotierte Halbleiter 

- 39 - 

Die Dichte der beweglichen Ladungsträger, Elektronen im Leitungsband oder Löcher im 

Valenzband, kann auch bei Zimmertemperatur stark erhöht werden, indem man den Halbleiter 

dotiert, also Atome des Halbleiters durch bestimmte andere ersetzt. Donatoren haben ein 

Elektron in der äußeren Schale mehr, das sie leicht in das Leitungsband abgeben: n-Dotierung. 

Akzeptoren haben ein Elektron weniger als die Halbleiteratome und nehmen leicht eines aus 

dem Valenzband auf, das dort ein Loch hinterlässt: p-Dotierung. Die Donatorniveaus E D liegen 

einige 10 meV unter der Leitungsbandkante, die Akzeptorniveaus E A einige 10 meV über der 

Valenzbandkante (Tab. 4.3) und können daher bei Raumtemperatur leicht thermisch ionisiert 

werden. 

Tab. 4.3: Niveaus von Donatoren und Akzeptoren in Silicium 

Donatoren Ec-ED/meV Akzeptoren EA-Ev/meV P 45 B 44 

As 53 Al 68 

Sb 42 Ga 72 

Bi 71 In 155 

Die Anzahl der ionisierten Donatoren N D+, die ein Elektron abgegeben haben, und der neutralen, 

also mit einem Elektron besetzten Donatoren N D0 relativ zur gesamten Anzahl von Donatoratomen 

N D bzw. die Anzahl der ionisierten Akzeptoren N A- und der neutralen Akzeptoren N A0 

relativ zur gesamten Anzahl der Akzeptoratome N A wird im Gleichgewicht durch 

(4.22) 

gegeben. Die Formeln sind gegenüber der gewöhnlichen Fermiverteilung um die Faktoren 1/2 

bzw. 2 im Nenner modifiziert, weil die Donatoren bzw. Akzeptoren nur Elektronen in einem 

bestimmten Spinzustand abgeben bzw. aufnehmen können. Für die Besetzung des Leitungsund 

Valenzbandes bleiben die Formeln vom letzten Kapitel unverändert. Die Lage des elektrochemischen 

Potentials ist wie im intrinsischen Halbleiter durch die Bilanz der Ladungsträger 

bestimmt. Jetzt muss gelten -(n+N A-)+(p+N D+)=0. Eine explizite Auswertung gelingt wieder nur 

im nichtentarteten Fall, wenn die Fermi- in eine Boltzmann-Verteilung übergeht und man erhält 

im Gleichgewicht 


- 40 - 

(4.23) 

n@p ist von der Dotierung und damit von E F unabhängig. Betrachten wir zunächst den Fall, dass 

nur Donatoren vorliegen. Da E c-E DnE c-E v.E D-E v gilt, stammen fast alle Elektronen im 

Leitungsband aus den Donatorniveaus und nur wenige aus dem Valenzband und folglich ist pnn 

und n.N D+. Da im n-dotierten Halbleiter die Elektronenkonzentration höher als die 

Löcherkonzentration ist, heißen hier die Elektronen die Majoritätsladungsträger und die 

Löcher die Minoritätsladungsträger. 

Solange kTnE c-E D liegt das Ferminiveau bei 

(4.24) 

Bei T=0 liegt das Ferminiveau mittig zwischen Donatorniveau und Leitungsbandkante. Für 

wachsende Temperaturen nimmt E F zunächst zu und dann wieder ab. Wenn obige Näherungsannahme 

gilt, dann wird 

n ist proportional zu %N D. 

Für höhere Temperaturen E g okT>E c-E D ergibt eine Reihenentwicklung 

(4.25) 

(4.26) 

Jetzt sind alle Donatoren ionisiert. Für Silicium gilt das bei Raumtemperatur. Erst wenn kT 

vergleichbar mit der Bandlücke wird, kommen auch Elektronen aus dem Valenzband ins 

Leitungsband, und es wird 

(4.27) 


Wenn nur Akzeptoren vorhanden sind, gilt 

- 41 - 

(4.28) 

Bei T=0 liegt das Ferminiveau mittig zwischen Akzeptorniveau und Valenzbandkante und 

verschiebt sich von dort bei wachsender Temperatur zunächst zur Valenzbandkante hin und 

dann wieder zurück in Richtung Leitungsband. Im p-dotierten Halbleiter sind die Löcher die 

Majoritätsladungsträger und die Elektronen die Minoritätsladungsträger. 

Sind sowohl Donatoren als auch Akzeptoren vorhanden, dann werden die Verhältnisse kompliziert. 

Diejenigen Dotieratome, die im Überschuss vorliegen, kompensieren die anderen. Sind 

gleich viele Donatoren und Akzeptoren vorhanden, spricht man von vollständiger Kompensation. 

Die Verhältnisse sind in den Abb. 4.11-13 dargestellt. In allen Fällen gilt aber im Gleichgewicht 

Abb. 4.11: Temperaturabhängigkeit des Ferminiveaus bei verschieden 

starker n-Dotierung 

(4.29) 


- 42 - 

Abb. 4.12: Abhängigkeit der Ladungsträgerkonzentration von 1/T, 

n-dotiert 

Abb. 4.13: Abhängigkeit der Ladungsträgerkonzentration von 1/T bei verschieden kompensierten 

Halbleitern 


4.7 Leitfähigkeit und Hall-Effekt 

- 43 - 

Unter dem Einfluss eines äußeren elektrischen Feldes werden die negativen Elektronen im 

Leitungsband und die positiven Löcher im Valenzband beschleunigt. Aufgrund von Streumechanismen 

ergibt sich eine geschwindigkeitsproportionale Reibung, die dazu führt, dass die 

Geschwindigkeiten der Elektronen und der Löcher proportional zum Feld werden. Daraus resultiert 

das Ohmsche Gesetz, also ein Widerstand, der vom Feld unabhängig ist. Die Proportionalitätskonstante 

zwischen Geschwindigkeit und Feld heißt Beweglichkeit :. Die elektrische 

Stromdichte i erhält man als Summe der Beiträge von Elektronen und Löchern: 

(4.32) 

(4.30) 

Wegen der unterschiedlichen Streumechanismen ist die Beweglichkeit für Elektronen und für 

Löcher verschieden. Die Streuung findet an Defekten, an Phononen und zwischen den Ladungsträgern 

selbst statt. Die Beweglichkeit bei tiefen Temperaturen kann als Maß für die Defekte, 

also die Kristallqualität dienen (Abb. 4.14). Da die Phononenstreuung mit steigender 

Temperatur zunimmt, nimmt die Beweglichkeit ab (Abb. 4.15). Insgesamt ist die Temperaturabhängigkeit 

der Leitfähigkeit aber überwiegend durch die Ladungsträgerdichten bedingt. Intrinsische 

Halbleiter haben eine geringe Leitfähigkeit, die stark mit der Temperatur zunimmt 

(Abb. 4.16), dotierte Halbleiter haben eine hohe Leitfähigkeit, die mit der Dotierung zunimmt 

(Abb. 4.17). 

Tab. 4.4: Beweglichkeiten bei 300 K (bei Si und GaAs Dotierkonzentration 10 15 cm -3 ) 

Si GaAs CdTe CuInSe 2 a-Si 

: n/cm 2 V -1 s -1 1350 8800 600 320 0,1...1 

: p/cm 2 V -1 s -1 

500 400 10 10 -3 ...0,03 

Anhand der Leitfähigkeit lässt sich nicht feststellen, ob ein dotierter Halbleiter n- oder p-dotiert 

ist. Das macht sich erst beim Hall-Effekt bemerkbar. Wird ein zusätzliches magnetisches Feld 

senkrecht zur Stromrichtung angelegt so tritt eine Querspannung auf, die aus der Lorentzkraft 

folgt. Die Messanordnung ist in Abb. 4.18 dargestellt. Aus dem entstehenden elektrischen 

Querfeld E y, der Stromdichte i x und dem angelegten Magnetfeld B z ergibt sich die Hall- 

Konstante 

Für kleine Magnetfelder gilt 

(4.31) 


- 44 - 

A ist eine Konstante der Größenordnung 1, die vom Streumechanismus abhängt. Das Vorzeichen 

von R H und damit der Hallspannung hängt vom Leitungstyp ab. 

Abb. 4.14: Beweglichkeit in Abhängigkeit von 

der Dotierung bei 300 K [Enderlein] 

Abb. 4.15: Beweglichkeit in Abhängigkeit von der Temperatur bei verschiedenen Dotierungen 

[Enderlein] 


- 45 - 

Abb. 4.17: Widerstand von dotiertem Si bei 300 K [Colinge] 

Abb. 4.18: Anordnung zur Messung des Hall-Effekts 

Abb. 4.16: Leitfähigkeit in Abhängigkeit 

von der Temperatur für reines intrinsisches 

Si und Ge [Enderlein] 


- 46 - 

4.8 Raumladungen, Felder, Ströme 

Raumladungen und innere Felder treten auf, wenn im Halbleiter Inhomogenitäten vorliegen. 

Diese können sein die Oberfläche des Halbleiters, Kontakte mit Metallen oder zu einem 

anderen Halbleiter (Heteroübergang) oder Inhomogenitäten der Dotierung, speziell ein p-n- 

Übergang, aber auch eine inhomogene Bestrahlung. 

Die lokale Ladungsdichte ist 

Das elektrische Potential M gehorcht der Poisson-Gleichung 

(4.33) 

(4.34) 

Damit der Begriff noch sinnvoll ist, darf sich das elektrische Potential über eine Gitterkonstante 

nur unwesentlich ändern und darf gegenüber dem atomaren Potential nur eine kleine Störung 

sein, was im Folgenden stets vorausgesetzt wird. 

Das elektrische Potential addiert sich zur Energie der Bandstruktur, die sich also unter dem 

Einfluss elektrischer Felder verbiegt. Das elektrische Potential ist zwar auch additiv im elektrochemischen 

Potential der Elektronen, also in der Fermienergie enthalten, diese ist im Gleichgewicht 

aber überall gleich und eine räumliche Variation des elektrischen Potentials wird durch 

eine umgekehrte des chemischen Potentials und damit der Elektronenkonzentration ausgeglichen. 

Da sich die Bandstruktur verbiegt, führt das zu ortsabhängigen Ladungsträgerdichten 

(4.35) 

wobei E c0 und E v0 die Bandkantenenergien an einem Ort sind, an dem M=0 gilt und .=E F+eM 

das chemische Potential ist. 

Nach wie vor gilt ortsunabhängig Gl. 4.29 

(4.36) 

Vergleicht man die Ladungsträgerdichten n 1 und n 2 an zwei Orten r 1 und r 2, an denen die 

elektrischen Potentiale M 1 und M 2 herrschen, so gilt 

(4.37) 


- 47 - 

Setzt man k (Gl. 4.33) zusammen mit den Gleichungen für n und p im Gleichgewicht (Gl. 4.35) 

in die Poisson-Gleichung für M (4.34) ein, so ergibt sich eine nichtlineare partielle Differentialgleichung. 

Die Fermienergie ist aus der globalen Ladungserhaltung zu bestimmen. Insgesamt 

liegt eine nur schwer lösbare Aufgabe vor, die in Spezialfällen in Abschnitt 4.9 behandelt wird. 

Im Gleichgewicht mit räumlich konstanter Fermienergie treten keine Teilchenströme j n und j p 

und auch keine elektrischen Ströme i n und i p der Elektronen und Löcher auf. Die Elektronen und 

Löcher erfahren zwar Kräfte durch das elektrische Feld. Dadurch bauen sich Konzentrationsgradienten 

auf, die so lange anwachsen, bis ein entgegengesetzt gerichteter diffusiver Antrieb 

entsteht, der die Feldkraft gerade aufhebt. Der Strom ist proportional der Gesamtkraft, der 

Summe aus beiden, und verschwindet somit im Gleichgewicht. 

Man kann schreiben 

(4.38) 

und analog für i p. Dabei wurde die Fermi-Energie in die Anteile elektrisches Potential und 

chemisches Potential zerlegt, die Abhängigkeit des chemischen Potentials von der Elektronendichte 

(Umkehrung von 4.35) eingesetzt und die Einstein-Relation 

(4.39) 

berücksichtigt. Die Summanden in Gl. 4.38 repräsentieren die Kräfte, die das elektrische Feld 

und der Konzentrationsgradient ausüben. In der Literatur werden die Summanden etwas 

unglücklich als „Feldstrom“ und „Diffusionsstrom“ bezeichnet. Zwar lassen sich sinnvoll 

Kräfte addieren, für den Strom hat die Aufteilung aber wenig Sinn. 

4.9 Inhomogenitäten im Gleichgewicht 

In diesem Abschnitt werden konkrete Inhomogenitäten, nämlich die freie Oberfläche und dort 

vorhandene Ladungsdichten und von außen angelegte Felder, der Kontakt des Halbleiters mit 

einem Metall (Schottky-Kontakt) oder mit einem anderen Halbleiter (Heteroübergang) und 

inhomogene Dotierungen in Form eines p-n-Überganges hinsichtlich der erzeugten Raumladungen 

untersucht. Die Ergebnisse von Abschnitt 4.8 werden also für spezielle Fälle 

konkretisiert. 

4.9.1 Oberfläche und äußere Felder 

Wir betrachten zunächst einen intrinsischen Halbleiter, der an der Oberfläche eine Ladung 

trägt. Diese kann z.B. über der Oberfläche sitzen, wenn auf einer isolierenden Oxidschicht eine 

metallische Kontaktschicht aufgebracht ist. Beim Feldeffekttransistor wird eine solche 

Konfiguration angewandt. 

Liegt an der Oberfläche eine Flächenladungsdichte F, so lautet die Lösung des gekoppelten 

Systems von Gleichungen für die Ladungsdichten und das elektrische Potential 


- 48 - 

(4.40) 

x ist die Koordinate ins Innere des Halbleiters. Die Oberflächenladung führt also zu einer 

Bandverbiegung, die für nicht zu große Ladungsdichten exponentiell mit der charakteristischen 

Debye-Länge l D nach innen abfällt. 

Tab. 4.5: Debye-Längen in intrinsischen Halbleitern bei 300 K 

Halbleiter Si GaAs 

lD/cm 1,15@10 -3 

0,116 

Bei einer positiven Oberflächenladung biegen sich die Bänder nach unten und unter der 

Oberfläche reichern sich zur Abschirmung Elektronen an (n>n i), während die Löcher nach 

innen verdrängt werden (Abb. 4.19). Dementsprechend wird eine dünne Oberflächenschicht nleitend. 

Umgekehrt ist es bei negativer Oberflächenladung. Unabhängig vom Vorzeichen der 

Oberflächenladung nimmt die Leitfähigkeit einer oberflächennahen Schicht zu. 

In n-dotierten Halbleitern ergeben sich ähnliche Beziehungen, jedenfalls in der Näherung 

eMnkT, n inN D. Dann ändert sich nur die Debye-Länge zu 

(4.41) 

entsprechend der Tatsache, dass im Inneren die Elektronendichte in dieser Näherung n=N D anstelle 

von n=n i gilt. Nach wie vor gelten C.G und dieselben Beziehungen 4.40 für G, M, n und 

p. Abgesehen von der viel kleineren Debye-Länge bleibt es bei derselben Art von Bandverbiegung. 


- 49 - 

Abb. 4.19: Bandverbiegung an der Oberfläche eines intrinsischen Halbleiters 


- 50 - 

In einem n-dotierten Halbleiter führt eine positive Oberflächenladung zu einer Akkumulation 

von Elektronen an der Oberfläche und die Leitfähigkeit steigt an. Eine negative Oberflächenladung 

verdrängt die Elektronen ins Innere und es kommt zu einer Verarmung von Ladungsträgern 

und einer Verkleinerung der Leitfähigkeit. Bei sehr großer negativer Ladung werden die 

Bänder so stark verbogen, dass die Valenzbandkante über das Fermi-Niveau angehoben wird 

und unter der Oberfläche eine Inversionsschicht mit p-Leitung entsteht. Die Leitfähigkeit steigt 

wieder an. Die Verhältnisse sind in Abb. 4.20 dargestellt. 

Abb. 4.20: Bandverbiegung an der Oberfläche 

eines n-dotierten Halbleiters 


- 51 - 

Bei p-dotierten Halbleitern ist alles analog bei Oberflächenladungen mit umgekehrtem 

Vorzeichen. 

Der hier behandelte Effekt ist das Funktionsprinzip von Feldeffekttransistoren. 

4.9.2 p-n-Übergang 

Bringt man einen n- und einen p-dotierten Halbleiter in Kontakt, so entsteht ein p-n-Übergang. 

Bevor der Kontakt hergestellt ist, befindet sich das Fermi-Niveau in den beiden Halbleitern auf 

verschiedener Höhe. Nach Einstellung des Gleichgewichts ist das Fermi-Niveau, also das 

elektrochemische Potential der Elektronen, in beiden Teilen auf gleicher Höhe. Dazu muss ein 

elektrisches Potential, die Diffusionsspannung V D zwischen beiden Teilen entstehen (Abb. 

4.21). Ein angeschlossenes Voltmeter misst die Differenz der Ferminiveaus, also null. Die 

Diffusionsspannung kann nicht mit einem Voltmeter gemessen werden. 

Abb. 4.21: Bandschema eines p-n-Übergangs 

Die Diffusionsspannung lässt sich folgendermaßen berechnen: In der Näherung, dass auf beiden 

Seiten die Dichte der Minoritätsladungsträger viel kleiner als die der Majoritätsladungsträger ist 

und alle Dotanden ionisiert sind, also dass eine mittlere Temperatur herrscht, ist die Dichte der 

Majoritätsladungsträger gleich der jeweiligen Dotandenkonzentration. Die Minoritätsladungs- 

2 

trägerdichte ergibt sich jeweils aus np=ni und die Potentialdifferenz, also die Diffusionsspannung, 

aus Gl. 4.37. 

(4.42) 


- 52 - 

Werte für Silicium sind in Tabelle 4.6 zusammengestellt. 

Tab. 4.6: Diffusionspotential an einem p-n-Übergang in Silicium bei 300 K für N A=N D 

N A=N D/cm -3 10 15 10 16 10 17 10 18 10 19 10 20 

VD/V 0,542 0,654 0,766 0,878 0,991 1,103 

w 1,4 µm 440 nm 140 nm 44 nm 14 nm 4,4 nm 

Durch die Bandverbiegung in der Umgebung des p-n-Übergangs entsteht eine Raumladungszone 

(Abb. 4.22). 

Abb. 4.22: Bandschema, Ladungsträgerdichten und Raumladungen bei einem p-n-Übergang 

Durch eine näherungsweise Lösung der Poisson-Gleichung kann bestimmt werden, wie weit 

sich die Raumladungszone in das n- und p-Gebiet hinein erstreckt (x n, x p) und wie breit sie 

insgesamt ist (w) 

(4.43) 

Das aus der Potentialdifferenz folgende elektrische Feld und der Gradient der Ladungsträgerdichten 

üben auf die Ladungsträger entgegengesetzte Kräfte aus, die sich im Gleichgewicht 

kompensieren. 


4.9.3 Schottky-Kontakte 

- 53 - 

Metall-Halbleiter-Kontakte, bei denen es zu einer Bandverbiegung kommt, heißen Schottky- 

Kontakte. Im Allgemeinen liegen verwickelte Verhältnisse vor, weil fast nie eine ideale Halbleiteroberfläche 

an eine ideale Metalloberfläche grenzt, sondern Zwischenschichten aus Metalloder 

Halbleiteroxiden auftreten. Diese sind Nichtleiter und tragen oft Ladungsdichten. Die 

Zwischenschichten sind experimentell schwer kontrollierbar. Daher ist eine befriedigende 

Beschreibung mit Vorhersagekraft schwierig. 

Wie beim p-n-Übergang liegen die Fermi-Niveaus von Metall und Halbleiter vor Kontakt auf 

unterschiedlicher Höhe. Bei Kontakt fließen so lange Elektronen von einem zum anderen, bis 

sich die Fermi-Niveaus angeglichen haben, sodass eine Potentialdifferenz auftritt. Wegen der 

hohen Dichte der freien Ladungsträger im Metall ist die Debye-Länge dort meist kleiner als der 

Atomabstand und es tritt keine Bandverbiegung auf. Im Halbleiter ist die Debye-Länge viel 

größer und die Bänder verbiegen sich im Längenmaßstab von l D. 

Je nachdem, ob ein p- oder n-Halbleiter vorliegt und ob die Austrittsarbeit beim Metall größer 

oder kleiner ist als im Halbleiter, können vier verschiedene Fälle auftreten (Abb. 4.23). Zwei 

von diesen führen zu ohmschen Kontakte, die zwei anderen zu nicht-ohmschen Kontakten, 

deren Verhalten einem p-n-Übergang ähnelt. Eine geladene Zwischenschicht führt zu einem 

zusätzlichen Potentialsprung zwischen Metall und Halbleiter. Jedenfalls bildet sich ein 

Diffusions- oder Kontaktpotential aus und im Halbleiter nahe der Grenzfläche entsteht eine 

Raumladungszone. 

4.9.4 Heteroübergänge 

Kontakte zwischen zwei verschiedenen Halbleitern nennt man Heteroübergänge. Auch hier sind 

die Verhältnisse meist dadurch kompliziert, dass die Grenzflächen durch Zwischenschichten 

gestört sind, an denen Ladungsdichten sitzen. Der Idealfall ist in Abb. 4.24 dargestellt. Die 

Situation vor dem Kontakt ist oben abgebildet. Nach dem Kontakt liegt das Fermi-Niveau in 

beiden Halbleitern auf der selben Höhe, was dadurch zustande kommt, dass sich eine Potentialdifferenz 

zwischen den Halbleitern einstellt, die durch Umgruppierung von Ladungen entsteht. 

Mit dem Potential verbiegt sich das Bandschema. Solange keine Flächenladungen auftreten, 

macht das Potential keine Sprünge. Da die energetischen Abstände zwischen Vakuumniveau, 

Leitungs- und Valenzbandkante in jedem der beiden Halbleiter unverändert bleiben, die 

Bandlücke aber verschieden ist, geht das nur so, dass die Bandkanten an der Grenze Sprünge 

machen. Wenn man die Elektronenaffinitäten in beiden Halbleitern und die Bandlücke kennt, 

dann liegen diese Sprünge im Idealfall fest (Anderson-Modell). Durch Flächenladungen können 

die Sprünge verändert werden. 


- 54 - 

4 Halbleiter I: Gleichgewicht F. Falk, Photovoltaik WS 2010/11 

E 0 bzw. E 0 -eφ: Vakuumniveau; M: Metall; S: Halbleiter; Φ: Austrittsarbeit Metall; Χ: Elektronenaffinität 

Abb. 4.23: Metall-Halbleiter-Kontakte in vier unterschiedlichen Fällen; oben vor Kontakt, unten nach Kontakt [Enderlein]

- 55 - 

Vor dem Kontakt 

Im Kontakt 

Abb. 4.24: Bandschema eines Heteroübergangs ohne Ladungen an der Grenzfläche 

[Würfel] 


- 56 - 

5 Halbleiter II: Nichtgleichgewicht 

5.1 Optische Absorption 

Im sichtbaren Spektralbereich absorbieren Halbleiter Licht durch freie Ladungsträger, Band- 

Band-Übergänge und Übergänge, an denen Störstellen beteiligt sind. Für Solarzellen wesentlich 

sind photoneninduzierte Übergänge zwischen Valenz- und Leitungsband. Dazu muss die 

Photonenenergie größer als die Bandlücke sein. Wie bereits in Kapitel 4.2 erwähnt, muss in 

einem kristallinen Halbleiter bei der elektronischen Anregung durch ein Photon auch die 

Impuls- oder k-Erhaltung erfüllt werden. Da bei Photonenenergien in der Größenordnung der 

Bandlücke der k-Wert des Photons kleiner als 10 5 cm -1 ist während die k-Werte der Elektronen 

am Rand der Brillouin-Zone 10 8 cm -1 betragen, erfolgt die Anregung im Bandschema nahezu 

senkrecht. In einem direkten Halbleiter, bei dem das Maximum des Valenzbandes und das 

Minimum des Leitungsbandes beim selben k-Wert liegen, kann die Absorption unter k- 

Erhaltung bei Photonenenergien an der Bandlücke beginnen. In indirekten Halbleitern ist die k- 

Erhaltung unmittelbar oberhalb E g nicht gewährleistet. Es muss mindestens ein Phonon erzeugt 

oder absorbiert werden, das zur k-Erhaltung beiträgt, aber wenig Energie überträgt. In 

amorphen Halbleitern entfällt die k-Erhaltung. Sie verhalten sich oberhalb der Bandlücke eher 

wie direkte Halbleiter. 

In die Berechnung des Absorptionskoeffizienten gehen ein: 

1. Das Matrixelement des Störoperators der Lichtwelle mit den ungestörten Wellenfunktionen 

des Ausgangs- und des Endzustandes: Haben beide Wellenfunktionen dieselbe Parität, so 

verschwindet das Matrixelement, es liegt ein dipolverbotener Übergang vor und der Absorptionskoeffizient 

ist klein. Sind die Paritäten verschieden, dann ist der Übergang erlaubt und der 

Absorptionskoeffizient groß. 

2. Die Zustandsdichten in den beiden beteiligten Bändern: Sie beschreiben die Anzahl der 

vorhandenen Elektronenzustände der erforderlichen Energiedifferenz. 

3. Die Fermiverteilung: Der Ausgangszustand muss besetzt, der Endzustand unbesetzt sein. Das 

ist für Halbleiter mit E g>1 eV bei Raumtemperatur kein Problem. 

4. Bei indirekten Übergängen die Wahrscheinlichkeit von Phononenerzeugung und -vernichtung. 

Störstellen sind wenig effektiv bei der Impulsübernahme. 

Das alles führt zu folgender Abhängigkeit des Absorptionskoeffizienten von der Photonenenergie, 

gültig ab der Bandlücke bis einige zehntel eV darüber: 

Direkte Halbleiter 

Erlaubte Übergänge 

Verbotene Übergänge (5.1) 

Amorphe Halbleiter 

Indirekte Halbleiter 

5 Halbleiter II: Nichtgleichgewicht F. Falk, Photovoltaik WS 2010/11

- 57 - 

Misst man "(

Halbleiter ergibt sich 

mit den effektiven Zustandsdichten (4.15/17) 

- 58 - 

(5.3) 

(5.4) 

Für E n = E p = E F gehen diese Beziehungen in diejenigen von Gl. 4.16/18 über und die Ladungsträgerdichten 

sind im Gleichgewicht. Die Nichtgleichgewichtskonzentrationen werden also 

durch die Aufspaltung des Ferminiveaus in Quasi-Fermi-Niveaus beschrieben (Abb. 5.2). 

Solange n > n 0 und p > p 0 sind, weicht das Quasi-Fermi-Niveau E n vom ursprünglichen E F in 

Richtung E c (E n > E F) und das Quasi-Fermi-Niveau E p von E F in Richtung E v ab (E p < E F). Es gilt 

Abb. 5.2: Quasi-Fermi-Niveaus unter Beleuchtung 

(5.5) 


- 59 - 

5.3 Generation und Rekombination 

Solange keine Ströme fließen sind die Raten, mit denen sich die Abweichungen der Ladungsträgerdichten 

*n und *p vom Gleichgewicht im Volumen des Halbleiters zeitlich verändern, 

durch Generation und Rekombination bestimmt: 

(5.6) 

G ist die äußere Generationsrate von Elektronen und Löchern, die bei Bestrahlung mit 

monochromatischem Licht (lokale Intensität I, Frequenz

- 60 - 

(5.11) 

Als Temperaturabhängigkeit der Vorfaktoren wird eine Arrheniusbeziehung mit einer Aktivierungsenergie 

von 0,5E g angegeben. Bei Raumtemperatur sind die Vorfaktoren bei Silicium 

C n.C p.10 -30 cm 6 /s. Jedenfalls nimmt die Relaxationszeit J Auger mit der Temperatur und mit dem 

Überschuss der Ladungsträgerdichte ab (Abb. 5.3). 

Abb. 5.3: Lebensdauer von 

Ladungsträgern in Silicium in 

Abhängigkeit vom 

Ladungsträgerüberschuss 

[Lewerenz u. Jungblut] 

Rekombination über Störstellen hängt stark von der Art und Konzentration der Störstellen ab. 

Für eine einzelne Störstellenart gilt die Shockley-Read-Hall Beziehung 

(5.12) 

E t ist die Lage des Störstellenniveaus in der Bandlücke, E i das Ferminiveau im intrinsischen 

Halbleiter (Gl. 4.19). J n und J p sind störstellenspezifische Parameter, die umgekehrt 

proportional zur Störstellenkonzentration sind. Besonders wirksam sind tiefe Störstellen, deren 

Niveaus in der Nähe der Mitte der Bandlücke liegen, in Silicium z.B. Au, Ni, Co. Die 

Energieabgabe kann strahlend, durch Phononen oder durch Auger-Prozesse erfolgen. Tiefe 

Störstellen können die Relaxationszeit stark verringern. Schon 10 12 cm -3 Ni kann sich in Si 

merklich auf die Lebensdauer auswirken (s. Kap. 6.1.3). Zum Teil wirken auch Komplexe aus 

mehreren Fremdatomen ungünstig, z.B. B-O-Komplexe in Si. Außer Fremdatomen erhöhen 

auch Versetzungen die Rekombination. 

Die Rekombinationsraten aller aktiven Mechanismen addieren sich. In indirekten Halbleitern 

kann die strahlende Rekombination gegenüber der Auger-Rekombination vernachlässigt werden. 

Für hohe Anregungsdichten wird die Lebensdauer durch Auger-Rekombination bestimmt. 

In nicht sehr reinen Proben bestimmt bei Raumtemperatur die Rekombination über Störstellen 

die Relaxationszeit und damit die Lebensdauer. 


- 61 - 

Da in Solarzellen die Rekombination von Ladungsträgern, die durch die Bestrahlung generiert 

wurden, den Wirkungsgrad verringert, ist eine große Lebensdauer wichtig. Man muss also 

versuchen, die Defektdichte so klein zu machen, dass Rekombination über Störstellen keinen 

wesentlichen zusätzlichen Beitrag mehr leistet. 

Außer im Inneren des Halbleiter kommt es auch an der Oberfläche oder an inneren Grenzflächen 

zur Rekombination. An einer freien Oberfläche befinden sich zunächst unabgesättigte 

Bindungen, die aber bei Silicium an Luft durch eine Oxidschicht abgesättigt werden. Je nach 

der genauen chemischen Beschaffenheit der Oberfläche gibt es dort mehr oder weniger viele 

Störstellen, die als Rekombinationszentren wirken. Da sie in einer atomar dünnen Schicht angesiedelt 

sind, kann man ihre Dichte als *-Funktion annehmen. Als Folge davon tritt auf der 

rechten Seite von Gl. 5.9 ein zusätzlicher, ortsabhängiger Term -S *n*(x-x 0) auf, wo x die 

Koordinate senkrecht zur Oberfläche und x 0 die Position der Oberfläche bezeichnet. Da der 

Ausdruck auf der linken Seite von Gl. 5.9 die Dimension cm -3 s -1 hat und die eindimensionale *- 

Funktion die Dimension cm -1 , muss der Vorfaktor S die Dimension einer Geschwindigkeit 

haben. S heißt Oberflächenrekombinationsgeschwindigkeit. Für Oberflächen von Silicium 

reichen gemessene Werte von 10 cm/s bis 10 6 cm/s. Die Kunst bei der Solarzellenherstellung 

beruht unter anderem darauf, die Oberflächen so zu passivieren, dass geringe Oberflächenrekombinationsgeschwindigkeiten 

auftreten, die sonst einen Teil der durch das Licht erzeugten 

Ladungsträger wieder vernichten. 

5.4 Ladungsträgerbilanz im Nichtgleichgewicht 

5.4.1 Grundgleichungen 

Wenn inhomogene Ladungsträgerdichten im Nichtgleichgewicht auftreten, z.B. in einem 

beleuchteten p-n-Übergang in Solarzellen, wird der raum-zeitliche Verlauf dieser Dichten durch 

Bilanzgleichungen beschrieben: 

(5.13) 

G ist die Generationsrate von Gl. 5.7, J n und J p sind die Relaxationszeiten, n 0 und p 0 die 

Gleichgewichtskonzentrationen der Ladungsträger gemäß Gl. 4.16/18 und j n und j p die 

Ladungsträgerströme. Ohne Ströme geht Gl. 5.13 in Gl. 5.9 über. 

Am freien Rand eines Halbleiters gelten die Randbedingungen 

(5.14) 

mit der Oberflächenrekombinationsgeschwindigkeit S und der äußeren Normale der Oberfläche 

n. An einer kontaktierten Oberfläche müssen noch die in den Kontakt hineinfließenden Ströme 

addiert werden. An Metallkontakten ist S sehr groß, so dass sich dort keine über die Gleichgewichtswerte 

erhöhten Ladungsträgerdichten halten können. 


- 62 - 

Für die Ströme benötigt man noch konstitutive Gleichungen (Materialgleichungen), die angeben, 

wie die Ströme von den treibenden Kräften abhängen. In linearer Näherung lauten sie 

(Gl. 4.38) 

(5.15) 

D n und D p sind die Diffusionskoeffizienten der Ladungsträger, F n und F p die Leitfähigkeiten, : n 

und : p die Beweglichkeiten. E n und E p sind die Quasi-Fermi-Niveaus und damit die elektrochemischen 

Potentiale der Elektronen und der Löcher, . n und . p die chemischen Potentiale, M 

ist das elektrische Potential und E=-LM das elektrische Feld. 

Außerdem muss noch die Poisson-Gleichung 

erfüllt sein, wo N D+ und N A- die Dichten der ionisierten Donatoren und Akzeptoren sind. 

(5.16) 

Die Lösung dieser Gleichungen kann in praktisch wichtigen Fällen kompliziert sein, insbesondere, 

wenn die Gleichgewichtskonzentrationen n 0 und p 0 ortsabhängig sind, z.B. in einem 

p-n-Übergang. Zur numerischen Lösung unter Beleuchtung, also für Solarzellen, gibt es im 

eindimensionalen Fall z.B. das Programm PC1D der University of New South Wales, Australien. 

Hier werden zunächst zwei triviale, aber wichtige Fälle betrachtet. 

5.4.2 Photoleitung 

Ein homogener Halbleiter werde homogen bestrahlt, sodass G überall gleich ist. Das setzt 

voraus, dass nur wenig Licht im Halbleiter absorbiert wird. Dann werden die Gleichungen für 

den Fall J n=J p=J=const. (unabhängig von *n, *p) gelöst durch 

(5.17) 

Die Leitfähigkeit F=e(n: n+p: p) erhöht sich um *F=e(: n+: p)JG, also proportional zur 

Lichtintensität: In Halbleitern, insbesondere intrinsischen, tritt Photoleitung auf. Nach dem 

Abschalten des Lichtes verringert sich die Leitfähigkeit exponentiell mit der Lebensdauer J, die 

auf diese Weise gemessen werden kann. 

5.4.3 Diffusionslängen 

Im Gebiet x

Photovoltaik Physik und Technologie der Solarzellen - IPHT Jena

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